多维空间中简单图形的分析

多维空间中简单图形的分析

多维空间是指高于三维空间的空间，我们无法想象该空间中物体的形状，多维空间在现实可能根本就是不存在的。但是我们可以依据现有空间的特性，进行归纳推理，以求得多维空间物体的数学特性规律，这些规律也许在物理和数学领域能起到作用。

在这里先说明点、线、面、体的概念，本文的这几个概念与平常所说的点、线、面、体的概念不同，这几个概念随着空间维数的变化而不同。例如，三维空间的点、线、面、体的概念和平常的概念是一致的。而二维空间所谓的体既是平常所说面，称为二维体，二维面即是三维空间中的线。同理推出，四维空间的四维面指的是三维空间的三维体，四维空间的四维线即为三维空间的面，以此类推。对于空间图形同理，二维空间的正立方体为正方形，三维正立方体为正立方体，四维及更高维正立方体的特征将在下文分析。可得下列等式：三维面= 二维体= 四维线= 五维点

三维体= 四维面= 五维线

三维线= 二维面= 四维点

我们先看二维和三维空间的特征，使用归纳法，以低维空间的特征推导出高维空间的特性。先看图1是二维空间，二维体（即三维面）如何从二维面（三维线）导出。二维体是从二点(A,B)引出线1和线2，构造三维面。看图2三维立方体体是从三维正方形的四条三维线(AB,BC,CD,DA)引出四个垂直的三维面(面1,面2,面3,面4)，再加上

底面正方形，构成三维正立方体。根据归纳法，同理可推出四维正立方和更高维的立方体。

图1

图2

考虑四维空间正方体的形状，我们可以归纳推出在三维正方体的六个面都引出垂直于该面且互相平行六个立方体，再加上下二个三维

立方体，可得四维空间共有8个四维面（三维立方体），那么该四维立方体有几根四维线（三维面）呢？三维立方体有6个三维面，12根三维线，一个正方形有四根线构成，每根线又为二个面共用，则：三维立方体线数= 三维立方体面数×4 ÷2

四维立方体线数= 四维立方体面数×6 ÷2

可得四维立方体线数为24。同理可推出：

四维立方体顶点数= 四维立方体线数×4 ÷3

可得四维立方体顶点数（三维线）为48。同理可得五维空间

五维立方体面数= 10

五维立方体线数= 五维立方体面数×8 ÷2 五维立方体线数为40，同理可以一级一级推出更高维的空间物体特性。

也可以用三维机械做图中的三个方向视图分解立体图的方法分析。四维空间就是四个方向的投影视图，一个四维物体可以投影出四个四维面（三维体）视图。在分析高维物体特性时，可以利用降维法，即将高物体按视图进行分解，例如将五维物体先讲为四维，在将个四维分视图降为三维，这样就方便理解和分析了。对多维空间复杂、不规则物体的进一步分析这里就不讨论了。

本文的多维空间的分析是按照归纳法进行推论，也许视角不同，观点不同，也许有不同的多维空间的理论分析。正如欧氏和非欧几何都是真理。