不可约多项式的判别方法

不可约多项式的判别方法

一个多项式f(x) 是不可约的，当且仅当以下任一条件成立：

1. f(x) 为常数多项式。

2. f(x) 为一次多项式，即f(x)=ax+b，其中a\neq 0。

3. f(x) 为二次多项式，但其判别式\Delta=b^2-4ac 为负数，其中

f(x)=ax^2+bx+c，a\neq 0。

4. f(x) 的次数大于等于3，且它没有根的有理数解。这时我们可以利用如下Tschirnhaus 变换，将f(x) 转化为一个新的多项式g(x)，使得g(x) 在有理数域上有一个根r=\frac{p}{q} （p 和q 互质）：

g(x)=f(x-rq)

其中r 为有理数解，rq 表示其denominator。如果g(x) 还是不可约多项式，则f(x) 也是不可约多项式。

对于f(x) 的判别，我们可以通过暴力枚举f(x) 的因子进行验证。具体地，我们从2 到\sqrt{\deg f(x)} 枚举每一个整数d，判断f(x) 是否能够被x^d-1

整除，如果能被整除，则说明存在一个次数为d 的不可约多项式，它是f(x) 的因子。如果f(x) 不能被任何次数小于\sqrt{\deg f(x)} 的不可约多项式整除，则f(x) 是不可约多项式。