笔记五、粗大误差的处理方法

当测量列中，有 2 个以上的测量值含有粗大误差时，判别时，应该 先剔除含有最大误差的测得值，然后再重新计算测量列中的算术平 均值、 标准差； 然后再对余下的测得值进行判别， 直至所有测得值都 不含粗大误差为止。
r0 (n, ) ；
判断最大值 x( n ) ：计算极差比 rij ，若 rij r0 (n, ) ，则该值含 有粗大误差，应剔除；否则保留。 判断最小值 x(1) ：计算极差比 rij ，若 rij r0 (n, ) ，则该值含 有粗大误差，应剔除；否则保留。 剔除完数据后，再重新排序计算最大值、最小值极差，查表 得临界统计量 r0 (n ' , ) （注意：次数发生了变化） ，重复上述判 断方法，直至最大、最小值不含有粗大误差为止。 参数选择： ①测量次数 n 7 ，使用 r10 判断； 8 n 10 ，使用 r11 判断； 测量次数 11 n 13 ，使用 r21 判断； n 14 ，使用 r22 判断；
x(1) x
所以应该先怀疑 x(1) ： g(1)


20.404 20.30 3.15 0.033
选取显著度 0.05 ，查表得 g(0) （15,0.05) 故此测量值含有粗大误差， 应该 g(1) 3.15 g(0) （15,0.05) 2.41 ， 剔除。 剔除后再重新计算平均值、标准差： x 20.411 ， ' 0.016 计算 g( n )
x1 , x2 ,..., xn
计算平均值、残余差、标准差：
x
1 v2 x , vi =xi x , = n 1 n
将测量值 xi （i=1,2,3…n）按照从小到大进行排序，找到最小值
x(1) 和最大值 x(n)
令 g(1)
x(1) x

，取定显著度 （一般 0.05 或者 0.01）,查阅附
留下。 例子：还是利用上述的例子 1，用该方法判断测量值有无粗大误差？ 计算： x
1 v2 0.033 = x 20.404 ， n 1 n
排列测量值，从小到大的顺序： x(1) 20.30 ， x(15) 20.43
现在怀疑这两个值，
x x(1) 20.404 20.30 0.104 x(15) x 20.43 20.404 0.026
②
x( n ) x( n 1) r10 x( n ) x(1) x x r11 ( n ) ( n 1) x( n ) x(2) rij (对于最大值x( n ) 判别） x x ( n ) ( n 2) r 21 x( n ) x(2) x( n ) x( n 2) r22 x( n ) x(3) x(1) x(2) r10 x(1) x( n ) x x r11 (1) (2) x(1) x( n -1) rij = （对于最小值x(1) 判别） r x(1) x(3) 21 x(1) x( n -1) x(1) x(3) r22 x(1) x( n -2)
'
x(n) x
'

'

20.43 20.411 1.18 0.016
查表得 g(0) （15-1,0.05) 2.37 g(15) 1.18 则 x(15) 不含有粗大误差，应保留。 ➢ 狄克松准则 适用范围：测量次数少，但可靠性要求高。 优点：判断测量列中的粗大误差的速度较快 判别方法： 测量值： x1 , x2 ,...xn ；次数为 n 将测量值按照从小到大排列： x(1) , x(2) ,...x( n) 选定显著度 （一般为 0.01 或 0.05） ，查表得到临界统计量
因 x8 x 20.30 20.411 0.111 0.036 K ，故第 8 次测量值含 有粗大误差，应该剔除掉。 ➢ 格罗布斯准则 适用条件： 测量次数少， 但是相比于罗曼诺夫斯基准则、 狄克松准则 等可靠性最高。
优点：测量次数 n 20 ~ 100 时，判别效果较好 判别方法： 对某一量做多次等精度的独立测量：
判别 r22 0 r0 (15,0.05) 0.525 ，故 x '(14) 不含粗大误差，应保留 判断最小值 x '(1) ： r22
x(1) x(3) x(1) x(n 2) x '(1) x '(3) x (1) x (13)
' '

20.39 20.39 0 20.39 20.43
表，得到临界比较值 g(0) （n, ) （附表）
（n, ) ，则该值为粗大误差应该剔除掉。剔除完后， 若 g(1) g(0)
重新计算平均值 x 、 标准差 。 令 g( n )
'
'
x(n) x
'
'
， 选取显著度 ，
（n 1, ) ，则此测量值含有粗大误差，应剔除，否则 若 g(n) g(0)
一、 粗大误差
1、粗大误差的特点及产生原因 粗大误差的数值比较大， 它对测量结果会产生明显的歪曲，粗大误差可以 完全消除。 产生原因：主观原因是，测量者粗心大意，测量不仔细，不耐心，过于疲 劳或者操作不当等因数造成了错误的读数或者错误的记录。 客 观原因是， 测量条件意外地改变 （如机械冲击、 外界振动等） ， 引起仪器示值的改变。 2、如何发现粗大误差及判别方法 ➢ 3 准则（莱以特准则） 适用条件：适用于测量次数充分大（一般上百次）的测量列。测量 次数较少时，这种判别方法可靠性不高。 优点：使用简便，不需要查表，所以在要求不高时经常使用 判别方法：对于某一测量列，如果发现某 1 次测量残余误差满足下 面式子，即
1 n xi n 1 i 1i jv标准差 i 1 i jn
2
i
n 1 根据测量次数 n，选取显著度 ，查表得到检验系数
K (n, ) ，若被剔除测量值 x j 满足如下：
x j x K ，则认为含有粗大误差，剔除 x j 是正确的
例子 2：试用此法判断上述例子 1 中的测量值中有无粗大误差？
x(1) x(3) x(1) x(n 2)

x(1) x(3) x(1) x(13)

20.30 20.39 0.692 20.30 20.43
判别 r22 0.692 r0 (15,0.05) 0.525 ，故 x(15) 含粗大误差，应剔除 剔除数据后，测量次数为 14，重新计算最大值、最小值的极差比 r22
根据 3 法则，明显地发现第 8 次测量，
v8 0.104 0.099 3 ，存在粗大误差。
剔除大于 3 的测量值后，重新计算，
x 20.411
'
3 ' 3
v
i 1
n
'2 i
n 1
3
0.00337 3 0.016 0.048 14 1
对比发现，剩余测量列中没有残余误差> 3 ' ，即不含粗大误差 ➢ 罗曼诺夫斯基准则（t 校验准则） 适用条件：测量次数很小，但精度要求较高的测量列 优点：在测量次数很少时，能够保持很高的精度 判别方法：首先剔除一个可疑值，然后按照 t 分布检验被剔除的值 是否含有粗大误差。 多次测量： x1 , x2 ,..., xn ；可疑数据为 x j ， 剔除 x j 后，计算平均值： x
附表：
例子：对某一量进行 15 次等精度测量，如下，试判别测量是否 含有粗大误差。 首先排序，找到最大值 x( n ) =x(15) =20.43 、最小值 x(1) =20.30
测量数据如下表：
数据排序后如下表： x(1) , x(2) ,...x(15)
n=15 选用 r22 判别：
判断最大值 x(15) ： r22
x( n ) x( n2) x( n ) x(3)

x(15) x(13) x(15) x(3)

20.43 20.43 0 20.43 20.39
查表，显著度 =0.05 ，统计临界值 r0 (n, ) r0 (15,0.05) 0.525 判别 r22 0 r0 (15,0.05) 0.525 ，故 x(15) 不含粗大误差，应保留 判断最小值 x(1) ： r22
查表，显著度 =0.05 ，统计临界值 r0 (n, ) r0 (14,0.05) 0.546 判断最大值 x (14) ： r22
'
x( n ) x( n2) x( n ) x(3)

x '(14) x '(12) x (14) x (3)
' '

20.43 20.43 0 20.43 20.39
xi x vi 3 3
v
i 1
n
2 i
n 1
，则存在粗大误差，应剔除
例子 1：对某一量进行 15 次等精度测量，如下，试判别测量是否 含有粗大误差。
测量列中， x 20.404 ，
3 3
v
i 1
n
2 i
n 1
3
0.0150 3 0.033 0.099 15 1
判别 r22 0.692 r0 (15,0.05) 0.525 ， 故 x '(1) 不含粗大误差， 应保留 3、粗大误差判断总结
3 法则：测量次数很多时 格罗布斯法则：测量次数较少时（20~100）（相比其他两个，可靠性最高） 判定法则 罗曼诺夫斯基法则：测量次数很少时 狄克松法则：测量次数少，且需要迅速判别时
怀疑第 8 次测量结果，先将其剔除。计算剩余测量值的平均值和标 准差
x 1 n xi 20.411 n 1 i 1
i j
vi 2

i 1 i j
n
，
n 1
0.016
选取显著度 0.05 ，已知 n=15，查附录表得 K (n, ) 2.24
K 2.24 0.016 0.036