鲁棒控制的发展历程

鲁棒控制的历史回顾
摘要：本文就鲁棒控制近期的研究成果进行了历史回顾。

鲁棒控制问题,即在被控对象不确定的情况下设计准确控制系统的问题，是经典问题。

然而,在过去的15年里，一些重要的新理论完善了这个问题的解决方案,尤其是线性多变量系统的频域特性的提出,鲁棒控制这个术语只是最近(1972)提出的。

现代鲁棒控制理论对鲁棒镇定合成技术的发展，多变量系统的2
H和H 灵敏度优化都有重要的贡献。

本文将鲁棒控制运用在固定参数控制器的设计上。

因此，本文仅对不确定系统的控制问题的非自适应或非自整定解决方案进行了综述。

最后应当指出，本文主要限于在在IEEE期刊、会议以及一些英语期刊上发表的文献。

当然，在其他地方也出现了一些相关的重要贡献。

经典灵敏度设计时期（1927-1960）
最早的“鲁棒控制问题”的解决方案来自于1927年H.S.Black的专利。

在这个经典的专利中，Black首次提出利用反馈和大环增益来设计一个存在设备不确定性（电子管的特征变化）的精确系统（电子管放大器）。

不幸的是，用这种方法设计的大多数的精确系统（Black使用的是“稳定”这个术语而不是“精确”，但是这不能与动态稳定性混淆）都是动态不稳定的。

直到1932年Nyquist提出了的结果是动态稳定性与大环增益之间的权衡，鲁棒控制概念才被解析性的理解。

在Nyquist频域稳定性判据和Black的大环增益概念的基础上，Bode发展了其理论，于1945年发表了一部经典著作。

Bode还提出了微分灵敏度函数，能为被控对象参数发生极小变化的系统的精确度提供一个计量分析。

Bode设计鲁棒系统的方法被Horowitz运用到被控对象参数有限变化的系统中。

我们把1927年到1960年这一时期称为经典灵敏度设计时期。

这个时期的重点是单输入单输出系统（SISO）回路成形理论，包括系统稳定性、灵敏度的降低，噪声抑制等。

状态-变量时期（1960-1975）
控制系统理论的下一个重要时期是1960年到1975年。

我们把这一时期称为状态-变量时期。

在60年代早期，R.E.Kalman提出了一些关键状态变量的概念，像能控性、能观测性、最优线性二次型状态反馈（LQSF）、最优状态估计（卡尔曼滤波）等。

Anderson和Moore在1971年发表的文章中对这一时期的重要成果
做了深入的阐述。

不幸的是，还有一些显著的例外，像被控对象不确定这一问题在这一时期被大大的忽略。

其中一个值得注意的例外是，在1964年Cruz和Perkin 提出了适用于多输入多输出（MIMO）系统的灵敏度比较矩阵。

灵敏度比较矩阵为闭环和开环系统灵敏度提高的比较提供帮助。

这是将SISO系统灵敏度的结果推广到MIMO系统的一个早期的尝试。

不确定系统的准确控制问题在这一时期被称为灵敏度设计问题。

在状态-变量时期，灵敏度理论的主要发展成果由Cruz 总结编辑，并于1973年出版。

1978年，该理论以教科书的形式出现。

富兰克林学院在1981年发表的《特殊问题上的灵敏度》(三月、四月话题)中进一步阐述了灵敏度理论。

主要包括了这一时期灵敏度设计研究存在的问题，像轨迹不灵敏性、性能不灵敏性、敏感性特征值/特征向量,等等。

现代鲁棒控制阶段（1975年至今）
在70年代末和80年代初期，人们重拾了对不确定被控对象的研究兴趣。

同一时期，多变量系统的频域分析取得了重要成果。

特别是，1976年和1981年Youla和Desoer分别引入的多变量系统矩阵描述的概念，被作为一种设计工具。

同时，Rosenbrock、MacFarlane和Postlethwaite将Nyquist稳定判据推广到多变量系统中。

在Youla的理论中介绍了参数化的稳定补偿。

这种参数化方法在多变量系统的鲁棒稳定中发挥了重要的作用，被称为Youla参数化。

在不确定性和多变量系统的综合兴趣推动下，出现了现在的阶段，我们称为现代鲁棒控制阶段（1975年至今）。

事实上，鲁棒控制首次出现在Davison 1973年发表的国际会议论文的题目中和1974年Pearson 和Staats发表的期刊文章中。

实际上，现代鲁棒控制阶段源于60年代初发表的两篇论文。

一篇是Zames 于1963年发表的论文，介绍了小增益原理，这在鲁棒稳定性标准中起了重要作用。

另外一篇是Kalman在1964年发表的论文，证明了单输入单输出系统的LQ 最优状态反馈控制律能使系统具有较强的鲁棒性，即无限增益裕度和60度相位裕度。

在1977年，Safonov和Athans证明了系统在某一固定输入情况下，这些增益裕度和相位裕度扩大了多输入多输出系统的增益和相位变化范围。

不幸的是，当状态反馈估计代替状态反馈时，这些理想的鲁棒性能消失了。

但是，Doyle 和Stein提出的最优LQSF控制律的偏差回路反馈性能的描述，可以通过在反馈回路中合理地设计Kalman滤波器进行恢复。

基于状态-变量时期最优LQ和LQG
控制律的设计经验，进而将鲁棒性成果推广到这类问题的研究中，提出了多变量鲁棒设计理论，被称为LQG/LTR （线性二次高斯/闭环传递回复）方法。

关于这种理念的进一步描述可以参阅Doyle 和Stein 对LQG/LTR 设计方法的讨论和Athans 介绍的这种课题的教程。

在1980年发表的一份研究专著中，Safonov 提出了广义“部分”型稳定判据，这对于多变量系统的鲁棒性研究特别有用。

这种部分稳定判据是早期Zames 提出的圆锥曲线界的稳定性概念的推广。

上面提到的专著就LQG 鲁棒性和稳定性成果进行了概括。

这个专著首次在反馈系统中提到了包含“鲁棒”这个术语。

1982年2月，IEEE 在学报《线性多变量自动控制系统》中率先提出了鲁棒性这一特殊问题。

接着一些关于多变量鲁棒控制的论文就纷纷出现了。

这些论文的重点是将奇异值运用到多变量系统频域鲁棒控制中。

基本上，这些论文是对经典Bode 设计方法向多变量系统的一个推广。

在这个问题上，主流论文的标题多为：“多变量反馈设计：一个经典/现代的综合概念”，这是这类主题的特征之一。

不幸的是，基于奇异值的稳定性和鲁棒性对于结构化的被控对象太过保守。

1982年，Doyle 为解决这个问题提出了结构奇异值（SSV ）的概念。

当扰动非结构化时，矩阵M 的结构奇异值表示为()M μ，并减小到奇异值()M σ。

在IEE 特刊会议上提到Doyle 之前在1982年9月发表关于灵敏度和鲁棒性的方面的论文。

这个特刊包含了很多鲁棒控制方面的重要论文。

IEEE 特刊和IEE 特刊分别在1981年和1982年为鲁棒控制提供了基础分析工具。

这个阶段设定了鲁棒控制合成过程的发展。

第一个这样的程序出现在由Zames 和Francis 在1983年发表的论文中。

在这片论文中，提出了单输入单输出系统的最优H ∞灵敏度设计问题，并运用最佳Nevanlinna-Pick 插值理论解决了该问题。

控制系统设计的H ∞方法是Zames 在早期里论文中提出的。

该论文还针对一个特殊例子提出了H ∞灵敏度最优问题的解决方法，即存在单一的右半S 平面的零点系统。

1984年，提出了多输入多输出的最佳灵敏度问题的解决方案，该论文同时由Chang and Pearson a 和Francis 等多名作者撰写。

同年，Kimura 发表了一篇关于单输入单输出系统鲁棒稳定性综合分析的论文，同样运用了Nevanlinna-Pick 插值理论。

多输入多输出鲁棒稳定性问题的解决方案在1986年由Vidyasagar 、 Kimura 和Glover 几位作
者提出。

1985年，Youla和Bongiomo提出了关于2
H最优灵敏度设计问题的解决方案。

这些结果基于Youla早期关于多变量系统的Wiener-Hopf设计和Bongiomo较早的一篇关于2
H最优灵敏度设计的论文。

以上简短的回顾概括了现代鲁棒控制阶段（1975-1985）的主要发展过程。

在这次回顾中我们着重于多变量频域理论向鲁棒控制的靠拢。

在文章中我们将发现最新的优秀的概论。

在Vidyasagar近期的论文中可以找到关于现代鲁棒控制的最新的概括。

不确定系统的其他控制方法
不确定系统的其他控制方法通过与前面概述过的频域方法进行比较而形成。

下面会讨论其中的小部分方法。

随机的对参数的不确定性进行建模是可能的。

特别是，线性系统的参数变化可以建模成随状态而变化的噪声。

Wonham提出用于仿真的这种噪声需要一个修正Riccati方程的解决方案，该Riccati方程是用来合成最优状态反馈控制律的。

更近一些的，Willems 和Willems 已经开发出了鲁棒稳定的随机模型。

鲁棒控制问题的另外一种普遍方法被称作为对策论或极值法。

在这种方法里，不确定参数被看作是敌手，最大化了正被可变控制量最小化的性能。

在60年代末，出现了几篇提倡这种方法的论文，包括Ragade、Sarma、Dorato、Kestenbaum、Salmon 和Witsenhausen。

1973年，Bertsekas 和Rhodes通过使用动态设计理念解决了一类普遍的极值问题。

不幸的是，就大多数问题而言，对策论方法过分复杂。

1972年，Chang和Peng 提出了通过性能测量值上界最小化来获得一个状态反馈控制律，保证对所有容许的参数变化有一个给定的性能指标。

这种控制方法是指保成本控制。

有趣的是，跟随机理论一样，保成本理论最后也是产生了一个修正的Riccati方程，用来获得最优状态反馈控制律。

第42篇文献也描述了一种更早的尝试去设计系统的方法，该方法既考虑了鲁棒稳定性又考虑了鲁棒性能。

在最近的一篇论文中，Bemstein和Greeley比较了随机理论和保成本理论设计这两种方法。

用于稳定性分析的Lyapunov函数理论提供了另外一种解决鲁棒稳定的方
法。

Lyapunov函数应用在鲁棒控制上比较早的一篇论文是Gutman发表于1979年的论文。

Lyapunov函数方法的一大优点是对于时变和非线性系统也能够处理。

最近由Barmish和其他人发表的一篇论文里很好的说明了这个优点。

80年代初，Horowitz和他的同事提出了一种不确定系统的控制方法，这种方法基于环路增益和设备不确定性，设备不确定性用固定频率下的传递函数模型表示。

这种方法被称为定性反馈理论（QFT）方法。

Horowitz在第46篇文献里就单输入单输出系统的QFT方法进行了总结。

最近的一篇由Yaniv 和Horowitz 发表的论文给出了用于多变量系统的QFT方法的扩展。

最近，赫尔维茨稳定性条件被用来设计鲁棒稳定系统。

见参考文献48和49。

这种方法，被称为赫尔维茨条件方法，它有着直接处理结构参数变化的优点。

最后，我们提到一种由Carlucci和Donati 在1975年提出的方法，就是所谓的范数不确定性方法。

在这种方法中，这种不确定性被描述为标称系统跟实际系统的误差在巴拿赫空间的范围。

根据标称系统模型，设计控制器保证成本绩效。

见参考文献[51]。

近期的一些数学成果
在过去的15年里,出现了一些在频域里设计多变量鲁棒控制系统的重要理论。

最近，新的数学理论出现促进了H∞规范的最佳灵敏度的计算方法的发展。

尤其是，Ball和Helton在1983年发表的论文中，使用了Beurling-Lax定理去解决一般最优插值问题。

Glover在1984年发表的论文[53]中，提出了模型降阶的理论，对最优插值问题具有重要的计算意义。

有界插值分析矩阵在多变量灵敏度优化中起到了重要的作用，见参考文献[21]，以及鲁棒稳定性，见参考文献[30]。

现在去评价这些新理论的应用也许有些为时过早，特别是和H∞相关的理论。

应用
就目前，LQG/ LTR技术似乎是多变量系统的鲁棒性设计方法中最常用的一种。

例如，文献[54]是LQG/LTR技术在潜水器上的一种应用，文献[55]是在发动机控制上的一种应用，以及文献[56]是在大型柔性结构上的一种应用。

下面列出的是早已在文献中提到的其它的一些应用。

在文献[57]中，这种保证成本的方法被应用到多变量飞行控制问题中。

在文献[46]中，提到了一些关于QFT方法的应用，包括非线性飞行控制问题。

在文献[58]中，小增益定理被应用
于机械臂的鲁棒性设计中。

最后，在文献[59]中，多变量鲁棒理论被应用于一个过程控制问题中。

但应注意的是，以上提到的绝大多数应用实际上只是一种可行性研究而已。

结论
本文着重于1975年至今这段时间的多变量鲁棒控制理论的发展。

在相关文献中都有这些理论的一些应用。

然而，这些理论成果在最終确定能够应用于工程设计前还需要进行大量的理论实验。

现在存在着结构奇异值的计算困难，特别是当系统阶数大于3时，这个难题很难去克服。

与此同时，计算H 最优控制的经验也很少，有效的同步鲁棒性能和鲁棒稳定仍然需要进一步的研究。

线性二次高斯/闭环传递回复（LTR）方法虽然是多变量鲁棒设计比较流行的方法之一，但是他需要考虑过高的高增益。

（一个近似LTR的方法解决了这个难题，见参考文献[60]。

）。