中考专题： 最优化
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中考复习专题：
函数中的最优化问题
灌云高级中学城西分校
李梅
中考专题：
最优化问题
最优化问题与人们的生产生活息 息相关，如在多种优惠条件下，怎样 选择适合自己需要的购物方式，怎样 根据市场需求确定商品价格使利润最 大等等。因此，解决最优化问题可以 提高学生们分析问题和解决问题的能 力，增强对现代社会中纷繁复杂的信 息作出恰当的选择与判断的能力。
(1)由图可知：当0<x≤20时 y=8000 当20≤x≤40时，设y=kx+b（k不等于0） 将B（20，8000），C（40，4000）代入y=kx+b， 得： k=-200 b=12000 ∴y=-200x+12000（20≤x≤40）； 综合上述： y=8000（0＜x≤20）， y=-200x+12000（20≤x≤40）；
（1）审题：认真读题，仔细观察图表，确定 建立何种模型。 （2）建模：选择适当的未知数，列出不等式 （组），函数或方程。 （3）求解：求不等式（组）的解集，或求函 数自变量的取值范围，并求出函数的最值或方 程的解。 （4）检验：检验所求的解是否是所建模的解， 是否与题意相符，并作出取舍。 （5）作答：根据检验的结果做出正确的回答。
（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2 800元/吨， 根据题意得：当x≤20时， W=（8000-2800）x=5200x， y随x的增大而增大，当x=20时，W最大 =5200×20=104000元， 当20＜x≤40时， W=（-200x+12000-2800）x=-200x2+9200x， 当x=- =23时， W最大= =105800元．
谢谢！再见！
(2)根据题意得： 2 x 3(2000 x) 4700 ， 解得： x 1300 ， 即：选购甲种小鸡苗至少为1３00只．
(3)设购买这批小鸡苗总费用为元， 根据题意得： y 2 x 3(2000 x) x 6000 ， 又由题意得：94%x 99%(2000 x) 2000 96% ， 解得： ， x 1200
最优化问题是按题目所呈现的要求进行计 算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。 纵观近年来各地的中考试题，涉及最优化的试 题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力 方面可谓独树一帜，新颖别致。其类型以利用 不等式（组）进行方案设计，利用函数知识进 行方案设计为最多。
同学们在解题时，要有耐心，仔细阅读， 细心领会，找出其考查的内容和知识点，灵 活运用相关知识和方法，将实际问题转化为 数学模型来解决。
一、一元一次不等式与一次函数型
例1、某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只 进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗 每只3元． (1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两 种小鸡苗各购买了多少只？ (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选 购甲种小鸡苗至少多少只？ (3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别 为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于 96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种 小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？
因为购买这批小鸡苗的总费用随增大而减小， 所以当＝1200时，总费用最小，乙种小鸡为： 2000－1200＝800(只)，即：购买甲种小鸡苗 为1200只，乙种小鸡苗为800只时，总费用最 小，最小为4800元．
二、一元一次不等式组与一次函数型
例2、某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液 晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台， 共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示 器5台，共需要资金4120元． (1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元? (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于 购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行 情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元 和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利 润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大?最大利润是多少?
例3、某商品现在的售价为每件60元，每星
三、二次函数型
期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元， 每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出18件，已知商品的进价为每件40元， 如何定价才能使利润最大？
思考：（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变 量？哪些量随之发生了变化？
解: 设购买甲种小鸡苗只，那么乙种小鸡苗为 (200－ x )只． (1)根据题意列方程得，2 x 3(2000 x) 4500 解这个方程得： (只)， x 1500 2000 x 2000 1500 500 (只)， 即：购买甲种小鸡苗1500只，乙种小鸡苗 500只．
60 x 800(50 x) 22240 10 x 160(50 x) 4100
因x是整数，所以x=24,25,26 利润10x+160(50-x)=8000-150x，可见x越小
利润就越大，故x=24时利润最大为4400元 答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑 机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱， 25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台 液晶显示器。第①种方案利润最大为4400元。
(1)设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示 器的进价是y元，得 10 x 8 y 7000
2 x 5 y 4120
，解得
x 60 y 800
答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示 器的进价是800元
(2)设购进电脑机箱z台，得
解得24≤x≤26
求解策源自文库：
解决最优化问题涉及的知识点有：一元
一次不等式（组）、一元一次方程、分 式方程、一元二次方程、一次函数的图 像与性质、二次函数的图像与性质等。 解决最优化问题所使用的数学思想方法 有：建模思想，函数与方程思想、数形 结合思想、比较法、待定系数法、配方 法。
解决最优化问题的步骤是：
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润Y随之变 化。我们先来确定y随x变化的函数式。 涨价x元时，每星期少卖 10x 件， 销售量可表示为 ： 销售额可表示为: 买进商品需付: 所获利润可表示为: ∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润, 最大利润是 元. 思考：在降价的情况下，最大利润是多少？
四、函数综合型问题
例4、张经理到老王的果园里一次性采购一种水果， 他俩商定：张经理的采购价y(元／吨)与采购量x(吨) 之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不 包含端点A，但包含端点C)． y (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知老王种植水果的成本 B 8000 A 是2 800元／吨，那么张经理 C 的采购量为多少时，老王在这次 4000 买卖中所获的利润w最大? O 最大利润是多少? 20 40 x
函数中的最优化问题
灌云高级中学城西分校
李梅
中考专题：
最优化问题
最优化问题与人们的生产生活息 息相关，如在多种优惠条件下，怎样 选择适合自己需要的购物方式，怎样 根据市场需求确定商品价格使利润最 大等等。因此，解决最优化问题可以 提高学生们分析问题和解决问题的能 力，增强对现代社会中纷繁复杂的信 息作出恰当的选择与判断的能力。
(1)由图可知：当0<x≤20时 y=8000 当20≤x≤40时，设y=kx+b（k不等于0） 将B（20，8000），C（40，4000）代入y=kx+b， 得： k=-200 b=12000 ∴y=-200x+12000（20≤x≤40）； 综合上述： y=8000（0＜x≤20）， y=-200x+12000（20≤x≤40）；
（1）审题：认真读题，仔细观察图表，确定 建立何种模型。 （2）建模：选择适当的未知数，列出不等式 （组），函数或方程。 （3）求解：求不等式（组）的解集，或求函 数自变量的取值范围，并求出函数的最值或方 程的解。 （4）检验：检验所求的解是否是所建模的解， 是否与题意相符，并作出取舍。 （5）作答：根据检验的结果做出正确的回答。
（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2 800元/吨， 根据题意得：当x≤20时， W=（8000-2800）x=5200x， y随x的增大而增大，当x=20时，W最大 =5200×20=104000元， 当20＜x≤40时， W=（-200x+12000-2800）x=-200x2+9200x， 当x=- =23时， W最大= =105800元．
谢谢！再见！
(2)根据题意得： 2 x 3(2000 x) 4700 ， 解得： x 1300 ， 即：选购甲种小鸡苗至少为1３00只．
(3)设购买这批小鸡苗总费用为元， 根据题意得： y 2 x 3(2000 x) x 6000 ， 又由题意得：94%x 99%(2000 x) 2000 96% ， 解得： ， x 1200
最优化问题是按题目所呈现的要求进行计 算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。 纵观近年来各地的中考试题，涉及最优化的试 题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力 方面可谓独树一帜，新颖别致。其类型以利用 不等式（组）进行方案设计，利用函数知识进 行方案设计为最多。
同学们在解题时，要有耐心，仔细阅读， 细心领会，找出其考查的内容和知识点，灵 活运用相关知识和方法，将实际问题转化为 数学模型来解决。
一、一元一次不等式与一次函数型
例1、某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只 进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗 每只3元． (1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两 种小鸡苗各购买了多少只？ (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选 购甲种小鸡苗至少多少只？ (3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别 为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于 96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种 小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？
因为购买这批小鸡苗的总费用随增大而减小， 所以当＝1200时，总费用最小，乙种小鸡为： 2000－1200＝800(只)，即：购买甲种小鸡苗 为1200只，乙种小鸡苗为800只时，总费用最 小，最小为4800元．
二、一元一次不等式组与一次函数型
例2、某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液 晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台， 共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示 器5台，共需要资金4120元． (1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元? (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于 购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行 情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元 和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利 润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大?最大利润是多少?
例3、某商品现在的售价为每件60元，每星
三、二次函数型
期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元， 每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出18件，已知商品的进价为每件40元， 如何定价才能使利润最大？
思考：（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变 量？哪些量随之发生了变化？
解: 设购买甲种小鸡苗只，那么乙种小鸡苗为 (200－ x )只． (1)根据题意列方程得，2 x 3(2000 x) 4500 解这个方程得： (只)， x 1500 2000 x 2000 1500 500 (只)， 即：购买甲种小鸡苗1500只，乙种小鸡苗 500只．
60 x 800(50 x) 22240 10 x 160(50 x) 4100
因x是整数，所以x=24,25,26 利润10x+160(50-x)=8000-150x，可见x越小
利润就越大，故x=24时利润最大为4400元 答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑 机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱， 25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台 液晶显示器。第①种方案利润最大为4400元。
(1)设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示 器的进价是y元，得 10 x 8 y 7000
2 x 5 y 4120
，解得
x 60 y 800
答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示 器的进价是800元
(2)设购进电脑机箱z台，得
解得24≤x≤26
求解策源自文库：
解决最优化问题涉及的知识点有：一元
一次不等式（组）、一元一次方程、分 式方程、一元二次方程、一次函数的图 像与性质、二次函数的图像与性质等。 解决最优化问题所使用的数学思想方法 有：建模思想，函数与方程思想、数形 结合思想、比较法、待定系数法、配方 法。
解决最优化问题的步骤是：
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润Y随之变 化。我们先来确定y随x变化的函数式。 涨价x元时，每星期少卖 10x 件， 销售量可表示为 ： 销售额可表示为: 买进商品需付: 所获利润可表示为: ∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润, 最大利润是 元. 思考：在降价的情况下，最大利润是多少？
四、函数综合型问题
例4、张经理到老王的果园里一次性采购一种水果， 他俩商定：张经理的采购价y(元／吨)与采购量x(吨) 之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不 包含端点A，但包含端点C)． y (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知老王种植水果的成本 B 8000 A 是2 800元／吨，那么张经理 C 的采购量为多少时，老王在这次 4000 买卖中所获的利润w最大? O 最大利润是多少? 20 40 x