线性代数教案-相似矩阵及二次型

线性代数教学教案
第四章 相似矩阵及二次型
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第四章 第一节 向量的内积、长度及正交性 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 向量的内积和长度、向量的正交、正交向量组、施密特正交化过程、正交矩阵
教学难点 向量组的施密特正交化、
正交矩阵
参考教材 同济版《线性代数》
作业布置 课后习题
大纲要求 了解向量的内积、长度、正交、标准正交基、正交矩阵等概念；
掌握施密特正交化方法。

教 学 基 本 内 容
一、 向量的内积、长度：
向量的内积：设有维向量，令
，
称为向量与
的内积.
内积的性质（其中与都是维列向量，为实数）： (i) ； (ii)
；
(iii) ；
(iv) ，当且仅当时，.
柯西-施瓦茨（-Schwarz ）不等式：.
n 112
2,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
x y []T 1122,n n x y x y x y ==+++ x y x y [],x y x y ,x y z n λ[][],,=x y y x [][][],,,λλλ==x y x y x y [][][],,,+=+x y z x z y z [],0≥x x =0x [],0=x x [][][]2
,,,≤x y x x y y
第二步，将单位化，得到.
于是，就是的一个规范正交基.
四、正交矩阵：
正交矩阵：如果阶矩阵满足(即)，那么称为正交矩阵，简称正交阵.
定理 设矩阵是阶方阵，则下列结论等价： （1）是阶正交阵；
（2）的列向量组是的一个规范正交基；
（3）的行向量组是的一个规范正交基.
正交变换：若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换. 五、主要例题：
例1 已知3维空间中的两个向量正交，试求一个非零向量，
使两两正交.
例2 设是的一个基，求一个与等价的规范正交基.
例3 已知，求一组非零向量，使两两正交. 例4 验证矩阵
是正交阵. 12,,,r βββ11221
2
1
1
1
,,,r r r
=
=
=
ξβξβξββββ12,,,r ξξξV n A T
=E A
A 1T -=A A A A n A n A n
A n
P =y Px 3
12111,211⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
αα3α123,,ααα1231021,4,1111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα3
123,,ααα1111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
α23,αα123,,ααα1111222211112
2221111222211112222⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
P
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题 第四章 第二节 方阵的特征值与特征向量 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 方阵特征值、特征向量的求法和性质 教学难点 方阵特征值、
特征向量的求法和性质
参考教材 同济版《线性代数》
作业布置 课后习题
大纲要求 理解方阵特征值、特征向量的概念和性质；
掌握方阵特征值、特征向量的求法。

教 学 基 本 内 容
一、方阵特征值、特征向量的概念及求法：
特征值和特征向量：设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式成立，那么数称为矩阵的特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.
特征多项式：记， 则是的次多项式，称为矩阵的特征多项式.
特征方程：.
的特征值就是特征方程的根。

二、方阵的特征值与特征向量的性质：
性质1 设阶矩阵的特征值为，则 (i)
；
(ii) .
性质2 若是方阵的特征值， 为对应于特征值的特征向量，则 (i)
是方阵的特征值（为非负整数），对应于特征值的特征向量是；
A n λn αλ=AααλA αA λ()1112121
22211
12
n n
nn a a a a a a f E a a a λ
λλλλ
--=-=
- A ()f λλn A
0E λ-=A A n ()
ij a =A 12,,,n λλλ 121122n nn a a a λλλ+++=+++ 12n λλλ= A λA αλk λk A k k
λα
(ii) 是方阵的特征值（为任意常数），对应于特征值的特征向量是； (iii) 当可逆时,是方阵的特征值，对应于特征值的特征向量是；
(iv) 若矩阵的多项式是，则方阵的特征值是（其中是关于的多项式）
，对应于特征值的特征向量是. 性质3 如果与是方阵的同一特征值所对应的特征向量，则(、不同时为零)也是特征值所对应的特征向量.
性质4 设是方阵的个互不相同的特征值，是依次与之对应的特征向量，则
线性无关.
性质5 设和是矩阵的两个不同的特征值，和是分别对应于和的线性无关的特征向量，则线性无关.
三、主要例题：
例1 求矩阵的特征值和特征向量.
例2 求矩阵 的特征值和特征向量 例3 求矩阵的特征值和特征向量.
例4 设3阶矩阵的特征值为，求的特征值.
例5 设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为和，证明不是的特征向量.
k λk A k k λαA 1
λ-1
-A
1
λ-αA ()10m m a a a ϕ=+++ A A A E ()ϕA ()ϕλ()10m m a a a ϕλλλ=+++ λ()ϕλα1α2αA λ1122k k +αα1k 2k λ12,,,m λλλ A m 12,,,m ααα12,,,m ααα1λ2λA 12,,,s ααα12,,,t βββ1λ2λ1212,,,,,,,s t αααβββ100020003⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A 120030211-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
B 102030201⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
C 1,2,3*
232-+A A E 1λ2λA 1α2α12+ααA
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题 第四章 第三节 相似矩阵 课的类型 复习、新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 相似矩阵的概念和性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点 矩阵可相似对角化的充分必要
条件
参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题
大纲要求 理解矩阵相似的概念和性质；
理解矩阵可相似对角化的充分必要条件。

教 学 基 本 内 容
一、方阵相似的定义和性质：
定义：设都是阶矩阵，若有可逆矩阵，，则称是的相似矩阵，或者说矩阵与
相似. 对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.
定理1 若阶矩阵与相似,则与有相同的特征多项式,从而与有相同的特征值.
推论 若阶矩阵与对角阵相似，则即是的个特征值. 若阶矩阵与相似，即，则，并且的多项式
.
特别地，若有可逆矩阵，使为对角阵，则.而对于对角阵
,A B n P 1-=P AP B B A A B A 1-P AP A P A B n A B A B A B n A 12n λλλ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭ Λ12,,,n λλλ A n n A B 1-=P AP B (
)
11k
k k --==A PBP
PB P A ()()()111010=m
m m m a a a a a a ϕ--=++++++ A A A E PBP PBP E ()()1110m m a a a --=+++ PB P PBP E ()()()11110=m m a a a ---+++ P B P P B P P E P ()()1110m m a a a ϕ--=+++= P B B E P P B P P 1
-=P AP Λ()()11,k k ϕϕ--==A P P A P P ΛΛ
，有
， 由此可方便地计算的高次幂及的多项式.
二、方阵的相似对角化：
定理2 阶矩阵与对角阵相似(即能对角化)的充分必要条件是有个线性无关的特征向量. 推论 如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似.
三、主要例题：
例1 设 有三个线性无关的特征向量，求与应满足的条件.
()12,,,n diag λλλ= Λ()()()()1122,k k
k k n n ϕλλϕλλϕϕλλ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
ΛΛA k
A A ()ϕA n A A A n n A n A 0011100x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A x y
授课序号04
教 学 基 本 指 标
教学课题 第四章 第四节 实对称矩阵的相似对角化 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 实对称矩阵特征值的性质、实对称矩阵对角化的方法
教学难点 实对称矩阵特征值的性质、
实对称矩阵对角化的方法
参考教材 同济版《线性代数》
作业布置 课后习题
大纲要求 了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质；
掌握利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角阵的方法。

教 学 基 本 内 容
一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质： 性质1 实对称矩阵的特征值为实数.
性质2 设是对称阵的两个特征值，是对应的两个特征向量. 若，则与正交.
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理 阶实对称阵必定正交相似于实对角阵，即存在正交阵，使，其中的
对角线上的元素是的个特征值.
推论 设为阶实对称阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值有个线性无关的特征向量.
三、主要例题：
例1 设矩阵，求正交阵 ，使得为对角阵.
例2 设，求.
12,λλA 12,p p 12λλ≠1p 2p n A ΛP 1
T
-==P AP P AP ΛΛA n A n λA k λ-A E ()R n k λ-=-A E λk 102010302⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A P 1T
-=P AP P AP 211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A 10
A
授课序号05
教 学 基 本 指 标
教学课题 第四章 第五节 二次型及其标准形
课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 二次型及其标准形的概念、二次型的矩阵表示、用正交变换化二次型为标准形
教学难点 用正交变换化二次型为标准形
参考教材 同济版《线性代数》
作业布置 课后习题
大纲要求 熟悉二次型及其标准形的概念；
熟悉二次型及其标准形的矩阵表示、二次型的秩； 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法； 会用配方法化二次型为规范形。

教 学 基 本 内 容
一、二次型及其标准形的定义：
二次型：含有个变量的二次齐次多项式
称为二次型. 如果所有系数均为实数，则称二次型为实二次型. 二次型的标准形：如果元二次型只含有平方项，即
，称这样的二次型为二次型的标准形.
二次型的规范形：如果标准形的系数只在三个数中取值，也就是
，就称其为二次型的规范形.
n 12,,,n x x x ()212111*********,1,,,222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++ 2
22223232,222n n a x a x x a x x ++++ + 2
1,111,12n n n n n n n a x a x x -----++2
nn n a x +()1,ij a i j n ≤≤n ()12,,,n f x x x ()222
121122,,,n n n f x x x k x k x k x =+++ 12,,,n k k k 1,1,0-()22221211,,,n p p r f x x x x x x x +=++---
二次型的矩阵表示：二次型
，
其中
. 把对称阵叫做二次型的矩阵，也把叫做对称阵的二次型. 二次型的秩：对称阵的秩就叫做二次型的秩.
二、用正交变换化二次型为标准形：
矩阵的合同：设和是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称矩阵与合同. 定理 任给二次型，总有正交变换，使化为标准形
，
其中是的矩阵的特征值.
推论 任给元二次型，总有可逆变换，使为规范形.
三、用配方法化二次型为规范形：（可不讲）
四、主要例题：
例1 求一个正交变换，把二次型化为标准形. 例2 用配方法化二次型成标准形，并求所用的变换矩阵. 例3 用配方法化二次型成规范形,并求所用的变换矩阵.
()222
T 1211122212121,1,,,n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x x x --=++++++= A 11121121222212,n n n n n nn a a a x a a a x x a a a ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪==
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
A x A ()T
f x x x =A ()T
f x x x =A A A ()T
f x x x =A A B n C T
=B C AC A B (),1
n
ij i
j
ij
ji i j f a x x a
a ==
=∑=x Py f 222
1122n n f y y y λλλ=+++ 12,,,n λλλ f ()
ij a =A n ()()
T
T
f x ==x Ax A A =x Cz ()f Cz x Py =2
2
2
123121323222222f x x x x x x x x x =+++++2
2
2
12312132325226f x x x x x x x x x =+++++121323246f x x x x x x =+-
授课序号06
教 学 基 本 指 标
教学课题 第四章第六节 正定二次型与正定矩阵
课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 正定二次型与正定矩阵的概念、正定二次型与正定矩阵的判别 教学难点 正定二次型与正定矩阵的判别
参考教材 同济版《线性代数》
作业布置 课后习题
大纲要求 会用惯性定理；
会用二次型的正定性及其判别法。

教 学 基 本 内 容
一、惯性定理：
定理1：设有二次型，它的秩为，有两个可逆变换及，使
及
则中正数的个数与中正数的个数相等.
二、正定二次型与正定矩阵：
正定二次型：设有二次型，如果对于任何，都有(显然)，则称二次型为
正定二次型，并称对称阵是正定的.
负定二次型：如果对任何都有，则称二次型为负定二次型，并称对称阵是负定的. 定理2 元二次型为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于，即它的规范形的个系数全为.
推论1 对称阵为正定的充分必要条件是：与单位矩阵合同.
推论2 对称阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正.
定理3（赫尔维茨定理）：对称阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式都为正，即
()T
f x =x Ax r =x Cy =x Pz ()22211220,r r i f k y k y k y k =+++≠ ()22211220,r r i f z z z k λλλ=+++≠ 1,,r k k 1,,r λλ T f =x Ax 0x ≠()0f x >()00f =f A 0x ≠()0f x <f A n ()T
f x =x Ax n n 1A A E A A A A
对称阵为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负, 偶数阶主子式为正,即
三、主要例题： 例1 判别二次型的正定性。

例2 设为正定矩阵，证明也是正定矩阵.
11111
1211212210,0,,0,n
n nn a a a a a a a a a >>> ()
()1111101,2,,.r r r rr
a a r n a a ->= ()222
1231231213,,26422f x x x x x x x x x x =---++A 1
-A。