利用圆锥曲线定义妙解题

椭圆双曲线焦点三角形的一个有趣性质
对于椭圆 x2 a2
y2 b2
1和双曲线
x a
2 2
y2 b2
1，
若PF1F2是其焦点三角形，且F1PF2 90o，
则PF1F2的面积S b2.
变式:
1.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0), F1, F2为左右焦点
则P在S椭F1P圆F 2上，b且2 tan 2F1PF2
N
•M
x
2
O A’
F
|AA’|=|AF|,|BB’|=|BF|
A
| MN | | AF | | BF | | AB | ,
2
2
故以AB为直径的圆与l相切.
变 式 ： 1 、 以 抛 物 线 y2=2px(p>0) 的 焦 半 径
|PF|为直径的圆与y轴位置关系是:相切 .
Y SQ
N O
2
P
M
MN 1 ( PQ OF ) 2
类型一 利用定义法求值
例1. 已知椭圆 x2 y2 1和双曲线 x2 y2 1，
a2 b2
a2 b2
若PF1F2是其焦点三角形，且F1PF2 90o，
求PF1F2的面积.
证明如下
椭圆、双曲线焦点三角形的一个有趣性质
对于椭圆，定义可知 | PF1 | | PF2 | 2a.......(1), 对于双曲线，定义可知 | PF1 | | PF2 | 2a.......(2), (1)2 | PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF1 | • | PF2 | 4a2
F
X
QS OF
MN 1 ( PQ QS ) 1 PS 1 PF
2
2
2
变式：2、求证：以椭圆的任意焦半径为直径 的圆，与以长轴为直径的圆相切．
y
y
P
Q
F1 O
F2
x
P
Q
F1 O
F2
x
变式：3、求证：以双曲线的任意焦半径为直 径的圆，与以实轴为直径的圆相切．
三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷；
物线 y2 的2x焦点，点M 在抛物线上移
动时，求|MA|+|MF|的最小值，并求这时
M 的坐标.
y
1 2
,1
l
N
M
A
（N）
（M）
1 2
o
F
x
探索提高
练习7. 设点P是椭圆 x2 y2 1上的动
94
点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求
cos∠F1PF2的最小值.
1 9
探索提高
练习8.
已知F1、F2分别是椭圆
点，则 AB CD 的值为
。
解：设抛物线的焦点为 F，则|AB|=|AF|－|BF=x1+p2－p2=x1，
同理|CD|=x2，
又
AB
CD
p2 =|AB||CD|=x1x2= 4
类型二 利用定义法求最值
例1.已知F是双曲线 x 2 y2 1的右焦点，A 5，1 ， 4 P是双曲线右支上的动点，求 PA PF 的最小值.
ly B
x
OF
A
例1.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、 B两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的 位置关系,并证明你的结论.
分析如图,设AB中点为M,A、B、M在准线L上的
射影为A’、B’、N,
ly
B
只需比较| MN | 与| AB |的大小 B’
2
而 | MN | | AA/ | BB / | ,
圆锥曲线定义 的妙解解题攻略
高中数学中学会有用定义法解题， 很多时候可以破解难度较大大的问题。 同时也体现数学化归转化的数学思想。 老师在平常的教学当中应当有意识的引 导并教会学生，自己去发现并熟练的驾 驭这种方法，达到事半功倍的效果。本 专题试图通过一些常见的问题利用定义 的方法求解，让师生感受数学的魅力。
| F1F2 |2 4SPF1F2 4a2 4c2 4SPF1F2 4a2 4SPF1F2 4a2 4c2 4b2 SPF1F2 b2
椭圆、双曲线焦点三角形的一个有趣性质
(2)2 | PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF1 | • | PF2 | 4a2 | F1F2 |2 4SPF1F2 4a2 4c2 4SPF1F2 4a2 4SPF1F2 4c2 4a2 4b2 SPF1F2 b2
5. 4
x2 y2 1 25 9
上，
y B
A
C
x
探索提高
练习2. 已知双曲线
x2 y2 a2 b2 1,
过左焦点F1 作一
弦与左支相交于A,B两点，若|AB|=m ,求ΔAF2 B
的周长 .
4a+2m
y
Aห้องสมุดไป่ตู้
F1 o
F2 x
B
探索提高
练习3.
双曲线
x2 9
y2
16
1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线
-5
-2
B
5
10
4
M
2
A
B
-5
5
10
-2
4x2 4y2-4
-6 1(X<0)
25 75
4x2
-4
4y
2
1(X>0)
25 75
变式2、已知命题：椭圆的两个焦点为F1、F2， Q为椭圆上任意一点，从任一焦点向ΔF1QF2的 顶点Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P
的轨迹为圆（除两点），类比上述命题，将
| AF | | BF | (l 1) | BF | (l 1) | BF | (l 1) 1
(l 1) | BF | (l 1) 2 l 3
例 4 如图抛物线 C1 ：
y 2 2 px 和圆 C2 :
x
p 2
y2
p2
，
2
4
其中 p 0 ，直线 l 经过 C1 的焦点，依次交 C1 ， C2 于 A, B,C, D 四
一、知识回顾
M
1、椭圆的定义
F1
F2
MF1 MF1 2a 2a F1F2 0
M
2、双曲线的定义
F1
F2
MF1 MF1 2a 0 2a F1F2
3、抛物线的定义
l d .M
.
F
MF d F为焦点，d为动点M到准线l的距离
二、用定义法解题的常见类型
类型一 利用定义法求值 类型二 利用定义法求最值 类型三 利用定义法求轨迹 类型四 利用定义法判断位置关系
AA1
2
BB1
1 4
AF BF 1 AB 1 5
2
4 2 44
M1 N
M
F
B1
B
其中等号成立当且仅当A、 F 、 B三点共线
x
最短距离为 5，M (5 , 2 ) 4 42
类型三 利用定义法求轨迹
例1. 一动圆与圆O1 : (x 3)2 y2 4外 切,同时与圆O2 : (x 3)2 y2 100 内切, 求动圆圆心P的轨迹。
上，直线PF1，PF2的倾斜角之差为
3
，则PF1F2的面积为
A.16 3
B.32 3
C.32
D.42
解析：数形结合.易得F1PF2
3
，设
PF1
=m，PF2
n,
m n 6,m2 2mn n2 36,由余弦定理得：100 m2 n2 mn，
两式相减得mn
64, PF1F2的面积S=
1 2
“椭圆”改为“双曲线”，则有命题
.
Y QM P
F1
O
F2 X
1
1
| OP | 2 F1M 2 F1Q QF2 a
y Q
M
P
F
1
OF
2
1
1
| OP | 2 F1M 2 F1Q QF2 a
类型四 利用定义法判断位置关系 例1.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、 B两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的 位置关系,并证明你的结论.
6y
4
2
A
B
-5
o
5
x 10
-2
-4
（1）
6y
4
A: ( x 5)2 y2 1（2）
8 6
M
2
B:(x5)2 y2 16
4
M
2
A
B
A
-5
o
5
x 10
-5
B
5
10
-2 -2
-4
4x2
-4 4y2
1(X<0)
9 91
（3）
6
4
4x2
-6
4y
2
1
(X>0)
9 91 10
（4）
8
6
M
2
A
-10
x 4
2
y2 2
1的左右焦点，
A
1,
1 2
，P是椭圆上的动点，求
PA
PF2
的最小值.
解：PA PF2 PF1 F1A PF2
y P
2a F1A 2 5
37 .当且仅当 P 2
A F1 o F2
x
F1、P、A共线，且P在y轴左侧时
取“=”， PA PF2 最小值为2 5
37 . 2
2.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0), F1, F2为左
右焦点，P在椭圆上，且 F1PF2
b2
则SF1PF 2
tan
2
例2. 从双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0)的左焦点F引圆 a2 b2
x2 y2 a2的切线l,切点为T，且l交双曲线的右支于
点P，M是线段FP的中点，O为坐标原点，求
探索提高
练习9.已知点P是椭圆
x2 4
y2 uuur 3
1上的动点，F1、F2是该椭 uuur
圆uu的ur 左u右uur焦点，点Q满足PQ与F1P是方向相同的向量，又
PQ PF2 .求点Q的轨迹C的方程.
uuur uuur uuur
解：如图，此题用定义法，F1Q PF2 F1P 2a 4定长
2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用定义结合正余弦定理；涉及焦点、圆锥曲线上 的点, 要注意另一条两条焦半径结合使用。
四、练习 探 索 提 高
练习1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点
A(-4,0) 和C(4,0) ，顶点B在椭圆
则 sin A sin C
sin B
则l
.
Ly MA
A’
x
OF
B’
B
解析：做AA1 l于A1, BM AA1于M，BB1 l于B1 | BB1 || MA1 |, 由抛物线定义 | BB1 || BF |,| AA1 || AF |, 在RtABM中,由题可知ABM 300,所以| AM | 1 | AB | 2 | AA1 | | A1M | | AF | | BF |
mn sin
3
16
3.
探索提高
练习4.ABC中, BC长为a,顶点A在移动过程中满
足条件sin C sin B 1 sin A, 求点A的轨迹方程. 2
解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，y
建立直角坐标系.Q sin C sin B 1 sin A,
A
2
AB AC 1 BC 1 a，由双曲线定义 B C x
OM TM 的值.
P
y
解：设F1为右焦点，连结PF1，OT,
M
则OM//PF1，OT PF，Q OT =a,
T
F
OF c, TF b, OM TM
o
F1
x
1 2
PF1
1 2
PF
TF
b a.
例3. 过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为600
uuur uur
的直线交抛物线于A、B两点，设 AF lFB(l 1)
分析：结合定义，到右 焦点距离转化为到左焦 点距离，两点之间线段 最短，如图，P移动到 B M点时和最小。即
y P
o
F
x
A
M
PA PF = PA PB -2a | AB | 2a
想一想:
例2.
已知椭圆
x a
2 2
y2 b2
1的焦点三角形PF1F2.
(1) F1PF2一定存在直角吗？
何时有且只有两个直角?
何时有且只有四个直角?
何时没有直角？
（1）不一定存在直角；
2 e 1, 2 e, 0 e 2
2
2
2
（2）若∠F1PF2≥900，求离心率的取值范围.
例3. 定长为3的线段AB的两端点在抛
物线 y2 上x移动，AB的中点为M，求 M到y轴的最短距离，并求点M的坐标。
y
A1
A
MN
MM1
1 4
Q的轨迹C是以F1 -1，0为圆心，以4为半径的圆.故所求
Q的轨迹方程为 x 12 y2 16.
YQ P
F1
F2
O
X
2
2
A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点
其方程为 x2 a2
y2 3a2
1 x 0.
16 16
探索提高
练习5. 直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛 物线交于A、B两点，若线段AB的长为8，AB的 中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程为 .
y2=8x
探索提高
练习6、若点A 的坐标为（3，1），F 为抛
y
P
O1
O2
PO1 2 R
PO2 10 R x PO1 PO2 12 O1O2 6
方程为x2 y2 1 36 27
变式
1、已知圆 A: ( x 5)2 y2 1 ， 圆 B : ( x 5)2 y2 16 ，若动圆 M 与圆 A、B 都
相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程