条件期望的性质与应用

条件期望的性质和应用

摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。 关键词：条件期望；定义；性质；应用

条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。 1 条件期望的几种定义

1.1 条件分布角度出发的条件期望定义

从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。

由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。 定义1 离散随机变量的条件期望

设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，

1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞

⋅====>∑的j y ，称

()()

|,(),1,2,j ij i i j i j j

j P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅======

=

=⋅⋅⋅=

为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。

此时条件分布函数为 ()

()i i j i j i j x x

x x

F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；

同理，对一切使()1

0i i ij j P X x p p +∞

⋅====>∑的i x ，称

()()()

j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅

======

=

=⋅⋅⋅=

为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。

此时条件分布函数为 ()()j j i j

i j i

y y

y y

F y x P Y y

X x p

≤≤=

===

∑∑。

故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下

()()i i i

E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j j

E Y X x y P Y y X x ====∑。

定义2 连续随机变量的条件期望

设二维连续随机变量（X,Y ）的联合密度函数为(,)p x y ，边际密度函数为

()X p x 和()Y p y 。

对一切使()Y p y >0的y ，给定Y y =条件下X 的条件分布函数和条件密度函数 分别为(,)

()()x

Y p u y F x y du p y -∞

=⎰

，()()()

,Y p x y p x y p y =； 同理对一切使()X p x >0的x ，给定X=x 条件下Y 的条件分布函数和条件密度 函数分别为(,)

()()y

X p x v F y x dv p x -∞

=⎰

，()()()

,X p x y p y x p x =。 故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下

()()E X Y y xp x y dx +∞-∞

==⎰

或()()E Y X x yp y x dy +∞

-∞

==⎰

。

1.2 测度论角度出发的条件期望定义

借助测度论这一数学工具，给出了随机变量在给定子δ代数下条件期望的一 般性定义——公理化定义，通过讨论，还可同时发现它的两条等价性定义。 引理1 若X 是可积(或积分存在)随机变量，则必存在惟一的(不计几乎处处相等的差别)可积(相应地，积分存在)的G 可测随机变量Y ，它满足

,A

A

YdP XdP A G =∀∈⎰⎰

(1)

定义3(公理化定义) 设X 是概率空间(,,)F P Ω上的可积(或积分存在)随机 变量，G 是F 的子σ代数，则X 关于G 的条件期望()E X G 是满足以下两条件的随机变量：

(i) ()E X G 是G 可测的；

(ii) (),A

A

E X G dP XdP A G =∀∈⎰⎰。

特别地，当()G Y σ=时，也称()E X G 为X 关于随机变量Y 的条件期望，记 为()E X Y 。

由引理1，条件期望()E X G =

dv

dP

就是由(1)式定义的符号测度v 关于P 的 Radon 导数。

由定义 3看出，条件期望是通过积分等式(1)确定的，根据积分性质易知，两个几乎处处相等的函数的积分是相等的。 因此，条件期望的确定以及许多有关条件期望的论断都是不计几乎处处相等的差别的，从而涉及的关系式都是几乎处处相等意义下的。

由上面的讨论，我们有如下的等价定义：

定义4 设X 是概率空间(,,)F P Ω上的可积(或积分存在)随机变量，G 是F 的子σ代数，则X 关于G 的条件期望Y 是满足以下两条件的随机变量 (i)Y 是G 可测的；

(ii),A

A

YdP XdP A G =∀∈⎰⎰。

定义5 设X 是概率空间(,,)F P Ω上的可积(或积分存在)随机变量，G 是F 的子σ代数，则X 关于G 的条件期望()E X G 是满足以下两条件的随机变量：

(i)()E X G 是G 可测的；

(ii)()[],A A E E X G I E XI A G ⎡⎤=∀∈⎣⎦。

上述三个定义虽然表达式有所不同，但其本质是相同的，且都是以公理化的 形式给出的，显得比较抽象，增加了定义的理解难度。 1.3 几何角度出发的条件期望定义

从几何的角度，利用投影定理这一数学工具，给出条件期望的几何定义。 引理2(投影定理) 如果M 是Hilbert 空间H 的一个闭线性子空间,且x H ∈,那么

(i) 存在惟一元素^

x M ∈,使得inf y M

x x x y ∈-=-,

(ii)x M ∈且inf y M

x x x y ∈-=-成立的充分必要条件是x M ∈,x x M ⊥-∈,其

中⋅是Hilbert 空间上的范数, M ⊥是M 的正交补。 称x 为x 在M 上的正交投影,记为Mx P 。

实Hilbert 空间2(,,)L F P Ω内积定义为,()X Y E XY =。

引理3 记():(,,)P P L F L F μΩ； ():(,,)P P L G L G μΩ， 则()P L G 是()P L F 的子空