数学：19.6 相似三角形的性质 课件1(北京课改版九年级上)
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∴ △ ADE∽△ ABC
C (两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)
S AE 2 （相似三角形面积的比等于 ADE 2 相似比的平方） S AC
ABC
B
∴
(以下解略)
归纳提炼
相似多边形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,
对应中线的比,对应周长的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形对应对角线的比等于相似比. 相似多边形对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比. 相似多边形对应三角形面积的比等于相似 多边形的相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
EG EA
B
A G E D 图5 E C F
练习 如图7, △BAC中，AB=AC,BD⊥AC
于 D. 2 BC 2CD CA 求证: . 分析:如何处理结论中的2 是解答此题的关键. 根据 1 CB CA CB CA 2 ,或 . 2CD CB CD CB
A
D B C
图7
考虑作一条线段等于2CD 1 或 2 BC 或2CA, 再证明两个三角形相似.
BC BG ∴ BA BC . BD BG
A
变式4
G
E B D 图6
F
∴ △BAD∽△BCG . ∴ ∠BAD = ∠BCG.
C
证明: 2) 由1) ∠BCG =∠BAD,
∵∠DEC =∠GEA, ∴△DEC ∽△GEA, DE EG ∴ , EC EA ∴ DE EC .
∵∠DEG =∠CEA, ∴△DEG∽△CEA .
小 结
相似多边形的性质:
相似三角形对应高的比,周长的比都等于
相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形周长的比等于相似比. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
自我测试 1、两个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么 它们的相似比是1:3 ___,周长比是____,面积比是____ 2、若两个相似三角形的相似比是3:5,其中第一 个三角形的周长为21cm,则第二个三角形的 周长为 35 cm. 3、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来 的5倍，那么它的周长扩大为原来的 5 倍， A 而面积扩大为原来的 25 倍。 4、如图，已知△ABC∽△ADE， D E 且BC=2DE，则△ADE与四 C 边形BCDE的面积比为（ B ） B (A)1：2 (B)1：3 (C)1；4 (D)1：5
变式2 AD是Rt △ABC斜边上的高.
1)已知BD=9cm, AD=6cm,求DC; 2)已知BC=25cm, AC=15cm,求DC. 解1) ∵ △ABC是直角三角形 AD是斜边BC上的高, ∴ △BAD∽△ACD. ∴ BD AD , AD DC 即 9 6 , ∴ DC 6 6 4(cm). 6 DC 9
练习:
A E D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CAMN 3 _____; 5 CABC
M B
N C
S AMN 9 _____; 25 S ABC
议一议: 如图,四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似, 且相似比为k,它们周长的比、面积的 比与相似比有什么关系? 如果把四边形换 C 成五边形，你刚 C’ 才的结论是否仍 D 然成立呢? D’ A
A E R
S
B
P
D
Q
C
答：加工成的正方形零件的边长为48mm.
变式1 已知：△ABC 中,∠A=90 °，四边
形DEFG为正方形，G、F分别在AB、AC 上，D、E在BC上. 1、图中有多少个直角三角形？ 2、这些直角三角形中哪些三角形是相似的？ 答： A 1、有4个，他们是 G F △BAC,△BDG, △FEC,△GAF B D E C 2、△BAC,△BDG, △FEC, 图2 △GAF彼此都是相似三角形.
变式3
如图5，PD⊥BC于D, BA⊥PC于 6 对. A, 则图中相似三角形共有_____ 分析：易证△BAC、△BDG、 △PAG、 △PDC彼此都是相似三角形. P
AA G F
B
D E 图 53 图
C
分离基本图 形
如图6，△BAC中，∠BAC=90 ° GD⊥BC于D, AD交GC于E . 求证:1)∠BAD =∠BCG. 2)△DEG∽△CEA . 证明:1) ∵∠BDG=∠A=90°,∠B= ∠ B , ∴ △BAC∽△BDG . ∴ BA BD .
例.判断正误： 1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。 2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍， 那么它的三边也都扩大为原来的9倍。
例.如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
AE AD 3 已知△ABC的面积为100cm2 ， AC AB 5 A 求四边形BCDE的面积. E 解：∵ AE AD 3 ，∠A=∠A AC AB 5 D
复习
相似三角形的性质 1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2 相似三角形对应高的比，对应中线的比与 对应角平分线的比都等于相似比. 3 相似三角形周长的比等于相似比, 面积比等于相似比的平方.
AM 3 (1)△ABC中,MN∥BC,AD⊥BC, MB 2 则 3 MN _____; 5 BC 3 AE _____; 5 AD
B
A’
B’
相似多边形的性质:
相似多边形的周长比等于 相似比 面积比等于 相似比的平方 _________. ，
例 如图, △ABC 是一块锐角三角形余料，
边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上 ， 这个正方形零件的边长是多少？
A
A
S
E
R
B
P
D
Q
C
如图，△ABC的高AD与边SR相交于点E . 设正方形的边长为x mm .
∵SR∥BC, 解：
（相似三角形判定的 ∴ △ASR∽△ABC．
∴ AE SR
AD
80 x x ． 80 120 解得 x =48(mm).
BC
预备定理）. （相似三角形的对应 高的比等于相似比）.
小
性质定理：
结
1. 相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角分 线的比与相似比有什 么关系? 2.相似三角形周长的比等于相似比 , 相似三角形对应中线 面积的比等于相似比的平方 的比和相似比有什么 关系?
C (两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)
S AE 2 （相似三角形面积的比等于 ADE 2 相似比的平方） S AC
ABC
B
∴
(以下解略)
归纳提炼
相似多边形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,
对应中线的比,对应周长的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形对应对角线的比等于相似比. 相似多边形对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比. 相似多边形对应三角形面积的比等于相似 多边形的相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
EG EA
B
A G E D 图5 E C F
练习 如图7, △BAC中，AB=AC,BD⊥AC
于 D. 2 BC 2CD CA 求证: . 分析:如何处理结论中的2 是解答此题的关键. 根据 1 CB CA CB CA 2 ,或 . 2CD CB CD CB
A
D B C
图7
考虑作一条线段等于2CD 1 或 2 BC 或2CA, 再证明两个三角形相似.
BC BG ∴ BA BC . BD BG
A
变式4
G
E B D 图6
F
∴ △BAD∽△BCG . ∴ ∠BAD = ∠BCG.
C
证明: 2) 由1) ∠BCG =∠BAD,
∵∠DEC =∠GEA, ∴△DEC ∽△GEA, DE EG ∴ , EC EA ∴ DE EC .
∵∠DEG =∠CEA, ∴△DEG∽△CEA .
小 结
相似多边形的性质:
相似三角形对应高的比,周长的比都等于
相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形周长的比等于相似比. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
自我测试 1、两个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么 它们的相似比是1:3 ___,周长比是____,面积比是____ 2、若两个相似三角形的相似比是3:5,其中第一 个三角形的周长为21cm,则第二个三角形的 周长为 35 cm. 3、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来 的5倍，那么它的周长扩大为原来的 5 倍， A 而面积扩大为原来的 25 倍。 4、如图，已知△ABC∽△ADE， D E 且BC=2DE，则△ADE与四 C 边形BCDE的面积比为（ B ） B (A)1：2 (B)1：3 (C)1；4 (D)1：5
变式2 AD是Rt △ABC斜边上的高.
1)已知BD=9cm, AD=6cm,求DC; 2)已知BC=25cm, AC=15cm,求DC. 解1) ∵ △ABC是直角三角形 AD是斜边BC上的高, ∴ △BAD∽△ACD. ∴ BD AD , AD DC 即 9 6 , ∴ DC 6 6 4(cm). 6 DC 9
练习:
A E D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CAMN 3 _____; 5 CABC
M B
N C
S AMN 9 _____; 25 S ABC
议一议: 如图,四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似, 且相似比为k,它们周长的比、面积的 比与相似比有什么关系? 如果把四边形换 C 成五边形，你刚 C’ 才的结论是否仍 D 然成立呢? D’ A
A E R
S
B
P
D
Q
C
答：加工成的正方形零件的边长为48mm.
变式1 已知：△ABC 中,∠A=90 °，四边
形DEFG为正方形，G、F分别在AB、AC 上，D、E在BC上. 1、图中有多少个直角三角形？ 2、这些直角三角形中哪些三角形是相似的？ 答： A 1、有4个，他们是 G F △BAC,△BDG, △FEC,△GAF B D E C 2、△BAC,△BDG, △FEC, 图2 △GAF彼此都是相似三角形.
变式3
如图5，PD⊥BC于D, BA⊥PC于 6 对. A, 则图中相似三角形共有_____ 分析：易证△BAC、△BDG、 △PAG、 △PDC彼此都是相似三角形. P
AA G F
B
D E 图 53 图
C
分离基本图 形
如图6，△BAC中，∠BAC=90 ° GD⊥BC于D, AD交GC于E . 求证:1)∠BAD =∠BCG. 2)△DEG∽△CEA . 证明:1) ∵∠BDG=∠A=90°,∠B= ∠ B , ∴ △BAC∽△BDG . ∴ BA BD .
例.判断正误： 1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。 2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍， 那么它的三边也都扩大为原来的9倍。
例.如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
AE AD 3 已知△ABC的面积为100cm2 ， AC AB 5 A 求四边形BCDE的面积. E 解：∵ AE AD 3 ，∠A=∠A AC AB 5 D
复习
相似三角形的性质 1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2 相似三角形对应高的比，对应中线的比与 对应角平分线的比都等于相似比. 3 相似三角形周长的比等于相似比, 面积比等于相似比的平方.
AM 3 (1)△ABC中,MN∥BC,AD⊥BC, MB 2 则 3 MN _____; 5 BC 3 AE _____; 5 AD
B
A’
B’
相似多边形的性质:
相似多边形的周长比等于 相似比 面积比等于 相似比的平方 _________. ，
例 如图, △ABC 是一块锐角三角形余料，
边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上 ， 这个正方形零件的边长是多少？
A
A
S
E
R
B
P
D
Q
C
如图，△ABC的高AD与边SR相交于点E . 设正方形的边长为x mm .
∵SR∥BC, 解：
（相似三角形判定的 ∴ △ASR∽△ABC．
∴ AE SR
AD
80 x x ． 80 120 解得 x =48(mm).
BC
预备定理）. （相似三角形的对应 高的比等于相似比）.
小
性质定理：
结
1. 相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角分 线的比与相似比有什 么关系? 2.相似三角形周长的比等于相似比 , 相似三角形对应中线 面积的比等于相似比的平方 的比和相似比有什么 关系?