结构力学渐近法

B
C AB
M BA 0 M AB
MBA = - iAB A
B
A
A
C AB
M BA 1 M AB
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远
端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度S和传递系数C如下表。 远 端 约 束 固 铰 滑 定 支 动
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
C
41.3 C 133.1 D M图（kN· m）
1 0.667 CB 1 1 2 CD 0.333
20kN/m A EI=1 6m 92.6 B EI=2 4m
100kN C 4m EI=1 6m D
43.6
A 21.9 56.4 B 133.1
41.3
C
D
M图（kN· m）
51.8 A
6.9 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 C D
Q图（kN）
求支座反力
力矩分配法小结：
S
C 0.5 0 -1
4i
3i
i
• • • • • •
符号规定: 外力偶---绕杆端顺时针为正 杆端弯矩---绕杆端顺时针为正 杆端剪力---使杆轴顺时针转为 正 杆端转角---顺时针为正 杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
结点力偶分配
§6-3
单结点的力矩分配
90kN 40
B 20 4m i=1 20 A 设i =EI/l 30
EI=1 6m
D
iBC iCD
m -60
分 14.7 配 与 传 1.5 递
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
15kN 40kN/m 15kN 40kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D A D i=1 A i=2 C C
80
mຫໍສະໝຸດ BaiduB
mAC
2m 2m A （15） AC 2m 2m
M图（kN.m) 4m 4m C CA D DA
AD
3/9 － 80 15 － 65
2/9
10 10 －10 － 10
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。
3）结点不平衡力矩要变号分配。
4）结点不平衡力矩的计算： 固端弯矩之和 固端弯矩之和 （第一轮第一结点） （第一轮第二、三……结点）
结点不平 衡力矩
加传递弯矩
传递弯矩 （其它轮次各结点）
1）计算转动刚度及分配系数求μ
计算转动刚度： SAB=4iAB=4 SAC=iAC=2 分配系数：
4 4 AB 43 2 9 2 2 AC 4 3 2 9
i=1
D
i=2
M图（kN.m)
SAD=3iAD=3
AD
3 3 4 3 2 9
C
2m 2m 4m 结点弯矩
3、分配传递 4、绘内力图
例2. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 200kN 150 kN m MAB= 20kN/m 8 90 300 MBA= 150 kN m EI EI C B A 20 62 90kN m MBC= 3m 6m 3m 8 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 3i BC 0.429 BA BC 7i 0.571 0.429 分配力矩: C 0.571 (60) 34.3 M BA B -90 A -150 150
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，
而与近端支承无关。
如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点 转动刚度SAB的数值不变。
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度S不同）。 下列哪种情况的杆端弯矩MAB=SAB MAB MAB ① ② θ 1
第六章
§6-3 力矩分配法的基本概念 4i 理论基础：位移法； 力矩分配法 一、转动刚度S：
计算对象：杆端弯矩；
A 计算方法：逐渐逼近的方法；
θ=1
2i
B
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=3i
1
SAB=i
1m
A B A 5/6 1/6 B 25 -20.8 -4.2 -20.8 +20.8
5m
EI=常数
1m 50kN· m C 1 0 C -50 50 0 +50 -50
50kN D
M
B
A
M/2
50
20 70
BA
B － 50
10 － 40
15kN AB AC AD 4/9 2/9 3/9 A － 80 +50 20 70 10 10 15 － 65
结点力偶 DA D 不平衡力矩 －10 μAB= 4/9 μAC= 2/9
μAD= 3/9 mAB= 50
mBA= － 50 mAD= － 80 70
总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
例2. q=20kN/m
A
1 B E
D
4
F
1
2m
2
4m
4m
3
1
C
1
BA 0.3 BC 0.4 0 .3 BE
B
CB 0.445 CD 0.333 0.222 CF
BC ( M B ) M BC
MAB= MABP+ M 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 AB
总结：
应用条件： 三概念： 符号规定： 只有角位移的刚架和连续梁
刚度系数、分配系数、传递系数
与位移法一致
单结点力矩分配法基本原理： 加刚臂——去刚臂——叠加 步骤： 1、计算固端弯距，不平衡力矩 2、计算分配系数、传递系数
－ 10
CA －10 －10 C
40 B 4m
100kN 100 i=1
15kN 40kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D A i=1
10
i=2 C
80
2m
2m
M图（kN.m) 4m
§6-4 多结点的力矩分配
A MAB MBA B MBC
B
C
MCB
C
MCD
——渐近运算
D
MB
mBA 放松，平衡了 -MB mBC mCB
MAB 1
√
MAB
1
1
③ ）
④
转动刚度SAB=4i是（
A
i i
A
B
A
B
4i>SAB>3i
√ √ √
① ②
A
③
④
A
i i
B
B
i ⑤
B
i
Δ
二、分配系数
D M A
设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD
B 如用位移法求解：
SAB = 4i
1 于是可得 SAB= 3i SAB= i 1
iAD
A
iAB
M AB 4iAB A S AB A
=
-17.2
-167.2
-34.3
115.7
-25.7
-115.7
0
0
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
例3.用力矩分配法计算,画M图。
70 40 B B 4m 4m 100kN 100 100kN 100 i=1 MA 10 M=15 mAD
解：1）求μ μAB= 4/9
μAC= 2/9 μAD= 3/9 2）求m mAB= 50 mBA= － 50 mAD= － 80 不平衡力矩（负向分配） MA=mAB+mAD+mAC =50-80=-30 体系外力偶（直接分配）=15 实际分配=30+15=45 结点 杆端 分配系数 固端弯矩 分配与传递 最后弯矩 － 50 10 － 40 B BA AB 4/9
MC
MC’
固定
固定
-MC’
放松，平衡了
放松，平衡了
固定
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 100kN 20kN/m
i AB
A
EI=1 6m
B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 4.4 -0.7 0.4
EI=2 4m 4m
C 0.667 0.333 100 -66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7
2）求杆端弯矩 传递弯矩 mAB= 40
mBA= 20
mCA= 10 mDA= － 30
mBA
B
mAC= 20 mAD= 30 3) 最后弯矩
A
mAB
mAB
A M=90 mAD mAC
§9-26-3
单结点的力矩分配 非结点力偶分配
B 固端弯矩带本身符号 力矩分配法的局限：由于力矩分配法只讨论力矩的分配与传递问题，没有涉 A C 及剪力的分配与传递，故该方法只是用于无侧移结构（即无结点线位移）。 MB MAB MBA MBC 固定约束，约束上 P M M MBCP BA B 产生不平衡弯矩
=
A
MABP
MBAP
B
-MB
MBCP
C
MB=MBAP+MBCP
-MB
放松约束，相当于 加一个反向力偶 A
M AB
+
0 C
M BA
M BC
B M BC M BA
BA ( M B ) M BA
最后杆端弯矩：
MBA = MBAP+M BA
MBC = MBCP+M BC
M AD
Aj
S
A
S Aj
A
S AD M S
A

M Aj Aj M
分配系数
1
三、传递系数 MAB = 4 iAB A
近端 A A l
MBA = 2 iAB A
远端 B
C AB
M BA 1 M AB 2
MAB = 3iABA
A
A
MAB= iABA
A
43.5 46.9 3.45 24.5 14.7
40 3.3
-41.7 -9.3 3.3 4.4
D
9.8 1.7
4.89
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
M图 (kN m)
1.65 0.07 1.72
F
E
例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
A B EI=常数 C 50kN D
iAC
C M
M AC iAC A S AC A
M AD 3iAD A S AD A

S AB M AB M 1 S
A
MAD MAC
MAB
m 0
A
M (S AB S AC S AD ) A
M AC
S AC M S
A
M M A S AB S AC S AD S
C
4m
5m
mBA= 40kN· m mBC= - 41.7kN· m mCB= 41.7kN· m
0.3B0.3 0.4
0.445C 0.222 0.333 -41.7 -18.5 2.2 -1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6 -4.65 -0.25 -4.90 -9.3 -13.9