第二章静电场

第二章 静电场

重点和难点

本章的重点是，静电场方程、边界条件和介质的电特性等。主要讲解如何由积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

对于介质的电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。

介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程在边界上不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容一节可以从简。

题 解

2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。

解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=21。那么，由

122122

010224π4πq q q q r r r r εε''

=⇒=，同时考虑到d r r =+21，求得

d r d r 3

2 ,3121==

可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距

d 3

1

。 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为

)

0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。

解 令321,,r r r 分别为三个

点电荷的位置321,,P P P 至P 点的距离，则21=r ，32=r ，

23=r 。

利用点电荷的场强公式2

04πr q r

ε=

E e ，式中r e 为点电

荷q 指向场点P 的单位矢量。那么，1q 在P 点的场强大小为112

01014π8πq E r εε=

=，方向

为)1r y z =+e e e ；2q 在P 点的场强大小为222

020

1

4π12πq E r εε=

=，方向

为)2r x y z =++e e e e ；3q 在P 点的场强大小为

332

030

14π4πq E r εε=

=，方向为3r y =-e e 。P 点的合成电场强度为

1230

1

1 π4x y z ε=++⎡⎤⎫=-

+++⎥⎪⎭⎦E E E E e e

E

2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令负点电荷q -位于坐标原点，至场点P 的距离为r 。再令正点电荷q +位于z l =处，至场点P 的距离为r +。场点P 的坐标为（r ,θ,φ）。

根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为

3304πq r r ε++⎛⎫

=

- ⎪⎝⎭

r r E 考虑到r l >>，+r r ，那么上式变为

222222

00()()4π4πr r r r r r r r q q r r r r εε+++++⎛⎫⎛⎫--+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

E e e 又

222211cos cos 1cos cos (cos )r l r l l r r l r l r r r

θθθθθ+++≈=≈=+-- 利用球坐标系中的散度公式，求出电场强度为

233000

11cos sin cos 4π2π4πr q l ql ql r r r r r θ

θθθεεε⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-

∇+-∇=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦E e e 2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。

解 根据叠加原理，P 点的合成电位为

602 2.510V 4πq

r

ϕε=⨯

=⨯

习题图2-4

因此，将电量为C 1026-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到

P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ 2-5 通过电位计算有限长线电荷的电场强度。

解 建立圆柱坐标系。 令先电 荷沿z 轴放置，由于结构以z 轴对称，场强与φ无关。为了简单起见，令场点位于yz 平面。 设线电荷的长度为L ，密度为

l ρ，线电荷的中点位于坐标原

点，场点P 的坐标为π,,2r z ⎛⎫

⎪⎝⎭

。

利用电位叠加原理，求得场点P 的电位为

20

2

d 4πL l

L l r ρϕε-=⎰

式中()220r l z r +-=

。故

2

02

ln 4π 4πL l

L

l

z l ρϕερε-⎡=-

-+⎢

⎣=

因ϕ-∇=E ，可知电场强度的z 分量为

04πl z E z z

ρϕ

ε∂∂=-

=-∂∂