材料力学课件第五章弯曲应力的分析

A
① 将(2)代入(3)
y
E dA 0
A
Sz =
ydA 0
A
M y
z dA 0 -(4)
A
SZ称为静矩,当通过截 面形心时为0
中性轴通过截面形心
② 将(2)代入(4)
A
zE
ydA
0
A zydA 0
当截面具有对称轴时,自然满足. z, y轴是主惯性轴
M
(中性轴)
z x
y σdA
z
y (对称轴)
139mm
(3)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
• 中性轴: 中性层与横截面的交线, 用Z轴表示。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果正号弯矩如图作用在梁的横截面上，该梁下部将伸 长、上部将缩短
中性层曲率半径
d
M
M
•纤维bb变形前的长度：
m’ n’
y bb o 'o ' d dx
a’
a’
o’ b’
m’
o’ b’
n’
•纤维bb变形后的长度：
))
b 'b ' ( y)d
•纤维bb的应变：
( y )d d y - - - - (1)
d
( 与 y 成正比)
2.物理关系：
假设: 各层纤维之间无挤压作用,各条纤维仅受单 向拉压受力, 应此可以使用简单虎克定律。
根据简单虎克定律： E y - - - - (2)
(中轴性尚未确定, y、未知)
z 形后,横截面仍保持平面,
且仍与纵线正交
b’ o’
o’ b’
②推论-存在没有伸缩变 形的中性层，中性层与
m’
n’
横截面的交线：中性轴。
变形后(小变形)
③梁横截面内无剪应变。
中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
2. 截面最大应力
max
M Iz
ymax （在距中性轴最远点）
中性轴为对称轴： max min 中性轴为非对称轴: max min
又可写成： max
M Wz
其中： Wz
Iz ymax
— 抗弯截面模量（m3）
3. 全梁最大应力：（对等截面而言）
max
M max Wz
4. 强度条件：
WZ
64
D4 d 4
dD
D D3 1 4
2 32
注意：抗弯截面模量WZ的计算不可以用负面积法!
例：选择工字钢型号。
P1
P2
已知：
P1 15 kN , P2 21kN
l/3 l/3 l/3
l 6 m [ ] 170 MPa
17kN
19kN
解：
34
38 M图(kN·m) （1）画弯矩图，确定 Mmax
料的容许拉应力为[σT]=40MPa,容许压应力[σC]=100MPa 。试
校核梁的强度。
Z
弯矩图
解（1）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
Mc 10KN .m 最大负弯矩
MA 20KN .m
（2）确定中性轴的位置
截面形心距底边
yc
30170 85 30 200185 30170 30 20 梁的纯弯曲实验 观察
变形…
实验观察总结
mn
现象： ① mm,nn变形后仍为直线 。
a o
a o
x
b
b
m dx n 中性轴
z ②bb伸长，aa缩短。 ③aa与bb的正交性不变。
变形前
M m’ n’ M a’ a’
y
推断：
中性层
中性轴
① 推 论 - J·Bernoulli 平面假设：梁纯弯曲变
§5-2 梁纯弯曲时的正应力
纯弯曲：
M
M
内力只有弯矩，无剪力。
M
研究方法(Methodology to be used in researching): 实验观察 总结 概念 设想 模型 实践检验
伽利略对于梁弯曲的探索性工作
正确吗？ 根据木梁弯曲破坏现象, 伽利略推断：梁弯曲时,梁 的各层纤维均绕底部转动,即:横截面将绕底线转动.
由(2)可知应力分布:
3. 静力学关系(确定微观正应力与宏观弯矩的等效关系)
(中性轴) Mz z x
微内力的合力及等效关系
N dA 0 ---- (3) A
y σdA z y (对称轴)
M y
z dA 0
A
---- (4)
M z
y dA M ---- (5)
A
讨论：
E y -(2) N dA 0 -(3)
§5-1 梁的纯弯曲
平面弯曲：
P
P
P
梁的横截面具有对称线，所有 对称线组成纵向对称平面，外载荷作用 在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对 称平面内弯曲成一条平面曲线。
梁的纯弯曲
yaP
Pa
Q P
M
P Pa
横力弯曲：
Q0,M 0
x 纯弯曲：
Q=0,M 0
梁的应力 剪应力 —— 与剪力对应 正应力 —— 与弯矩对应
应用：
M max [ ]
Wz
[ ] — 弯曲容许正应力
①强度校核：
M max [ ]
Wz
②设计截面：
Wz
M max
[ ]
③计算承载力： M max Wz[ ]
抗弯截面模量WZ的计算
矩形截面 b
bh2 WZ 6
Z h
实心圆截面
WZ
d 3
32
Z
d
空心圆截面
d D
？
WZ 32
D3 d 3
E y
-(2)
Mz
y dA M -(5)
A
③ (2)代入(5)式：
A
yE
y
dA
M
定义: Iz
y2dA
A
惯性矩
1 M
EI z
---- (6)
EIz——抗弯刚度
④ (6)代入(2)式
M y ---- (7)
Iz
M
(中性轴)
z x
y σdA
z
y (对称轴)
如何判别应力符号？
说明：
①M、y与的正负号之间的关系，通常用变形判断。 M为正：下拉上压；M为负：上拉下压。
②公式适用范围： a.线弹性范围； b. 平面纯弯曲。 C. 单一材料。
§5-3 横力弯曲时的正应力
1、纯弯曲正应力可以推广到细长梁横力弯曲
以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯 曲的情形，如果是细长杆，也可以近似适用。理论 与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截 面在弯曲之后将不再保持平面，而是要发生翘曲， 但对于细长梁，这种翘曲对正应力的是很小的。通 常都可以忽略不计。
（2）计算Wz
Wz
M max
[ ]
38 103 170 106
0.223 10-3( m3 ) 223( cm3 )
（3）查表： P408 选20a, Wz 237cm3 > 计算值 如果: Wz 小于计算值，验算max，不超 过[]的5%，工程上允许。
例：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已知材