§4-1向量组及其线性组合PPT课件
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第四章 向量组的线性相关性
§4-1 向量组及其线性组合 §4-2 向量组的线性相关性 §4-3 向量组的秩 §4-4 线性方程组解的结构
§4-1 向量组及其线性组合
定义
n 个数组成的有序数组 (a1, a2 ,, an ) 或
a1
a2
an
称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 ai 称为该行(列)向
-5-
(1) 向量 可由向量组 A : 1,2 ,,n 线性表示
(按定义) 存在数 x1, x2 ,, xn 使
注意:符号混用
x11 x22 xnn
(转换为方程组) 上面方程组有解.
即 Ax A [1,2 ,,n ] 有解
(用矩阵的秩) R( A) R[ A | ]
学会这种转换就可以了!
(1)
32
x1 x1
3x2 3x2
4x3 5x3
9 1
(2) (3)
x1
2x2
3x3
6
(4)
x1 3 x2 13 x3 17 (5)
1 1 1
A~
2 3
3 3
4 5
1 2 3
3 9 1 6
12TT
T 3
T 4
1
3
13
17
T 5
有如下关系
T 4
T 2
1T
T 5
2
证 (1) 要证 R[ 2 ,3 ] R[ 2 ,3 | 1] 2
如果 R[2 ,3 ] 2 则 R[2 ,3,4 ] R[2 ,3 ] R(4 ) 2 1 与条件矛盾.
(2) 要证 R[1, 2 ,3 ] R[1, 2 ,3 | 4 ]
R[1,2 ,3 ] 2
R[1,2 ,3 | 4 ] R[2 ,3,4 ] 3
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
(改写为矩阵) [1
,
B
2 ,,
q
]
[1
,
A
2 ,,
p
]
c11 c21
c12
c22
c1q
c2q
(转换为矩阵方程) AX B 有解
c p1
c p2
c
pq
pq
(用矩阵的秩) R( A) R[ A | B]
-7-
(3) 如果向量组 A : 1,2 ,, p 与向量组B : 1, 2 ,, q
可以相互表示,则称这两个向量组等价. 向量组 A 与向量组 B 等价
(用矩阵的秩) R( A) R[ A | B] R(B)
-8-
例1 向量组 A 与向量组 B 等价吗?
1
1
1
A : 1 1 , 2 1 , 3 2
1
3
4
0
1
B : 1 1 , 2 0
解:
1
2
1 1 1 0 1
1 1 1 0 1
[
A
|
B]
Байду номын сангаас
，1
1
2
1
0 r0
2
3
1
1
1 3 4 1 2
0 0 0 0 0
R( A) R[ A | B] 2 又易知 R(B) 2 , 故等价.
-9-
例2 已知 R[1,2 ,3 ] 2 , R[2 ,3,4 ] 3
证明(1) 1 能 2 ,3 线性表示;
(2) 4 不能由 1,2 ,3 线性表示.
-10-
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
的行组.
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
再如:
Amnx 0(R(A) n) 解的全体是一个含无穷多个 n
维列向量的向量组.
-3-
观察下面方程组增广矩阵的行组
x1 x2 x3 3
-6-
(2) 如果向量组 B : 1 , 2 ,, q 中的每个向量都可由向量组
A : 1 ,2 ,, p 线性表示, 则称向量组 B可由向量组 A 线性
表示.
1 c111 c212 c p1 p
2
c121
c22 2
c p2
p
一个向量组表示另一向量 组就是矩阵乘法的关系!
q c1q1 c2q2 c pq p
量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量.
约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量
的转置表示.
向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.
-2-
定义 由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.
如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量
组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A
T 2
T 3
这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.
-4-
定义 对于向量组 A : 1 ,2 ,,m , 表达式 k11 k22 kmm (ki R)
称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向量组 A 的一个线
性组合, 即
11 22 mm (i R) 则称向量 可由向量组 A 线性表示.
§4-1 向量组及其线性组合 §4-2 向量组的线性相关性 §4-3 向量组的秩 §4-4 线性方程组解的结构
§4-1 向量组及其线性组合
定义
n 个数组成的有序数组 (a1, a2 ,, an ) 或
a1
a2
an
称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 ai 称为该行(列)向
-5-
(1) 向量 可由向量组 A : 1,2 ,,n 线性表示
(按定义) 存在数 x1, x2 ,, xn 使
注意:符号混用
x11 x22 xnn
(转换为方程组) 上面方程组有解.
即 Ax A [1,2 ,,n ] 有解
(用矩阵的秩) R( A) R[ A | ]
学会这种转换就可以了!
(1)
32
x1 x1
3x2 3x2
4x3 5x3
9 1
(2) (3)
x1
2x2
3x3
6
(4)
x1 3 x2 13 x3 17 (5)
1 1 1
A~
2 3
3 3
4 5
1 2 3
3 9 1 6
12TT
T 3
T 4
1
3
13
17
T 5
有如下关系
T 4
T 2
1T
T 5
2
证 (1) 要证 R[ 2 ,3 ] R[ 2 ,3 | 1] 2
如果 R[2 ,3 ] 2 则 R[2 ,3,4 ] R[2 ,3 ] R(4 ) 2 1 与条件矛盾.
(2) 要证 R[1, 2 ,3 ] R[1, 2 ,3 | 4 ]
R[1,2 ,3 ] 2
R[1,2 ,3 | 4 ] R[2 ,3,4 ] 3
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
(改写为矩阵) [1
,
B
2 ,,
q
]
[1
,
A
2 ,,
p
]
c11 c21
c12
c22
c1q
c2q
(转换为矩阵方程) AX B 有解
c p1
c p2
c
pq
pq
(用矩阵的秩) R( A) R[ A | B]
-7-
(3) 如果向量组 A : 1,2 ,, p 与向量组B : 1, 2 ,, q
可以相互表示,则称这两个向量组等价. 向量组 A 与向量组 B 等价
(用矩阵的秩) R( A) R[ A | B] R(B)
-8-
例1 向量组 A 与向量组 B 等价吗?
1
1
1
A : 1 1 , 2 1 , 3 2
1
3
4
0
1
B : 1 1 , 2 0
解:
1
2
1 1 1 0 1
1 1 1 0 1
[
A
|
B]
Байду номын сангаас
，1
1
2
1
0 r0
2
3
1
1
1 3 4 1 2
0 0 0 0 0
R( A) R[ A | B] 2 又易知 R(B) 2 , 故等价.
-9-
例2 已知 R[1,2 ,3 ] 2 , R[2 ,3,4 ] 3
证明(1) 1 能 2 ,3 线性表示;
(2) 4 不能由 1,2 ,3 线性表示.
-10-
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
的行组.
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
再如:
Amnx 0(R(A) n) 解的全体是一个含无穷多个 n
维列向量的向量组.
-3-
观察下面方程组增广矩阵的行组
x1 x2 x3 3
-6-
(2) 如果向量组 B : 1 , 2 ,, q 中的每个向量都可由向量组
A : 1 ,2 ,, p 线性表示, 则称向量组 B可由向量组 A 线性
表示.
1 c111 c212 c p1 p
2
c121
c22 2
c p2
p
一个向量组表示另一向量 组就是矩阵乘法的关系!
q c1q1 c2q2 c pq p
量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量.
约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量
的转置表示.
向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.
-2-
定义 由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.
如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量
组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A
T 2
T 3
这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.
-4-
定义 对于向量组 A : 1 ,2 ,,m , 表达式 k11 k22 kmm (ki R)
称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向量组 A 的一个线
性组合, 即
11 22 mm (i R) 则称向量 可由向量组 A 线性表示.