资产组合理论

wi w j ij
i 1 j 1
n
n
式中wi，wj分别为证券i和j所占的比重（权数）， σ ij＝σ iσ jρ ij，ρ ij为证券i和j的相关系数。
上式的约束条件为： 且

i 1 n
wi 1

n
i 1
wi ri rp

式中， ri 为证券i的期望收益， p 为组合的期望 r 收益。 2，假设是两证券的组合，则该组合的期望收益 率和方差分别为：
rp
当w1≥σ 2/(σ 1+σ 2)时，σ p(w1)=w1σ 1-(1w1)σ 2,则可得到： W1=f(σ p) 从而有： r +(1) r2 r p (σ p)= = r1 r2 r1 r2 r p 2 2 1 2 1 2 同理： 当w1≤σ 2/(σ 1+σ 2)时，σ p(w1)=(1-w1)σ 2w1σ 1,则 r r r r － r r p (σ p)= 也就是说，完全负相关的两种资产所构成的组 合的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。 如图
3，不同的无差异曲线代表着不同的效用水平。 越靠左上方无差异曲线代表的效用水平越高，如 图中的A曲线。这是由于给定某一风险水平，越靠 上方的曲线其对应的期望收益率越高，因此其效 用水平也越高；同样，给定某一期望收益率水平， 越靠左边的曲线对应的风险越小，其对应的效用 水平也就越高。此外，在同一无差异曲线图（即 对同一个投资者来说）中，任两条无差异曲线都 不会相交。
E(rp)
r1-,σ1
r2-,σ2
σp
如果两种资产完全负相关，即ρ
p ( w1 )
2 2 2 2
12
=-1，则有：
w1 1 (1 w1 ) 2 2w1 (1 w1 ) 1 2 w1 1 (1 w1 ) 2
和： (w1)=w1 r1 +(1-w1) r2 当w1=σ 2/(σ 1+σ 2)时，σ p=0
四、资产组合的有效边界
有效集原则 :（1）投资者在既定风险水平下 要求最高收益率；（2）在既定预期收益率水平下 要求最低风险。 为了更清晰地表明资产组合有效边界的确定 过程，这里我们集中揭示可行集左侧边界的双曲 线FMH。该双曲线上的资产组合都是同等收益水平 上风险最小的组合，如图，既定收益水平E(r1)下， 边界线上的a点所对应的风险为σ 4，而同样收益 水平下，边界线内部的b点所对应的风险则上升为 σ 5。因此该边界线称为最小方差资产组合的集合。
w , ,
m in
1 2
w ' V w E r p w ' e 1 w '1


• 该最优化问题的一阶条件为：
dL dw dL d dL d
Vw e 1 0 E rp w ' e 0 1 w '1 0
三、风险资产的可行集
通过给出风险资产的可行集，并从中分离出有效集， 是从理论上确定投资者投资组合的另一基础性工具。 所谓风险资产的可行集（Feasible Set ）是指资本 市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的期望收益和 方差的集合。将所有可能投资组合的期望收益率和标准差 的关系描绘在期望收益率-标准差坐标平面上，封闭曲线 上及其内部区域表示可行集。 假设由两种资产构成一个资产组合，这两种资产的相 关系数为1≥ρ 12≥－1。当相关系数分别在ρ 12＝1和ρ 12 ＝－1时，可以得到资产组合可行集的顶部边界和底部边 界。其他所有可能的情况则在这两个边界之中。
rp ＝w1r1 +(1-w1) r 2



=w12σ
2 p
1
2+(1-w
)2σ 22+2w1(1-w1)σ 1
12
3，构造拉各朗日函数： 2 L= p-λ [ rp -w1 r1 -(1-w1) ] r2 4，求最优解，得：dL d 2 p
dw1 dw1
( r r2 ) 0 1
E(rp)
ρ
12=-1
( r1 ,σ 1)
ρ 12=1 ρ 12=0
r1 r 2
1 2
2 r2
(
r2
,σ 2) σ
考虑到一方面在现实中我们在资本市场上很 难找到完全负相关的原生性资产，另一方面，进 行资产组合的目的之一就是通过降低资产之间的 相关性来降低投资风险。因此在一个实际资产组 合中一般不会存在相关系数为－1或1的情况。也 就是说，正常的可行集应是一条有一定弯曲度的 平滑曲线。
UB
E(r)
UA
σ
第二节 马科维茨模型
构造最优投资组合的过程，就是在所有 可以实施的组合集中，选择那些期望收益 率固定时风险最小、或风险固定时期望收 益率最大的组合。因此，这一过程是一个 非线性规划问题。
一、模型
1，假设构造风险最小的组合，则目标函数为：
Min
( w1,... wn ) 2 p
E(r) H
E(r1) E(r2) c M
a
d
b
F
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
σ
练习
• 选择两只股票，（或者债券，或者基金 等），自行计算其在某一时期的方差、协 方差和期望收益，并构造出其有效前沿。
五、最优资产组合的确定
由于有效边界上凸，而效用曲线下凸,所以两条 曲线必然在某一点相切，切点代表的就是为了达到 最大效用而应该选择的最优组合。 不同投资者会在资产组合有效边界上选择不同 的区域。风险厌恶程度较高的投资者会选择靠近端 点的资产组合；风险厌恶程度较低的投资者，会选 择端点右上方的资产组合。如图。
第九章 资产组合理论
• 第一节 马科维茨资产组合理论概述
• 第二节 马科维茨模型
第一节 马科维茨资产组合理论概述
一、前提假设
• （1）单一期间是指投资者持有资产的期间是确定 的，在期间开始时持有证券并在期间结束时售出。 由此即简化了对一系列现金流的贴现和对复利的 计算。 • （2）终点财富的预期效用最大化 。因为财富最 大化本身不是投资者的目标，而效用这一概念既 包括了财富的期望值，也考虑了获得这种预期财 富的不确定性，即风险效用的最大化才是投资者 真正追求的目标。
通过对上式求解，可得w1的唯一解或边界解， 从而可得到w2的值，最终构造出组合。
二、有效集方程组

对于均值为 r 的有效投资组合（允许卖空），其 组合中n个资产的权重wi(i=1,2,…n)与两个拉格朗日 乘数λ ，μ 满足：

j 1
n
ij
w j ri 0

（1）
（2） （3） i 1 i 1 公式（1）中有n个方程，再加上（2）、（3）两 式，得到n+2个方程组成的方程组，相应地，有n+2个 未知数wi,λ 和μ 。因此，求解后将得到均值为r-的一 个有效投资组合的权数。
2，下凸 。这意味着随着风险的增加要使投资 者再多承担一定的风险，其期望收益率的补偿越 来越高。如图，在风险程度较低时，当风险上升 （由σ 1→σ 2），投资者要求的收益补偿为E(r2)E(r1)；而当风险进一步增加，虽然是较小的增加 （由σ 2 →σ 3），收益的增加都要大幅上升为 E(r3)。这说明风险厌恶型投资者的无差异曲线不 仅是非线性的，而且该曲线越来越陡峭。这一现 象实际上是边际效用递减规律在投资上的表现。
首先我们考虑如果两种资产完全正相关，即 ρ 12＝1，则组合的方差为： σ p(w1)=w1σ 1+(1-w1)σ 2 （4.1） 式中σ p、σ 1和σ 2分别为资产组合、资产1和资 产2的标准差；w1为资产1在组合中的比重，(1-w1) 即是资产2在组合中的比重。 组合的预期收益为： （4.2） r p (w1)= r1 w1+ r2(1-w1) 当w1＝1时，则有σ p=σ 1，rp=r1 当w1＝0时，即有σ p=σ 2，rp=r2 因此，该可行集为连接（ r1 ，σ 1）和（ r2 ， σ 2）两点的直线。如图。
• （3）证券市场是有效的。即该市场是一个信息完全 公开、信息完全传递、信息完全解读、无信息时滞的 市场。 • （4）投资者为理性的个体，服从不满足（餍足）和 风险厌恶的行为方式；影响投资决策的变量是预期收 益和风险两个因素；在同一风险水平上，投资者偏好 收益较高的资产组合；在同一收益水平上，则偏好风 险较小的资产组合。 • （5）投资者在单一期间内以均值和方差标准来评价 资产和资产组合。该前提隐含证券收益率的正态分布 假设，正态分布的特性在于随机变量的变化规律通过 两个参数就可以完全确定，即期望值和方差。
• 我们容易求得

C E rp D B A E rp D

A
其中： A 1 ' V
B e 'V
1
e e 'V e
1
1
1

C 1 'V 1
1
D BC A
2
• 将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：
p 2
p 2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
p
2
2
1
2
1
2
E(rp)
r1-,σ1
r1 r 2
1 2
2 r2
r2-,σ2 σ
根据以上推导，在各种可能的相关系数下， 两种风险资产构成的可行集如图所示。由图可见， 可行集曲线的弯曲程度取决于相关系数，当相关 系数由1向－1转变时，曲线的弯曲程度逐渐加大： 当相关系数为1时，曲线是一条直线，即没有弯曲； 当相关系数为－1时，曲线成为折线，即弯曲程度 达到最大；当1≥ρ 12≥－1时，曲线即介于直线 和折线之间，成为平滑的曲线。
FMH双曲线左侧端点处的M点，其资产组合是所 有最小方差资产组合集合中方差最小的，被称为最 小方差资产组合MPV。图中，M点左侧的c点，其对应 的风险水平为σ 1，但它脱离了可行集；M点右侧的d 点，则在同样收益E(r2)水平下，风险上升为σ 3。 也就是说，同时满足前述两条有效集原则的只剩下 弧MH边界,称为有效集，亦即资产组合的有效边界。
σ
1
σ
2
σ
• 风险厌恶型投资者无差异曲线的特点
1，斜率为正。即为了保证效用相同，如果投资 者承担的风险增加，则其所要求的收益率也会增 加。对于不同的投资者其无差异曲线斜率越陡峭， 表示其越厌恶风险：即在一定风险水平上，为了 让其承担等量的额外风险，必须给予其更高的额 外补偿；反之无差异曲线越平坦表示其风险厌恶 的程度越小。
二、风险厌恶型投资者的无差异曲线
• 投资者无差异曲线
资本市场的无差异曲线表示在一定的风险和收 益水平下（即在同一曲线上），投资者对不同资 产组合的满足程度是无区别的，即同等效用水平 曲线，如图。图中，纵轴E(r)表示预期收益，横轴 σ为风险水平。
E(r) E(r3) E(r2) E(r1) C B A
wi ri r
n
wi 1
n
例题
假设有3个不相关的资产，其各自的均 值分别为1，2，3，各资产的方差和协方差 分别为1和0。确定各产的投资比例及该组 合的方差。
解：根据题意，有： σ 12＝σ 22＝σ 32＝1；σ 12＝σ 23＝σ 13＝0。因 此，公式（1）变为： w1-λ -μ =0 w2-2λ -μ =0 w3-3λ -μ =0 公式（2）、（3）变为： w1+2w2+3w3= r w1+w2+w3=1 由公式（1）变形后的方程组解出w1,w2,w3，并 将其代入公式（2），（3）变形后的方程组，得 到：
1 2 3
3
2
马科维茨模型的矩阵表示
在矩阵形式下，最有资产组合的选择问题就可以写成如 下优化问题：
m in
w
1 2
w 'V w
s .t . w ' e E r p w '1 1

• 其中，w是风险资产组合中各资产的权重构成的向量； V为风险资产收益率的方差协方差举证；e为风险资产组 合中各资产期望收益率构成的向量；1为单位向量。 • 为了解这个最优化问题，构造Lagrange函数如下：
14λ ＋6μ ＝ r 6λ +3μ ＝1 解该方程组，得： r λ ＝ 1 ，μ ＝ 2 1 －r 。将该结果代入方 2 3 程组1，得： w1=(4/3)-(r-/2) w2=1/3 w3=(r-/2)-(2/3) 据此，求解标准差有： σ ＝ w 2 w 2 w 2 7 2r r