三角恒等式的证明

三角恒等式的常用证明思路

三角恒等式的证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），不论采用什么证明方法，都有要认真分析等式两边三角函数式的特点，从角、函数名称、运算关系这三个方面寻找差异，从这其中某一方面入手努力去消灭差异，特别是角的差异，盯住消灭差异这个目标对等式进行恒等变换，消灭了差异，往往就证出了等式．

1．无条件三角恒等式的证明遵循化简原则

无条件三角恒等式的证明的基本思路是化简，常用方法有：化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”．

思路一：“化繁为简”

例1求证：．

分析从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角化简到右边．

证明左式=

右边．

点评在证明三角恒等式时，若无明确思路，则可先将式子化繁为简，化简三角函数式的常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

思路二：“左右归一”

例2求证：．

分析左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值，因而得证．

证明左式=

，

右边，

所以左边右边，故等式成立．

点评将三角函数式的化简时，可能从左化到右，也可能从右化到左，还可能从两边化到中间，关键是要遵循化简的原则，能正确运用三角公式，采用切割化弦、通分、平方降次、1的代换等方法技巧来进行化简．

思路三：“化差为零”

例3求证：．

分析左式一右式，通过运用同角三角函数公式及等公式的化简，得左式一右式，从而得左式右式，即得证。

证明左边-右边，

∵分子

，

∴左边-右边．

点评化差为零的方法可将学生感到棘手的证明问题转化为同学们熟知的计算问题．

思路四：“等价化归”

例4求证：．

分析先转换命题，将分式整式化：，再利用角的关系：可证得结论．

证明

，

两边同除上，得．

点评证明三角恒等式，有时需要对原命题作整体的转化．

2．有条件三角恒等式的证明遵循目标消差原则

有条件三角恒等式的证明的基本思路是盯住目标，消灭条件等式与结论等式之间的差异，包括角的差异、函数名称的差异、运算关系的差异，特别是角的差异，常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．

例5已知5sinβ=sin(2α+β),求证．

分析从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是α+β，α，而已知条件中的两个角可以用α+β，α来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可．

证明∵5sinβ=sin(2α+β)，

∴5sin[(α+β)—α]=sin[(α+β)+α]，

∴5sin(α+β)cosα—5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，

即4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα，

∴．

点评三角条件等式的证明关键是要比较条件等式与结论等式等式的差异，再用分析法或综合法寻找正确的证明途径，通过三角恒等变换来变角变次变名称，达到使两等式之间的“异”转化为“同”．

例6．已知：sinα=a·sinβ,tanα=b·tanβ，求证：。

分析：可以采用消元法，注意到结论中没有关于β的相关函数，故可由条件消β。

证明：sinα=a·sinβ,，①

tanα=b·tanβ，，②

将①、②式平方后相减得：，

即，，

，．

点评证明条件三角恒等式的方法是消元法，即代入法，换元法等；解题的基本途径是利用给定的条件把问题转化一般恒等式的证明．如：本题还可以由给定条件求得

，代入结论中的右边，消去a，b，即可将原问题转化为无条件三角恒等式的证明问题．

总之，证明三角恒等式的基本思路是：首先观察条件与结论的差异，从消灭差异入手，确定从结论开始变换，还是变换条件得出结论，甚至整体转换命题。消差时往往先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略．