河北科技大学 复变函数 2009—2010第一学期_补考(答案)

1 π
∫
π
0
cos(t cos θ )dθ ，试求其Laplace变换的
(1分) (1分) 上的|z| =1一周变为ζ平面上的|ζ| =1两周. 4s z F (s ) = dz 2 Ñ ∫ 2π i |ς |=1 ς + 2(2s 2 + 1)ς + 1 =4sRes[f (ζ)，单位圆内] −2(2s 2 + 1) ± 4(2p 2 + 1)2 − 4 f (ζ)的奇点 ς = 2 2 = −(2s + 1) ± 2s s 2 + 1
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六、(10分)利用留数求积分 I = ∫
+∞
0
cos x dx 的值． x + 10 x 2 + 9
4
解： 在上半平面内， f ( z ) =
Q
e iz 有一阶极点 z = i 和 z = 3i z 4 + 10 z 2 + 9
(2 分) (2分) (2分) (3分) (1分)
∞ c
0
z
．
(n + 1)! n 幂极数 ∑ z 的收敛半径为 n =1 ( 2 n )!
e dz = π i / 12 ． (z − π i )5 ∞ ．
10. 方程 | z + 2 − 3i |= 2 代表的曲线是中心为 −2 + 3i ，半径为 2 的圆周.
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三、(10分) 已知 f (t ) =
象函数F(s)． 1 π s 1 2π s 解： F (s ) = ∫ 2 dθ = dθ 2 2 ∫ π 0 s + cos θ 2π 0 s + cos2 θ 1 s dz = 2 −1 2 Ñ ∫ 1 | z | = 1 2π s + 4 (z + z ) iz 4s z = dz 4 2 Ñ ∫ | z | = 1 2π i z + 2(2s + 1)z 2 + 1
+∞ 1 +∞ cosx 1 e ix I= ∫ dx dx = Re ∫ -∞ ( x 2 + 1)( x 2 + 9) 2 −∞ ( x 2 + 1)( x 2 + 9) 2
1 Re{2πiRes[ f ( z ), i ] + 2πiRes[ f ( z ),3i ]} 2 −i i Re s[ f ( z )，i ] = ， Re s[ f ( z )， 3i ] = 16e 48e 3 π I= (3e 2 − 1) ∴ 48e 3 =
方程 Rez 2 = 1 所表示的平面曲线为( D ) B．直线 C．椭圆 D．双曲线 A. 圆 π π 2. 复数 z = −3(cos ， − i sin ) 的三角表示式为( C ) 5 5 4 4 4 4 A. − 3(cos π， + i sin π ) B． 3(cos π， − i sin π ) 5 5 5 5 4 4 4 4 C． 3(cos π， + i sin π ) D． − 3(cos π， − i sin π ) 5 5 5 5 1. 3. 如果 L [ f (t )] = F (s ) ，那么 L [e at f (t )] = ( B ) B． F (s − a ) A. F (s 2 − a 2 ) 4. 设 f (t ) = δ (t − t0 ) ，则 F [ f (t )] = ( D ) A. 1 B．2π 5 设 z = cos i ，则( A ) A. Im z = 0 B． Re z = π C． F (s 2 + a 2 ) C．exp[jω t0] C． z = 0 D． F (s + a ) D．exp[-j ω t0] D． arg z = π
二、填空题(共 10 题，每空 2 分，共 30 分)将正确答案写在空格内 1. 复数 z = 4 + 48i 的模 z =
−1
8
，辐角主值
π/3
．
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
e − at 的拉氏变换为 (s + a ) ， t > 0 时的付氏变换为 (a + jω ) −1 ． 函数 f ( z ) = 1 1 1 +L+ 1 + 在点 z = 0 处的留数为 z z +1 ( z + 1) 5 ， 极点 6 ． ．
(1分) (1分) (1分) (1分) (1分)
(2)
z =3
Ñ ∫z
=
(
1 dz z + 1) 1 1 (2分)
z =3
Ñ ∫ z dz − Ñ ∫ z + 1 dz
z =3
=
( z + 1 )′ z′ dz − Ñ ∫ z Ñ ∫ z + 1 dz z =3 z =3
(2分) (1分)
= 2π i (1 − 0 ) − 2π i (1 − 0 ) = 0
(1分)
单位圆内只有 ς = −(2s 2 + 1) + 2s s 2 + 1 ，并且是一阶极点. 留数为 1 1 = 2 2ς + 2(2s + 1) ς =−(2s 2 +1)+2s s2 +1 4s s 2 + 1 最后得到 1 F (s ) = 2 ，( Re s > 0) s +1
(1分) (1分)
河北科技大学 2009—2010 第一学期 《复变函数、积分变换》(补考) 学院：
分值 得分 得分 评阅人 一、选择题(共 15 题，每题 2 分，共 30 分)请将正确选项前的字母填
在题后的括号内。
班级：
题号(类型) 一 30 二 30 三 10
姓名：
四 10 五 10 六 10
学号：
总 分 100
(2分)
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得分
评阅人
四、(10分)综合题 (1) 已知某函数的Fourier变换为 F (ω ) =
sin ω 为连续的偶函数，由公式 ω 1 +∞ ( ) iωt 1 +∞ sin ω f (t ) = F ω e dω = ∫ cos ωtdω ∫ 2π −∞ π 0 ω 1 +∞ sin (1 + t ) ω 1 +∞ sin (1 − t ) ω dω + dω = ∫ 2π 0 2π ∫0 ω ω +∞ sin aω +∞ sin aω +∞ sin t π dω = ∫ d (aω ) = ∫ dt = 当a > 0 时 ∫ 0 0 0 ω aω t 2 +∞ sin aω +∞ sin ( −a ) ω π 当a < 0 时 ∫ dω = − ∫ dω = − 0 0 ω ω 2 +∞ sin aω 当a < 0 时 ∫ dω = 0 0 ω
解： F (ω ) =
sin ω ，求该函数 f (t ) . ω
(1分)
(1分) (1分) (1分)
1 , t < 1 2 1 f (t ) = , t = 1 4 0, t > 1 y ′′ − 2 y ′ + y = 1 (2) 利用Laplace变换解常微分方程初值问题： y (0) = 0，y ′(0) = −1. 解：设 F( s ) = L[ y (t )] ，对方程两边取拉氏变换，有 1 s 2 F( s ) + 1 − 2 sF( s ) + F( s ) = s 从中解得 F( s ) = 1− s 1 −1 = 2 s ( p − 1) p ( p − 1)
∞
A. 绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
Γ (b 1) Γ (α ) Γ (α 1) Γ (α 1) B． C． D． b 1 α 1 α 1 (s α ) (s b ) (s b ) (s b )α sin( z − π ) π 3 的( B ) 13. z = 是函数 f ( z ) = 3 3z − π A. 一级极点 B．可去奇点 C．一级零点 D．本性奇点 n -1 ∞ z 14. 幂级数 ∑ 的收敛区域为( B ) n =1 n! A. 0 <| z |< +∞ C. 0 <| z |< -1 D. | z |< 1 B. | z |< +∞ π 5π 15. 设复数 z 满足 arg(z + 2) = ， arg(z − 2) = ，那么 z = ( A ) 3 6 1 3 3 1 B． − 3 + i i D． − + i C． − + A. −1 + 3i 2 2 2 2 A. 得分 评阅人
A. −2π i B．0 C． 2π i 1 1 8. 级数 2 + + 1 + z + z 2 + L 的收敛域是( B ) z z A. z < 1 B． 0 < z < 1 C． 1 < z < +∞
∞ n =0
6. 若 f ′(z ) 在单位圆 z < 1 内处处为零，且 f (0) = −1 ，那么在 z < 1 内 f (z ) ≡ ( C ) A. 0 B．1 C． −1 D．任意常数 sin z 7. 设 c1 : z = 1 为负向， c2 : z = 3 正向，则 Ñ ∫ z 2 dz = ( B ) c =c1 +c2 D． 4π i
孤立奇点可分为 本性奇点 ， 可去奇点 t −t s +1 e −e 已知 F (s ) = ln ，则 f (t ) = ． s −1 t 设 a 是常数， cos at ∗ sin at = 1 2 t sin at ． 设 z = (1 + i)100 ，则 Im z = 设 c 为负向圆周 z = 4 ，则 Ñ ∫
(1分)
(2分)
(1分)
再求拉氏逆变换，得 1 1 y (t ) = L−1 − s s − 1 = 1 − et .
(1分) (1分)
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得分 评阅人
五、 （10分）计算积分 π dθ 2 (1) ∫ 2 (a > 0) 0 a + cos2 θ 1 π2 dθ π 2 ∫ 2 − 2 a + cos2 θ π dθ 2 =∫π (令2θ = t ) − 2 1 + 2a 2 + cos 2θ 1 π dt = ∫ − π 2 1 + 2a 2 + cos t 1 2π dt = ∫ 0 2 1 + 2a 2 + cos t π = 2a a 2 + 1
D．不存在的
9. 若幂级数 ∑ cn z n 在 z = 1 + 2i 处收敛，那么该级数在 z = 2 处的敛散性为( A )
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D．不能确定 f (z ) 10. 设 f (z ) = ∑ an z n 在 z < R 内解析， k 为正整数，那么 Res[ k , 0] = ( C ) z n =0 A. ak C． ak −1 D． (k − 1)!ak −1 B． k !ak jα t 11. 如果 f (t ) = e ，那么 F (ω ) = ( D ) A. δ (ω − α ) C． −2πδ (ω − α ) D． 2πδ (ω − α ) B． 2π j δ (ω − α ) α −bt 12. 函数 f (t ) = t e (α > −1) ， L [ f (t )] = ( C )