两角和与差的正切公式

T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
tan α－tan β _1_＋__t_a_n_α__ta_n__β_
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ ＋π2(k∈Z)
[点睛] 当 tan α，tan β，tan(α＋β)(或 tan(α－β))中任 一个的值不存在时，不能使用两角和(或差)的正切公式解决 问题，应改用诱导公式或其他方法解题．
[解]
(2)因为 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ＝21－ ＋1323＝1，
又因为 0<α<π2，π2<β<π，
所以π2<α＋β<32π，
所以 α＋β＝54π.
[活学活用]
1．设 tan α，tan β 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 tan(α＋β)
的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：选 A ∵tan α，tan β 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，
∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，
∴tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ＝1－3 2＝－3.
给值求值问题
[典例] 已知 cos α＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求 tan β 及 tan(2α－β)．
[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)， ∴sin α>0.
∴sin α＝ 1－cos2α＝
3 ∴tan α＝csions αα＝54＝34.
5
1－452＝35，
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antaαn－αt·atannαα－－ββ ＝1＋34－34×12 12＝121， tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝1t－antaαn＋αt·atannαα－－ββ ＝1－34＋34×12 12＝2.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立． ( √ ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ都成立． ( × )
2．已知 tan α＝－34，则 tan(π4－α)等于
∴tan 23°＋tan 37°＝ 3－ 3tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
利用公式 T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一， 因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正 用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当 所 要 化 简 ( 求 值 ) 的 式 子 中 出 现 特 殊 的 数 值 “1” ， “ 3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去 代换，如“1＝tan π4”，“ 3＝tan π3”，这样可以构造出 利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
＝1t＋antaβn－βα－－αttaannαα
＝1＋－－2－22×2＝43.
答案：43
给值求角问题
[典例] 已知 tan α＝2，tan β＝－13，其中 0<α<π2，π2<β<π. (1)求 tan(α－β)； (2)求 α＋β 的值． [解] (1)因为 tan α＝2，tan β＝－13， 所以 tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ＝21＋－1323＝7.
A．－17
B．－7
1 C.7
D．7
答案：D
()
3．若 tanπ4－α＝3，则 tan α 的值为
A．－2
B．－12
1 C.2
答案：B
4. 1t－anta1n7°17＋°ttaann4433°°＝________.
答案： 3
() D．2
给角求值问题
[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)1t－anta7n4°74＋°ttaann7766°°； (3)tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°.
第二课时 两角和与差的正切公式
(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正 切公式？
(2)公式 Tα±β的应用条件是什么？
[新知初探]
名称 两角和 的正切
两角差 的正切
两角和与差的正切公式
公式
简记符号
使用条件
பைடு நூலகம்
tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
_1_－__ta_n__α_t_a_n__β
给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和 与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实 现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角 和待求角间的关系，如用 α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β) 等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立 等量关系，从而求值．
2．已知ssiinn αα＋－ccoossαα＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)
＝________.
解析：由条件知sin sin
α＋cos α－cos
α＝tan α tan
αα＋－11＝3，则
tan
α＝2.
因为 tan(α－β)＝2，
所以 tan(β－α)＝－2，
故 tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
[解](1)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝1t＋anta4n5°45－°ttaann3300°°＝11－ ＋
3 33＝33－ ＋
3
33＝12－66
3＝2－
3，
tan(－15°)＝－tan 15°＝ 3－2.
(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan
150°＝－
3 3.
(3)∵tan 60＝ 3＝1t－anta2n3°23＋°tatann3377°°，
[活学活用]
求值：(1)tan 75°；(2)1＋3－3ttaann1155°°.
解：(1)tan 75°＝tan(45°＋30°)＝1t－anta4n5°4＋5°ttaann3300°°
1＋ ＝
1－
3 33＝33－＋
3
33＝12＋66
3＝2＋
3.
(2)原式＝1t＋anta6n0°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.