利息理论课件 (1)

(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)

例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质 利率为 10% 。问：一年后，此人需要还款 多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件 不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结 果是“等价”的。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
d (m) d ( m ) m 1 (1 ) 贴现： m m
d ( m) d ( m) m2 (1 ) m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
d ( m) m ) 余额： 1 d (1 m
d ( m ) m 1 (1 ) m
…
d (m) 2 (1 ) m
d (m) 1 m
1
图(1-2B) 名义贴现率图
例1-9 （ 1 ）求与实质利率 8% 等价的每年计息 2 次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率； （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%， 求等价的实质利率； （3）已知i(3/2)=8%，求等价的d(12)。
例1-10 求1万元按每年计息4次的年名义 利率6%投资三年的积累值。
考虑贴现因子a-1(t)，在复利情况下， a-1(t)=1/a(t)=1/(1+i)t=(1-d)t (1-11A) 这种情况下的贴现方式叫做“复贴现”。 v= a-1(1)=1-d 于是，在复贴现的情况下， a-1(t)=(1-d)t=vt (1-11B) 在实务中，通常在涉及贴现率的场合，可以将利息 金额称为贴现金额，如 (1-10B) 中的 In 可以同时被 称为“贴现金额”或“利息金额”。也就是说， 在包含贴现率的场合，“利息金额”和“贴现金 额”这两个词是通用的。
t
图(1-1A)
图(1-1B)
a (t)
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 1 0.8 1 2
a (t) 1.4 1.2 1 0.8 0.6 1 2 3
t
3
4
t
图(1-1C)
图(1-1D)
贴现函数 a-1(t) ：也叫为 t 期贴现因子。 a-1(1) 简称为贴现因子，并简记为v;

“积累值”只与过去的付款有关；“现值” 只与将来的付款有关；而对于既可能与过 去的付款有关，又可能与将来的付款有关 的值，或者说时间方向不明确或无须强调 的情况，可以使用“当前值”这个词。
1-5 名义利率和名义贴现率


用i(m)记每一时期付m次利息的名义利率。 所谓名义利率 i(m) ，是指每 1/m 个度量期支付利息 一次，而在每 1/m 个度量期上的实质利率为 i(m)/m 。 也就是说，某度量期上的名义利率为i(m)的意思是 每1/m个度量期上的实质利率为i(m) /m。 例如：若一年为一个度量期，i(4)=8%的名义利率 指的是每季度的实质利率为 2%，称作每年计息 4 次的年名义利率8%或季度转换名义利率8%。
t 0
t
t
0
A(t) dlnA(r)= lnA(r) = ln A(0)
(1-20) (1-21) (1-22)
exp( ò dr dr ) =A(t)/A(0)=a(t)/a(0)=a(t)
A(t)δt=A′(t)
蝌A( t )dt dt =
0
n
n 0
n =A(n)-A(0) A¢ ( t )dt = A( t ) 0
例1-15 一笔业务按利息强度6%计息，求 投资500元，经8年的积累值。
i ( m) i ( m) (1 ) m m
i (m) i ( m) m2 (1 ) m m
i ( m) i ( m ) m 1 (1 ) m m
余
额：1
i ( m) 1 m
i (m) 2 (1 ) m
…
i ( m ) m 1 (1 ) m
i (m) m (1 ) 1 i m
1-4 实质贴现率
一个度量期上的实质贴现率为该度量期 内产生的利息金额与期末的积累值之 比。通常用字母d来表示实质贴现率。
I1 P a(1) P d= = A(1) P a(1)
(1-10A)
In P a(n) P a(n 1) dn= = A(n) P a (n)
1-3 单利和复利
考虑在0时投资的一单位本金： （1）如果其在t时的积累值为 a(t)=1+it (1-6) 其中i为某常数。那么，我们就说该项投资以单利i计息， 并将这种计息方式称为单利(计息方式)。 （2）如果其在t时的积累值为 a(t)=(1+i)t (1-7) 那么，我们就说该项投资以复利 i计息，这种计息方式 称为复利。
比较单利和复利



单利的利息并不作为投资本金而再赚取利 息； 而对复利来讲，在任何时候，本金和到该 时为止得到的利息，总是都用来投资以赚 取更多的利息，也就是民间所说的“利滚 利”。 对于较长时期，复利比单利产生更大的积 累值；而对于较短时期则相反。


单利和复利的另一个差别是它们的增长形 式不同： 单利在同样长时期增长的绝对金额为常数； 复利增长的相对比率保持为常数。 除非另有声明，本书所用利率均为复利而 不是单利。
例1-6B 设0<d<1，证明： (1-d)t<1-dt，如果0<t<1； (1-d)t=1-dt，如果t=1； (1-d)t>1-dt，如果t>1。
例1-8 某人到银行贷款，贷款期限为1年。 银行还款有两种可选方式，第一种方式为， 本金和利息在一年后一起还，另一种方式 为，先还利息，本金在一年后还，已知银 行两种方式下的相应的利率是等价的，对 该借款人来说，根据他所需要借的款项和 相应的利率，他算出在两种方式下所需要 支付的利息分别为840元和800元，求银 行两种方式下的利率和该人的贷款额。
利率=利息/本金
(1-3)
1-2 实质利率
某一度量期上的实质利率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期开始 时投资本金金额之比。通常实质利率 用字母i来表示。
I1 P a(1) P i= = =a(1)-1 A(0) P
In P a(n) P a(n 1) in= = A(n 1) P a(n 1)
利息理论
第一章 利息的基本概念

利息=得到的-付出的
1-1 利息度量
基本概念： 本金:每项业务开始时投资的金额称为本金; 积累值:业务开始一定时期后回收到的总金 额称为该时刻的积累值(或终值); 利息=积累值-本金 暂时假定，在投资期间不再加入或抽回本金， 以后将放松这一假设。 时间单位-- “度量期”或“期”。除非特别 声明，一个度量期就是一年。
eδ-1=i eδ=1+i δ=ln(1+i)
(1-25) (1-26) (1-27)
统一关系式
d -n δ [1 + ] =1+i= v = (1- d ) = [1 ] =e m n
i
m
( m)
( n)
- 1
- 1

利息强度有时也被叫做贴现强度
例1-14 已知年度实质利率为8%，求等价 数复利利率为 i，那么， 对任意正整数 n，有 a(n)=(1+i)n ，于是
a(n) a(n 1) (1 i)n (1 i)n1 dn = = a ( n) (1 i)n
i = 1 i
d
(1-10C)
与 n 无关，为一常数。这意味着， 常数的复利下，贴现率也也为常数。
图(1-2A) 名义利率图
名义贴现率


用符号 d(m) 记每一度量期付 m 次利息的名义贴 现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每1/m个度量 期支付利息一次，而在每 1/m 个度量期上的实 质贴现率为d(m)/m。 如d 是对每个度量期初支付的利息的度量一样， 名义贴现率d(m)是一种对1/m个度量期初支付的 利息的度量。
等价关系
i(m) m ) 1+i= (1 m
i ( m) m ) 1 i= (1 m
(1-15A)
(1-15B) (1-15C)
i(m)= m[(1 i) 1]
1 m
图(1-2A) 名义利率图
时间点： 0 利 息： 1/m 2/m … … (m-1)/m m/m=1
i (m) 1 m
积累函数a(t),有时也被称为t期积累因子，简 称a(1)为积累因子。 总量函数A(t) A(t)= K×a(t) (1-1) A(0)= K
图1-1 四种常见积累函数的图形
1.2 1 0.8 0 1 2t 1
a (t)
13 11 9 7 5 3 1 -1 1 -3 -5
a (t)
1
4
7
10 13 16 19 22 25
(1-23)
例1-12 如果δt=0.1+0.02t, 0≤t≤2，确定投资 1000 元在第 1 年末的积累值和第二年内的 利息金额。
例1-13 如果实质利率在头3年为10%，随 后两年为8%，再随后1年为6%，求一笔 投资1000元在这六年中所得总利息。
在利息强度(从而实质利率)为常数的情况下，
（1 ）若以单利 i 计息，那么，对于单位本金而言， 在投资期间，每一度量期产生的利息均为常数i。 根据实质利率的定义，可以发现in关于n单调递减。 也就是说，常数的单利意味着递减的实质利率。 （2） 若以复利i计息，那么，在投资期间，In关于n 单调递增。并且可以发现，常数的复利意味着常 数的实质利率，而且二者是相等的！这表明，复 利利率与实质利率是一致的。
等价关系
d (m) m ) 1-d = (1 m d (m) m ) d = 1 (1 m
(1-16A)
(1-16B)
1 m 1 m
d(m)= m[1 (1 d ) ] = m(1 v )
(1-16C)
图(1-2B) 名义贴现率图
时间点： 0 1/m … … (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
例1-3 某银行以单利计息，年息为4%，某 人存入8000元，问3年后的积累值是多少？
例1-4 如果上述银行以复利计息，其他条件 不变，重解上例。
例1-5 已知年实质利率为5.5%，求10年后 200000元的现值。
例1-6A 设0<i<1，证明：
（1）(1+i)t<(1+it) 若0<t<1； （2）(1+i)t=(1+it) 若t=1； （3）(1+i)t>(1+it) 若t>1。
例1-11 以每年计息2次的年名义贴现率 10%，在六年后支付5万元，求其现值。
1-6 利息强度
δt=A′(t)/A(t)= a′(t)/a(t) (1-18)
为该投资在t时的利息强度。
d d δt= ln A(t ) = ln a(t ) dt dt
(1-19)
t 0
ò d dr = ò
0 r
单贴现
考虑贴现函数： a-1(t)=1-dt 0≤t<1/d (1-13) 称这种贴现函数对应的贴现方式为单贴现， 其中d为常数的单贴现率。 这里，要求0≤t<1/d是为了保证a-1(t)>0。
单贴现仅在短期业务中使用以及用作复 贴现在非整数时期内的近似。
单贴现和单利具有类似但反向的关系： 1．当投资时期加长时，常数的单利利率意 味着实质利率递减，而常数的单贴现意味 着实质贴现率(以及利率)递增。 2．单贴现和复贴现对单个时期产生的结果 相同。对较长时期，单贴现比复贴现产生 较小的现值，而对较短的时期则相反。
一般用字母I表示利息, In表示第n期上的 利息
In=A(n)-A(n-1)=P×a(n)-P×a(n-1) = P×[a(n)-a(n-1)] 对整数n≥1 (1-2A) 而n个时期上总的利息金额则为 I=A(n)-A(0)=P×a(n)-P×a(0) =P×[a(n)-1]=I1+ I2+…+ In (1-2B)