【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练33 数列求和 理 北师大版

计时双基练三十三 数列求和

A 组 基础必做

1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的前

5项和为( )

A.15

8或5 B.31

16或5 C.

3116

D.158

解析 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9 1－q 3

1－q ＝1－q 6

1－q

，所以1＋q 3

＝9，得

q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125

1－12

＝31

16。

答案 C

2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n

·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12

D ．－15

解析 记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5d ＝5×3＝15。

答案 A

3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1

a n a n ＋1

，

那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )

A.n

n ＋1

B.4n n ＋1

C.3n n ＋1

D.

5n n ＋1

解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n

2，

∴b n ＝

1

a n a n ＋1

＝

4n n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋1，

∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1

n －1n ＋1

＝4⎝

⎛⎭⎪⎫1－

1n ＋1＝4n

n ＋1

。 答案 B

4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2

n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于( )

A ．1 509

B ．3 018

C ．1 512

D ．2 016

解析 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12

＋a n －a 2

n ，

所以a 2＝1，从而a 3＝1

2

，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

12

，n ＝2k －1 k ∈N * ，1，n ＝2k k ∈N * ，

故数列的前2

016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12＝1 512。

答案 C

5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2

－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2

B ．n 2

－6n ＋18

C.⎩

⎪⎨⎪⎧

6n －n 2 1≤n ≤3 n 2

－6n ＋18 n >3

D.⎩

⎪⎨⎪⎧

6n －n 2

1≤n ≤3

n 2

－6n n >3

解析 ∵由S n ＝n 2

－6n 得数列{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2。 ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，

∴T n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

6n －n 2

1≤n ≤3 ，

n 2

－6n ＋18 n >3 。

答案 C

6．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22

＋…＋2n －1

，…的前n 项和S n >1 020，那么n

的最小值是( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析 a n ＝1＋2＋22

＋…＋2

n －1

＝2n

－1。

∴S n ＝(21

－1)＋(22－1)＋…＋(2n

－1) ＝(21

＋22

＋ (2)

)－n ＝2

n ＋1－n －2。

∴S 9＝1 013<1 020，S 10＝2 036>1 020。 ∴S n >1 020，n 的最小值是10。

答案 D

7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n

，则S n ＝________。 解析 ∵S n ＝1×2＋2×22

＋3×23

＋…＋n ·2n

，① ∴2S n ＝1×22

＋2×23

＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1

，②

∴①－②得－S n ＝2＋22

＋23

＋…＋2n －n ·2

n ＋1

＝2 1－2n

1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，

∴S n ＝(n －1)·2

n ＋1

＋2。 答案 (n －1)·2

n ＋1

＋2

8．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2 0152 016，则S ＝________。

解析 ∵f (x )＝4

x

4x ＋2，

∴f (1－x )＝4

1－x

41－x ＋2＝2

2＋4x ，

∴f (x )＋f (1－x )＝4x

4x ＋2＋2

2＋4

x ＝1。

S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 016， ①

S ＝f ⎝

⎛⎭⎪⎫2 0152 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12 016， ②

①＋②得，2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥

⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 016 ＋⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 016＋… ＋⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝2 015， ∴S ＝2 0152＝1 007.5

答案 1 007.5

9．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n

，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________。

解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n ，

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1

＋2

n －2

＋…＋22

＋2＋2＝

2－2

n

1－2

＋2＝2n

－2＋2＝2n

。

∴S n ＝2－2n ＋1

1－2

＝2n ＋1

－2。