循环群讲义

§7循环群
本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题.
先看一个简单的例子：{} ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.
一、循环群的概念
1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法
乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）
【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】
2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】
3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】
①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】
问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】
*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】
【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st a a b a a b Z
t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .
问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】
*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为r
a 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G n
a o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .
◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.
二、循环群的种类
1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n
a o if Z a o if Z n )(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!
(1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k
】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略) 【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射.
再证ϕ的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a
xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k
|⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕ ϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a n a o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.
ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ
再证ϕ的同态性:
)()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ
+=+=+==⇒==⇒∈∀+.
例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】
证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？
【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】
例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构.
证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k e
x x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.
证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.
2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】
最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.
三、循环群的构造
[构造定理] 设循环群)(a G =，则有
{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}
1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .
证明 由结构定理的证明过程即得.
另证：直接证明两个集合互相包含.
【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】
至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.
四、课后思考题
n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？
◎3S 是不是循环群？
◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则2
10)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.
比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n A
U 是交换群但不是循环群.
◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.
【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量
的定理.。