张伟刚-光纤光学原理与应用-第二章_光纤光学的基本理论

d dr 是光线路径的曲率矢量， 据微分几何，等式左侧 ds ds 其大小就是路径曲线的曲率。
令曲率矢量为：
d 2r 1 1 K e K R 2 R ds R R是曲率半径，eR 是曲线主法线方向
1 dn r dr dn K er n dr ds ds
第二章 光纤光学的基本方程
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光 纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性 质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及 其它许多特性。 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理， 研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中 的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。
射线方程
折射率梯度
射线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。 一旦给出折射率分布n(r)，就可求出光线轨迹r的表达式。
例1：光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中）
d 射线方程： ds
因 n = 常数 改写成：
dr n(r) ds n(r)
a
d 2r n 0 2 ds
2
（ 2.5a ） （ 2.5b ） （ 2.5c）
Z 分量
d ds
dz n r ds
设
x 0，y 0
为入射点，
L0 , M 0 , N 0
为入射点方向余弦，
n0 为入射点折射率。
由上三式得光线轨迹（路径与z 的关系）： r N 0dr
z
r
0
2 2 n(r) 2 r0 x 0 M 0 y 0L0 2 N 1 0 2 r0 n 0 r
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式：
2 E ( x, y, z ) k 2 E ( x, y, z ) 0 H ( x, y, z ) k H ( x, y, z ) 0
2 2
书P3（1.2-8）式
其中k＝k0n为折射率为n的介质中的传播常数 （也叫波数）。k0为真空中的波数。 亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的 场分布。
射线方程：
dn r n n r n e r d dr dn r dr
n er ds ds
dr
d r
推导光线走向的表达式如下： 展开射线方程：

d 2r dr dn dn r n er 2 ds ds dr ds d 2r 1 dn r dr dn er 2 n dr ds ds ds
r 分量 分量
d ds
d ds
dr n r ds
dθ n r ds
dθ rn r ds
2n r dθ dr r ds ds 0
0
dn r dr
s
b
r
其解为矢量直线方程：
r sa b
a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并通 过r=b点。 d dr 物理意义： ds ds 表示光线路径的曲率变化量。
d ds
dr ds
0 表示光线路径为直线。
例2：光线在折射率具有球对称分布媒质中的传播 球对称：折射率仅仅是半径r的函数
S r {S r E 0 } n 2E 0 0
A B C
利用矢量恒等式


A
C B A B C
2
得到
{S r S r }E 0 n E 0 0
即 或
S r S r n 2
程函方程
2.1 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式 2．电磁波的波动现象 3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式 麦克斯韦方程式的微分形式
D H J t
•时变磁场可以产生时变电场
B E t
B 0
•时变电场可以产生时变磁场
•磁场是无源的
E1t E2t H1t H 2t B1n B2n D1n D2n
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程 利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程 为标量波动方程 设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离 时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹 （Helmholtz 推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、 均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。

2、射线方程
r ：光线传播路径S上某点的矢径 dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量, 根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向与相位梯度方向 一致，大小等于：
由程函方程 S(r ) n r
dr S r ds S r
z
dr/ds dr 路径S
dr S r ds n(r)
K 1 eR n r
上两矢量式点乘，第二项因两矢量正交为零，故有
因曲率半径总是正的，所以等式右边必须为正：
R
n r
即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。
n r 2 n r 0时，e R 与e r 夹角大于 ； n r 2 e
R
n r

2 n(r)2 S r S r S r n(r) n(r) n(r) n(r)
d 故对 S 求导式为： ds
切线方向上的单位 光程沿路径变化率
dr n(r) ds n(r) （2.4)
d ds
dr n( r ) ds n( r )
光线向折射率大的方向弯曲。
2.3 波导场方程
标量解法 矢量解法
一、标量解法
1．标量近似
在弱导波光纤中，光线几乎与光纤轴平行。因此其 中的E和H几乎与光纤轴线垂直。 横电磁波（TEM波）：把E和H处在与传播方向垂直 的横截面上的这种场分布称为是横电磁波，即TEM 波。 因此可把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间 矢量E变为沿传输方向其方向不变（仅大小变化）的 标量E。
H r ,t H 0(r ) exp i t k 0S(r )
由麦克斯韦方程推导程函方程:
E {E 0 r e [e
0 k0 ik0S r
由： E i 0 H 等式左边：
i[t k 0S r ]
r H 0
（2.2a） （2.2b） （2.2c） （2.2d）
E 相位梯度
n2 E0
r
r


E0 0
H0 0
三个矢量正交，相位梯度与
波来自百度文库法线方向一致。

H
利用光线理论的几何光学近似条件：
0,k 0
将（2.2a）代入（2.2b） 得到
S
2
n ， S(r ) n r
2
或 2 2 2 S r S r S r 2 x ,y ,z n x y z
相位梯度 S r 方向与光波传播方向一致，其模等于介 质折射率； 程函方程给出波面变化规律： 在均匀介质中，光波传输方向不变； 在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变； 若已知折射率分布，则可求出程函方程，从而根据等 相面确定光线轨迹。
光线理论：当光线在传播过程中可以不考虑波长的有限大 小（即衍射现象），则能量可以看作沿一定曲线传播，电 磁波的传播可以近似为平面波。 方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏振：
程函方程 射线方程 目的：得到任意光波导中的光线轨迹
1、 程函方程
光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。
用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两 种解法： 矢量解法 标量解法。 矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条 件的波动方程的解。 标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与 光纤轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场 方程、特征方程并在此基础上分析标量模的特性。
2.2 程函方程与射线方程
}
ik0S r
E 0 r E 0 r e
] e it
ik0S r
[ik 0e
ik0S r
S r E 0 r E 0 r e
0
] e it
ik 0S r E 0 r e i[t k S r ]
代入光线方程展开式：
用 n 乘 K 有:
dn r dr dn dr dn nK e r n r dr ds ds ds ds
eR
n’
上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内
dr/ds
n n’ >n
重写曲率矢量和光线方程展开式：
d 2r 1 K eR 2 R ds dn r dr dn dr dn nK e r n r dr ds ds ds ds
平面波在任意方向传输的波函数： 相位因子
E r ,t E 0(r ) exp i t k k


r
r nk 0

r
0

同理：
E r ,t E 0(r ) exp i t k 0S(r )
波函数略去时间因子
k 0 0 0，n
r
r+dr
y
（2.3)
dr 因此 n(r) S(r) ds
x
相位梯度等于路径切线方向上的单位光程
上式对路径 S 求导
d ds
dS(r) dr d S(r) S r ds ds ds
式2.3
等式右边：
dr d n(r) ds ds S(r)
•电场是有源的
D
光纤中不存在电流和自由电荷，则有： D 0, J 0
2．电磁波的波动现象 电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种 传播现象。 在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场 与电场的切向和法向分量均连续，即：
k 0S r E 0 r 0 H 0 r
Q r E 0 r
0 0 H 0 r H 0 r H 0 r k0 0 0
由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：
r E 0 H 0
0时，e R 与e r 夹角小于

；
n’ n dr/ds n’ >n
例3：光线在圆柱体中的传播 光线方程： d
dr n(r) n(r) ds ds
z
r
0
光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：
设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：
dn /d =0, dn /dz =0
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（ 2.6 ） 只要光纤折射率分布和入射点确定，就可计算光线轨迹。
x z
y
小结
程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系
Q(r )
2
n 2 r
光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传 播路径上有方向变化。 相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点附近介 质折射率。 光线方程：