清华大学微积分学习材料

[ ac ] 1 − bcx 2 −b x
2 (1) f (x) = ln( x + x + 1); x(1 − x) if x > 0 (2) f (x) = x(1 + x) if x < 0,
例2 判断下列函数的奇偶性： √
解： f (−x) = ln(−x + [ = ln
√
x2 + 1) ]
第1章 实数与函数
1 符号
R 表示实数集合; ∀ 表示“任取”或“任意给定”――Any; ∃ 表示“存在”或“能够找到”――Exist; =: 表示“定义”或“规定”; 设δ > 0，N ∗ (x0 , δ ) =: {x ∈ R| 0 < |x − x0 | < δ }，称N ∗ (x0 , δ )为点x0 的一个空心邻域; 设δ > 0，N (x0 , δ ) =: {x ∈ R| |x − x0 | < δ }，称N (x0 , δ )为点x0 的一个邻域。
x3 3 x3
1
2 想象点Q沿着曲线向点P 运动（如图所示），则割线P Q的斜率mP Q 越来越接近于x2 0 ，故切线T 的斜率x0 ， 即 x2 0 = lim mP Q Q→P
由于Q趋于P 点时，有x趋于x0 ，于是 x2 0 = lim
百度文库x3 3 x→x0 a
− 30 x − x0
x3
切线问题引出了微积分中一个分支――微分学，但这比积分学的发明晚了2000年。微积分的思想主 要归功于法国数学家Fermat(1601-1665)，并由英国数学家Newton(1642-1727)、德国数学家Leibniz(16461716)发展起来的。 微积分中的两个分支（积分学与微分学）极其基本问题（面积与切线）表面上相去甚远，然而它们是密 切相关的。正如以后将指出的，面积问题与切线问题在一定意义上互为逆问题。通过路程与速度的关系， 可以理解这一点: 求路程的“切线问题”就是求速度；求速度的“面积问题”就是求路程。 Newton发明微积分是为了解释行星围绕太阳的运动，今天微积分被广泛用于计算卫星和航天器的轨道， 预测人口规模的变化，计算物价的涨落，预报天气、计算人寿保险的贴率等等。
注1 设E是实数集的一个非空子集，则E有界的充分必要条件是E既有上界又有下界。事实上，若M 是E的
一个界，则∀x ∈ E ，都有 −M ≤ x ≤ M, 从而−M 是E 的一个下界、M 是E 的一个上界；若a是E 的一个下界、b是E 的一个上界，则∀x ∈ E ，都有 |x | = ≤ = ≤ 从而|a| + b − a是E 的一个界。 |a + x − a| |a| + |x − a| |a| + x − a （因a是E 的下界） |a| + b − a （因b是E 的上界）,
设E ⊂ R，E ̸= ∅. 如果∃a ∈ R，使得 (i)a是E 的一个下界，即∀x ∈ E ，都有x ≥ a； (ii)a是E 的最大的下界，即∀a ˜ > a，则a ˜不再是E 的下界，也即∀a ˜ > a，∃x ˜ ∈ E ，使得x ˜<a ˜. 则称b是E 的下确界。
定义（下确界）
注4 下确界定义中（ii）等价于说：若a ˆ 是E 的一个下界，则a ˆ ≤ a. 注5 集合E的下确界如果存在，就必定唯一。记这个唯一的下确界为inf E. (infimum) 定理（确界的存在性）
设函数y = f (x), x ∈ R的图形关于直线x = a、x = b均对称(a < b)，求证：函数y = f (x), x ∈ R是周期函数，并求其周期。 解：由已知(画图) f (a − x) = f (a + x), f (b − x) = f (b + x) ∀x.
例3
5
于是
f (x) = f (a + (x − a)) = f (a − (x − a)) = f (2a − x) = f (b + (2a − x − b)) = f (b − (2a − x − b)) = f (x + 2(b − a)),
4
注1. D(f ) = R(f ), R(f ) = D(f ). 注2. y = f (x)的图形与其反函数y = f
−1 −1
(x)的图形关于直线y = x对称，画图。因为若点(a, b)的坐 标满足b = f (a)，即点(a, b)在曲线y = f (x)上，则a = f −1 (b)，即点(b, a)在曲线y = f −1 (x)上。 )
x ∈D
sup f (x) =: sup{f (x)|x ∈ D},
x ∈D
inf f (x) =: inf {f (x)|x ∈ D}.
(无界函数？称f : D → R为无界函数，若∀M > 0，∃xM ∈ D，使得|f (xM )| ≥ M .) 单射：设f : D → R. ∀x1 , x2 ∈ D(f )，若x1 ̸= x2 ，则必有f (x1 ) ̸= f (x2 )，则称f 是单射。 反函数：设f : D(f ) → R(f )是单射，则∀x ∈ R(f )，必∃ 唯一y ∈ D(f )，使得 x = f (y ), 由此确定一个法则 x ∈ R(f ) → y ∈ D(f ) 称此法则为f 的反函数，记作f −1 .
2
实数集的界与确界
设E 是实数集的一个非空子集。 如果∃b ∈ R，使得∀x ∈ E ，都要x ≤ b，则称b是E 的一个上界，此时称集合E 有上界; 如果∃a ∈ R，使得∀x ∈ E ，都要x ≥ a，则称a是E 的一个下界，此时称集合E 有下界; 如果∃M > 0，使得∀x ∈ E ，都要|x| ≤ M ，则称M 是E 的一个界.
注.确定一个函数两个要素：定义域，对应规则f .
偶函数：称f : D → R为偶函数，若∀x ∈ D，都有−x ∈ D，且f (−x) = f (x). (非偶函数？) 奇函数：称f : D → R为奇函数，若∀x ∈ D，都有−x ∈ D，且f (−x) = −f (x). (非奇函数？) 单调增函数：称f : D → R为单调增函数，若∀x1 , x2 ∈ D，由x1 < x2 有f (x1 ) < f (x2 ). (非单调增函数？) 单调减函数：称f : D → R为单调减函数，若∀x1 , x2 ∈ D，由x1 < x2 有f (x1 ) > f (x2 ). (非单调减函数？) 单调非增函数：称f : D → R为单调非增函数，若∀x1 , x2 ∈ D，由x1 < x2 有f (x1 ) ≥ f (x2 ). 单调非减函数：称f : D → R为单调非减函数，若∀x1 , x2 ∈ D，由x1 < x2 有f (x1 ) ≤ f (x2 ).
引言
学习材料（1）
微积分所关心的问题――变化与运动；其核心问题――极限。 在系统学习之前，我们首先浏览一下微积分中两个基本问题，从而建立一个宏观的感觉是极其有益的。
0.1
面积问题
如何求以x轴、曲线y = x2 及直线x = x0 所围曲边梯形A的面积S ？ 2500年前的古希腊人用”切分”的方法计算区域的面积。如图，将[0, x0 ]进行n等分，然后在A内做出相应 的小矩形，则这些小矩形的面积和为
面积问题引出了微积分中一个分支――积分学。
0.2
切线问题
x3 3 的曲线。求它在点P
考虑方程为y =
( x0 ,
x3 0 3
)
处的切线T 满足的方程（关于切线确切的定义将在以后给
出，目前你将它暂时理解为在P 点接触曲线的直线，如图。）由于切线经过曲线上的点P ，所以要写出直 线T 的方程，只要知道它的斜率m即可。如何求 ( ) m? 3 我们首先在曲线上取P 附近一个点Q x, x 3 ，计算割线P Q的斜率mP Q ，由图可见 mP Q ) − 30 1( 2 = = x + xx0 + x2 0 x − x0 3
n ∑ i=1
i2 = (
1 3 1 2 1 n + n + n. 3 2 6
于是这些小矩形的面积和为 x3 0 n3
) 1 3 1 2 1 n + n + n . 3 2 6
x3 x3 0 0 3 ，我们称此值 3 为A的面积，记作
当n越来越大时，这些小矩形的面积和越来越接近数值
n ∑ x0 ( x0 )2 x3 0 = lim i n→+∞ 3 n n i=1
2
易知，如果b是E 的一个上界，b + 1, b + 2, · · · 都是E 的上界。 问 题: 非空有上界集合E 是否总有一个“最小的上界”？（“最小的上界”通常称为上确界） 设E ⊂ R，E ̸= ∅. 如果∃b ∈ R，使得 (i)b是E 的一个上界，即∀x ∈ E ，都有x ≤ b； (ii)b是E 的最小的上界，即∀˜ b < b，则˜ b不再是E 的上界，也即∀˜ b < b，∃x ˜ ∈ E ，使得x ˜>˜ b. 则称b是E 的上确界。
√1 x+ x2 +1
= − ln(x + = −f (x), 故f 是奇函数; (2)当x > 0时，
√
x2 + 1)
f (−x) = −x[1 + (−x)] = −x(1 − x) = −f (x), 当x < 0时， f (−x) = −x[1 − (−x)] = −x(1 + x) = −f (x), 故f 是奇函数。
−1
例1设af (x) + bf (
解：
1 x
=
c x
(x ̸= 0, a2 ̸= b2 )，求f . ( ) 1 c af (x) + bf = x x ( ) 1 af + bf (x) = cx x (a2 − b2 )f (x) = ac − bcx x
(1) × a − (2) × b得 从而 f (x) = a2
注:单调增函数、单调减函数、单调非增函数、单调非减函数统称单调函数。
周期函数：称f : D → R为周期函数，若∃T > 0，使得∀x ∈ D，都有x + T, x − T ∈ D，且f (x + T ) = f (x). (非周期函数？) 有界函数：称f : D → R为有界函数，若∃M > 0，使得∀x ∈ D，都有|f (x)| ≤ M . 记
定义（上确界）
注2 上确界定义中（ii）等价于说：若ˆ b 是E 的一个上界，则ˆ b ≥ b. 注3 若¯ b也是E 的上确界，则由注2知 ¯ ¯
b ≥ b, b ≥ b, 因此¯ b = b. 故知，集合E 的上确界如果存在，就必定唯一。记这个唯一的上确界为sup E . (supremum)
类似地可定义下确界。
上述定理涉及到实数理论，在此略去证明。
(1)若E ⊂ R，E = ̸ ∅，且E 有上界，则E 有上确界； (2)若E ⊂ R，E = ̸ ∅，且E 有下界，则E 有下确界。
例1 设E = {x ∈ R|x
2
< 2}，则sup E =
√
√ 2, inf E = − 2.
例2 设E是R中非空有界集合，证明
(1) 集合{|x1 − x2 | | x1 , x2 ∈ E }有界； (2) sup E − inf E = sup{|x1 − x2 | | x1 , x2 ∈ E }.
3
3
函数的基本概念
定义设D ⊂ R，D ̸= ∅. 若存在对应规则f ，使得∀x ∈ D，∃唯一y ∈ R满足
y = f (x), 则称f 是从D到R的一个函数，记作f : D → R， 称D(f ) =: D为函数f 的定义域(Domain); 称集合R(f ) =: {f (x)|x ∈ D}为函数f 的值域（Range）
故f 是周期函数，其周期为2(b − a).
例4 证明sin |x|是非周期函数。
解：(画图)反证法。若不然，则∃T > 0，使得 sin |x + T | = sin |x| ∀x ∈ R. 现取x =
π 2 ，有
sin 即
(π 2
) +T = 1,
cos T = 1, 故T = 2kπ ，其中k 是正整数。再取x = − π 2 ，有 sin − 即 π + 2kπ = 1, 2
n n ∑ x0 ( x0 )2 x3 ∑ 2 i = 0 i n n n3 i=1 i=1
设
n ∑ i=1
i2 = an3 + bn2 + cn + d,
其中a, b, c, d为待定常数，并令n = 1, 2, 3, 4解方程组得a = 1/3, b = 1/2, c = 1/6, d = 0. 用数学归纳法可证