系统动力学的数学模例题精解
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控制系统的数学模型
例题精解
例题精解
例2.1 弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系 器 统的运动方程。 yr ƒ （2）列写原始方程式。由于无质 F 量，按受力平衡方程，各受力点任何时 刻均满足ΣF=0，则对于A点有
f
解： （1）设输入为 y r ，输出为 y 0 ， 弹簧与阻尼器并联平行移动。
d 2θ J = Vl θ − Hl 2 dt d 2x d 2θ m + ml = H 2 2 dt dt 0 = V − mg M d 2x = u − H 2 dt
用
d2 s2 = 2 dt
的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、
H、x得
M +m ( − Ml − J ) s 2θ + ( M + m ) g θ = u ml
R（s） （c）
G1G2+G2+1
C（s）
图2.13 系统结构图化简
例2.10 已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示， 试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。
解：（1）列写 k1 图2.14 （a）所示 机械系统的运动方 F1 程，遵循以下原则： 并联元件的合力等 于两元件上的力相 ƒ 加，平行移动，位 2 移相同。串联元件 各元件受力相同， k2 总位移等于各元件 相对位移之和。 微分方程组为：
程为
d 2θ dθ ml 2 + αl + mgθ = 0 dt dt
例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。 解：（1）设输入量为作用力矩Mƒ，输 出为旋转角速度ω。 （2）列写运动方程式 Mƒ J f ω
dω J = − fω + M dt
（3）整理成标准形为
f
图2.3 机械旋转系统
.
d 2x dx +3 + 6x = 0 2 dt dt
解：对方程两端取拉氏变换为
& s 2 X ( s ) − sx ( 0 ) − x ( 0 ) + 3 sX ( s ) − 3 x ( 0 ) + 6 X ( s ) = 0
代入初始条件得到
(s 2 + 3s + 6) X (s) = 3
解出X（s）为
• • •
F
χ
ƒ 1 F2
i
R1
χ0
y ei
• i1
i2 C1
•
i R2 C2
•
e0
•
•
（b） 图2.14 系统结构图
（ a ） 机械系统（b）电气系统
（a）
& & F = F1 + F2 = f1 ( xi − x0 ) + k1 ( xi − x0 ) & & F = f 2 ( x0 − y ) F = k2 y
UC2 (s)
图2.7（c）
Ur (s)
+
－
1 R 1C
1
s
1 R 2C
UC2 (s)
2
s
R1C2 s
图2.7（d）
Ur (s)
1 R1C1 R 2 C 2 s 2 + ( R1C1 + R 2 C 2 + R1C 2 ) s + 1
UC2 (s)
图2.7（e）
例2.6 有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得 的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。 解：图2.8中Z i和Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗， A点为虚地，即UA ≈ 0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2 则有
G2
R（s）
++
G1 H
+
+
C（s）
图2.10 系统结构图
(a)
R（s） +–
G2 G1 G1 + + C（s）
H
(b)
R（s）
G1 1+G1H
1+ G2 G1
C（s）
C（s）
(c)
R（s）
G1+G2 1+G1H
图2.11 系统结构图的简化 例2.9 已知系统结构图如图2.12所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。 R（s） G1
[
]
P =
∑
PK ∆ r ∆
独立回路有三个：
1 1 −1 L1 = − ⋅ = R1 C 1 s R1C 1 s 1 1 −1 ⋅ = L2 = − R2 C 2s R 2C 2 s 1 1 −1 L3 = − ⋅ = C1s R 2 R 2C1s
回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则
L12
θ
dθ dt d 2θ dt 2
（2）求取线性化方程。
l
解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆 角θ，摆球质量为m。 （2）由牛顿定律写原始方程 d 2θ m ( l 2 ) = − mg sin θ − h dt 式中， l 为摆长； l θ运动弧长；h为空气阻力。
l
h
mg （3）写中间变量关系式
U i ( s ) = I1 ( s ) Z i ( s ) U c ( s) = − I 2 ( s) Z f ( s)
故传递函数为
Z f (s) Uc ( s ) = − G (s) = Ui ( s ) Z i (s)
对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对 于图2.9所示PI调节器，有
++
G2
C（s）
++
图2.12 系统结构图
解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。 （2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。 （3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。 R（s） （a） G1
++
G2
C（s）
++
R（s） （b）
G1+1
G2
C（s）
++
式中，fω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。
dω J + fω = M f dt
此为一阶线性微分方程，若输出变量改为θ，则由于ω= 二阶线性微分方程式 dθ ， 代入方程得 dt
d 2θ dθ J + f =M 2 dt dt
f
例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是 稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾 倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力 u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程 式。 解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角θ。 （2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为( x A ,
1 I 2 ( s ) = U C1 ( s ) − U C 2 ( s ) R2 1 U C2 ( s) = I 2 ( s) ⋅ C2s
（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7 （a）、（b）。 （3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。 （4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。
yA )
，于是
x A = x + l sin θ y A = l cos θ
画出系统隔离体受力图如图2.5所示。
y
y l
x A
l cosθ o
x
θ l l
θ
A V
mg P
u
l
o u
H V
mg H M
M
图2.4 倒立摆系统
图2.5 隔离体受力图
摆杆围绕中心A点转动方程为
d 2θ J = Vl sin θ − Hl cos θ 2 dt
小车沿x轴方向运动方程式为
（2.3）
d 2x M = u − H 2 dt
（2.4）
方程（2.1）~（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sinθ和c o s θ项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 （3）当θ很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sin θ≈ θ，同理 可得到c o s θ ≈ 1。则方程式（2.1）~（2.4）可用线性化方程表示为
MJ J d 2θ dθ ( Ml + + ) − (M + m )g = −u 2 ml l dt dt
将微分算子还原后得
此为二阶线性化偏量微分方程。
例2.5 RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求 传递函数Uc2（s）/Ur（s）。
R1
R2
解： 在线性电路的计算中，引入了复 阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗 之间的关系满足广义的欧姆定律。即
由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为
∆1 = 1
代入梅逊公式得传递函数
P1 ∆ 1 P = ∆
1 R 1C 1 R 2 C 2 s 2 = = 1 1 1 1 1+ + + + R 1C 1 s R 2C 2 s R 2C 1s R 1C 1 R 2 C 2 s 2
1 R 1 R 2 C 1C 2 s 2 + ( R 1C 1 + R 2 C 2 + R 1C 2 ) s + 1
Ur (s)
+
－
1 R1
I1(s)
I1(s)
+
－
1 U C1 ( s ) C1s
U C1 ( s )
U C1 (s ) (s
+
－
I 2 ( s) (s 1 I 2 (s ) R2 I 2 (s ) (s
Z i ( s ) = R1 1 Z f (s) = R2 + Cs
故
G (s) = −
Zf Zi
Z f (s) Z i (s)
=
R2 +
1 Cs = R 2 Cs + 1 R1 R 1 Cs
R1 R2 C
i2 uc +
ui
ui i1
uc +
图2.8 有源网络
图2.9 PI调节器
例2.7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知χ （0）=0， χ （0）=3。
h = α (l
dθ ) dt
图2.2单摆运动
l 式中，α为空气阻力系数；
dθ 为运动线速度。 dt
（4）消中间变量得运动方程式
d 2θ dθ ml 2 + αl + mg sin θ = 0 dt dt
此方程为二阶非线性齐次方程。 （5）线性化。在θ=0附近，非线性函数sin θ≈ θ，故代入上式可得线性化方
3 3 X (s) = 2 =2 ⋅ s + 3s + 6 5
15 2 15 2 ( s + 1 .5 ) + ( ) 2
2
反变换得时域解为( 5
15 t) 2
例2.8 已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。 解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。 如图2.11（a）所示。 （2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。 （3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c）。
i1 ur
C1
i2
C2
uc2
U (s) = Z (s) I (s)
如果二端元件是电阻R、电容C或电感L， 则复阻抗Z（s）分别是R、1/Cs或Ls。 （1）用复阻抗写电路方程式：
图2.6 RC无源网络
I ( s ) = [U ( s ) − U
1 r
C1
1 ]⋅ R ( s)
1
1 U C1 ( s ) = [I1 ( s ) − I 2 ( s )]⋅ C1s
式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为
（2.1）
d 2xA m = H 2 dt
即
d2 m ( x + l sin θ ) = H 2 dt
摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为
（2.2）
d 2yA m = V − mg 2 dt
即
d2 m 2 ( l cos θ ) = V − mg dt
K1
F f + FK1 − FK 2 = 0
其中，Fƒ阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。 （3）写中间变量关系式
·A
K2 y0 图2.1 机械位移系统
d ( yr − y0 ) Ff = f ⋅ dt FK1 = K 1 ( y r − y 0 ) FK 2 = K 2 y 0
（4）消中间变量得
dyr dy0 f −f + K1 y r − K1 y 0 = K 2 y 0 dt dt
（5）化标准型
dy0 dyr T + y0 = T + Kyr dt dt
式中， = T
f K1 + K 2
K1 为时间常数，单位（秒）； K = K1 + K2
为传递
系数，无量纲。
例2.2 已知单摆系统的运动如图2.2所示。 （1）写出运动方程式；
1 = L1 L 2 = R1 C 1 R 2 C 2 s 2
由上可写出特征式为
1 1 1 1 ∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 ) + L1 L2 = 1 + + + + R1C1s R2C 2 s R2C1s R1C1 R2C 2 s 2
前向通路只有一条
1 1 1 1 1 P1 = − ⋅ ⋅ ⋅ = R1 C1 s R2 C 2 s R1 R2 C1C 2 s 2
(s 1 UC2 (s) Cs 2
UC2 (s)
图2.7（a）
Ur (s)
+－
1 I1(s) R1
+
－
1 C1s
U C1 ( s )
+
－
1 1 UC2 (s) R2 I ( s ) Cs 2 2
图2.7（b）
R1C 2 s
Ur (s)
+
－
+
－
1 R1
1 C1s
U C1 ( s )
+
－
1 R2
1 Cs 2
例题精解
例题精解
例2.1 弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系 器 统的运动方程。 yr ƒ （2）列写原始方程式。由于无质 F 量，按受力平衡方程，各受力点任何时 刻均满足ΣF=0，则对于A点有
f
解： （1）设输入为 y r ，输出为 y 0 ， 弹簧与阻尼器并联平行移动。
d 2θ J = Vl θ − Hl 2 dt d 2x d 2θ m + ml = H 2 2 dt dt 0 = V − mg M d 2x = u − H 2 dt
用
d2 s2 = 2 dt
的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、
H、x得
M +m ( − Ml − J ) s 2θ + ( M + m ) g θ = u ml
R（s） （c）
G1G2+G2+1
C（s）
图2.13 系统结构图化简
例2.10 已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示， 试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。
解：（1）列写 k1 图2.14 （a）所示 机械系统的运动方 F1 程，遵循以下原则： 并联元件的合力等 于两元件上的力相 ƒ 加，平行移动，位 2 移相同。串联元件 各元件受力相同， k2 总位移等于各元件 相对位移之和。 微分方程组为：
程为
d 2θ dθ ml 2 + αl + mgθ = 0 dt dt
例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。 解：（1）设输入量为作用力矩Mƒ，输 出为旋转角速度ω。 （2）列写运动方程式 Mƒ J f ω
dω J = − fω + M dt
（3）整理成标准形为
f
图2.3 机械旋转系统
.
d 2x dx +3 + 6x = 0 2 dt dt
解：对方程两端取拉氏变换为
& s 2 X ( s ) − sx ( 0 ) − x ( 0 ) + 3 sX ( s ) − 3 x ( 0 ) + 6 X ( s ) = 0
代入初始条件得到
(s 2 + 3s + 6) X (s) = 3
解出X（s）为
• • •
F
χ
ƒ 1 F2
i
R1
χ0
y ei
• i1
i2 C1
•
i R2 C2
•
e0
•
•
（b） 图2.14 系统结构图
（ a ） 机械系统（b）电气系统
（a）
& & F = F1 + F2 = f1 ( xi − x0 ) + k1 ( xi − x0 ) & & F = f 2 ( x0 − y ) F = k2 y
UC2 (s)
图2.7（c）
Ur (s)
+
－
1 R 1C
1
s
1 R 2C
UC2 (s)
2
s
R1C2 s
图2.7（d）
Ur (s)
1 R1C1 R 2 C 2 s 2 + ( R1C1 + R 2 C 2 + R1C 2 ) s + 1
UC2 (s)
图2.7（e）
例2.6 有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得 的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。 解：图2.8中Z i和Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗， A点为虚地，即UA ≈ 0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2 则有
G2
R（s）
++
G1 H
+
+
C（s）
图2.10 系统结构图
(a)
R（s） +–
G2 G1 G1 + + C（s）
H
(b)
R（s）
G1 1+G1H
1+ G2 G1
C（s）
C（s）
(c)
R（s）
G1+G2 1+G1H
图2.11 系统结构图的简化 例2.9 已知系统结构图如图2.12所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。 R（s） G1
[
]
P =
∑
PK ∆ r ∆
独立回路有三个：
1 1 −1 L1 = − ⋅ = R1 C 1 s R1C 1 s 1 1 −1 ⋅ = L2 = − R2 C 2s R 2C 2 s 1 1 −1 L3 = − ⋅ = C1s R 2 R 2C1s
回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则
L12
θ
dθ dt d 2θ dt 2
（2）求取线性化方程。
l
解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆 角θ，摆球质量为m。 （2）由牛顿定律写原始方程 d 2θ m ( l 2 ) = − mg sin θ − h dt 式中， l 为摆长； l θ运动弧长；h为空气阻力。
l
h
mg （3）写中间变量关系式
U i ( s ) = I1 ( s ) Z i ( s ) U c ( s) = − I 2 ( s) Z f ( s)
故传递函数为
Z f (s) Uc ( s ) = − G (s) = Ui ( s ) Z i (s)
对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对 于图2.9所示PI调节器，有
++
G2
C（s）
++
图2.12 系统结构图
解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。 （2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。 （3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。 R（s） （a） G1
++
G2
C（s）
++
R（s） （b）
G1+1
G2
C（s）
++
式中，fω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。
dω J + fω = M f dt
此为一阶线性微分方程，若输出变量改为θ，则由于ω= 二阶线性微分方程式 dθ ， 代入方程得 dt
d 2θ dθ J + f =M 2 dt dt
f
例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是 稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾 倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力 u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程 式。 解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角θ。 （2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为( x A ,
1 I 2 ( s ) = U C1 ( s ) − U C 2 ( s ) R2 1 U C2 ( s) = I 2 ( s) ⋅ C2s
（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7 （a）、（b）。 （3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。 （4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。
yA )
，于是
x A = x + l sin θ y A = l cos θ
画出系统隔离体受力图如图2.5所示。
y
y l
x A
l cosθ o
x
θ l l
θ
A V
mg P
u
l
o u
H V
mg H M
M
图2.4 倒立摆系统
图2.5 隔离体受力图
摆杆围绕中心A点转动方程为
d 2θ J = Vl sin θ − Hl cos θ 2 dt
小车沿x轴方向运动方程式为
（2.3）
d 2x M = u − H 2 dt
（2.4）
方程（2.1）~（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sinθ和c o s θ项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 （3）当θ很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sin θ≈ θ，同理 可得到c o s θ ≈ 1。则方程式（2.1）~（2.4）可用线性化方程表示为
MJ J d 2θ dθ ( Ml + + ) − (M + m )g = −u 2 ml l dt dt
将微分算子还原后得
此为二阶线性化偏量微分方程。
例2.5 RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求 传递函数Uc2（s）/Ur（s）。
R1
R2
解： 在线性电路的计算中，引入了复 阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗 之间的关系满足广义的欧姆定律。即
由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为
∆1 = 1
代入梅逊公式得传递函数
P1 ∆ 1 P = ∆
1 R 1C 1 R 2 C 2 s 2 = = 1 1 1 1 1+ + + + R 1C 1 s R 2C 2 s R 2C 1s R 1C 1 R 2 C 2 s 2
1 R 1 R 2 C 1C 2 s 2 + ( R 1C 1 + R 2 C 2 + R 1C 2 ) s + 1
Ur (s)
+
－
1 R1
I1(s)
I1(s)
+
－
1 U C1 ( s ) C1s
U C1 ( s )
U C1 (s ) (s
+
－
I 2 ( s) (s 1 I 2 (s ) R2 I 2 (s ) (s
Z i ( s ) = R1 1 Z f (s) = R2 + Cs
故
G (s) = −
Zf Zi
Z f (s) Z i (s)
=
R2 +
1 Cs = R 2 Cs + 1 R1 R 1 Cs
R1 R2 C
i2 uc +
ui
ui i1
uc +
图2.8 有源网络
图2.9 PI调节器
例2.7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知χ （0）=0， χ （0）=3。
h = α (l
dθ ) dt
图2.2单摆运动
l 式中，α为空气阻力系数；
dθ 为运动线速度。 dt
（4）消中间变量得运动方程式
d 2θ dθ ml 2 + αl + mg sin θ = 0 dt dt
此方程为二阶非线性齐次方程。 （5）线性化。在θ=0附近，非线性函数sin θ≈ θ，故代入上式可得线性化方
3 3 X (s) = 2 =2 ⋅ s + 3s + 6 5
15 2 15 2 ( s + 1 .5 ) + ( ) 2
2
反变换得时域解为( 5
15 t) 2
例2.8 已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。 解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。 如图2.11（a）所示。 （2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。 （3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c）。
i1 ur
C1
i2
C2
uc2
U (s) = Z (s) I (s)
如果二端元件是电阻R、电容C或电感L， 则复阻抗Z（s）分别是R、1/Cs或Ls。 （1）用复阻抗写电路方程式：
图2.6 RC无源网络
I ( s ) = [U ( s ) − U
1 r
C1
1 ]⋅ R ( s)
1
1 U C1 ( s ) = [I1 ( s ) − I 2 ( s )]⋅ C1s
式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为
（2.1）
d 2xA m = H 2 dt
即
d2 m ( x + l sin θ ) = H 2 dt
摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为
（2.2）
d 2yA m = V − mg 2 dt
即
d2 m 2 ( l cos θ ) = V − mg dt
K1
F f + FK1 − FK 2 = 0
其中，Fƒ阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。 （3）写中间变量关系式
·A
K2 y0 图2.1 机械位移系统
d ( yr − y0 ) Ff = f ⋅ dt FK1 = K 1 ( y r − y 0 ) FK 2 = K 2 y 0
（4）消中间变量得
dyr dy0 f −f + K1 y r − K1 y 0 = K 2 y 0 dt dt
（5）化标准型
dy0 dyr T + y0 = T + Kyr dt dt
式中， = T
f K1 + K 2
K1 为时间常数，单位（秒）； K = K1 + K2
为传递
系数，无量纲。
例2.2 已知单摆系统的运动如图2.2所示。 （1）写出运动方程式；
1 = L1 L 2 = R1 C 1 R 2 C 2 s 2
由上可写出特征式为
1 1 1 1 ∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 ) + L1 L2 = 1 + + + + R1C1s R2C 2 s R2C1s R1C1 R2C 2 s 2
前向通路只有一条
1 1 1 1 1 P1 = − ⋅ ⋅ ⋅ = R1 C1 s R2 C 2 s R1 R2 C1C 2 s 2
(s 1 UC2 (s) Cs 2
UC2 (s)
图2.7（a）
Ur (s)
+－
1 I1(s) R1
+
－
1 C1s
U C1 ( s )
+
－
1 1 UC2 (s) R2 I ( s ) Cs 2 2
图2.7（b）
R1C 2 s
Ur (s)
+
－
+
－
1 R1
1 C1s
U C1 ( s )
+
－
1 R2
1 Cs 2