概率概念的演变

数学思想史课程论文概率概念的演变

概率概念的演变

【摘要】概率概念的演变经历了频率概率、古典概率和公理化概率三个阶段，其演变过程反映了人们对概率问题认识的逐步深化，同时也是人们对研究问题范围逐步扩大的结果。对概率概念的演变进行研究，了解其发展的历史，促进对概率概念的认识，洞悉其未来的发展。

【关键词】频率概率，古典概率，公理化概率

1 问题概述

今天，概率论已成为全部科学的基石之一，拉普拉斯在其《概率论的解析理论》中写道：“很值得注意的是一门从考虑机会的游戏开始的科学将成为人类知识中最重要的东西……人生的最重要的问题中的大部分实际上只是概率论的问题”。从今天看来，拉普拉斯的确很有远见，概率已经渗透到我们生活的现实世界以及我们所研究的物理科学中，概率问题可以说是无处不在。然而，概率的概念却经历了400多年的演变，概率的概念从古典概率演变到分析概率，后又演变到了给我们现在接受的公理化概率。

对概率概念的演变的研究是很有必要的，因为正如陈省身所说“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”。

目前有关概率研究的文献多是对概率论的发展史进行阐述。关于概率论的历史研究最早可追溯到英国数学家托德亨特（Todhunter，1820-1884）于1865年发表的著作《数学概率论的历史：从帕斯卡到拉普拉斯（History of the Mathematical Theory of Probability: from Time of Pascal to that of Laplace）[1]，Iount Florescu认为概率论的研究中使用的概念直接取自于数学，事实上，测量理论和势能理论是抽象的一般化了的概率论的数学表示[2]。国内也有类似的研究，如徐传胜（2004）阐述了概率论简史，徐洪香（2001）对概率论的缘起、发展及其应用进行了研究[4]。根据已有的有关概率论发展的研究结果可知，研究者们对概率论的发展达成了共识，认为概率论的发展经历了三个阶段：经典概率论时期（1811年之前）、分析概率论时期（1812~1932年）和公理化概率论时期（1933年至今）。但这些

对概率论发展史的研究中对概率概念的演变阐述得并不是特别清楚，而仅是概率概念定义的简单描述。

已有文献中关于概率概念的研究主要分为两类：一类是对某一种概率概念的研究，如梁旭（2010）专门阐述了古典概率的发展历史[5]，徐传胜（2006）对拉普拉斯的分析概率论进行了研究[6]，张鑫（2012）概率论对概率论公理化进程的历史进行了研究[7]，李文林在其著作《数学史概论》中第11章中专门阐述了公理化概率论[8]；二是对概率论发展的三个阶段中的三种概率概念进行整体论述，如张尧庭（1988）认为概率概念争论的焦点是概率这一概念的客观基础，并且概率有客观与主观之分，但二者并不是相互独立的，而是在一定条件下相互转化的[9]，汤彬如在2009年第三届数学史与数学教育国际研讨会上提交的论文中对概率的古典定义、统计定义和公理化定义分别进行了阐述[10]。但这些文献仅是对三种定义进行孤立的阐述，并没有进行系统论述，对三种概率概念的阐述也并不全面。克莱因在《现代世界中的数学》一书中收集了艾也尔的“机会”、韦弗尔的“概率论”和卡茨的“概率论”三篇文章，这三篇文章虽然对概率概念的一些误区进行了解释，但并不能构成对概率概念的演变的完整阐述[11]。

鉴于此，本文从概率论发展的历史的角度对概率概念的演变进行系统论述，并对三种概率概念进行深度解读。

2 概率概念的演变

概率概念的演变是人们对研究的问题不断拓展、深入的结果。对概率概念的演变进行研究既可促进对概率发展过程的理解、对概率的深刻认识，也可促进对概率未来发展的展望。

概率概念的演变经历了三个阶段：频率概率阶段，古典概率阶段和公理化概率阶段。

2.1频率概率阶段（1811年之前）

这一阶段中，研究者主要用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。标志性的著作是惠更斯的《论赌博中的计算》，该书是历史上最早的概率论著作，它的出版被看作是概率论诞生的标志。

概率的研究源于赌博。在400多年前，一些赌徒问意大利科学家伽利略（Galileo），为什么一次扔三个骰子时，正上面的数的和为10的次数比和为9的

次数要多。在1654年，另一位赌徒德米尔骑士（Chevalier de Mere ）问帕斯卡（Pascal ）为什么把钱下注在扔两个骰子24次至少又一次出现双六点是没有好处的。这些问题激起了帕斯卡的兴趣，帕斯卡开始与费马通信，两人开始研究赌博中的不确定性问题。帕斯卡和费马之间的通信成为概率论基本原理的最早的记录证据。在1655年，荷兰科学家惠更斯在他去巴黎的途中了解到帕斯卡和费马之间有关概率的通信。在1657年，惠更斯回到荷兰，写了《论赌博中的计算》一书，这是关于概率的计算的第一部印刷作品，这是有关赌博问题的专著。由于游戏中的机会的具有内在吸引力，概率理论很快流行开来，概率论在18世纪迅传播开来。

在这一阶段，概率论的主要贡献者有雅可比•伯努利（Jacob Bernoulli ）和亚伯拉罕•隶莫弗（Abraham de Moivre ）。雅可比去世8年后，其著作Ars Conjectandi 在1713年出版，这是概率论发展史上具有重大意义的一部著作。

一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是伯努利，它在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对0>∀ε以及充分大的试验次数n ，有

为任意小正数）ηηε(1}|)({|-><-p n

m P 其中m 为n 次试验中时间A 出现的次数。伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式在概率概念的演变中占有重要地位。

隶莫弗在1718年出版了《机会原则：一种游戏中事件可能性的计算方法》（The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities of Events in Play ),由此，隶莫弗成为是概率论现代方法的研究的先行者。统计独立性的定义在此书中第一次出现，《机会原则》（The Doctrine of Chance )新的扩展版本分别在1718,1738和1756年出现。生日问题在1738年的版本中出现，赌徒破产问题在1756年的版本中出现。1756年的版本是隶莫弗在概率论发展史上最大的贡献，在此版本中，隶莫弗阐述了大量试验中的二项分布近似值，即“第一中心极限定理（The First Central Limit Problem )”,他接受了标准偏差的概念，同时也是第一个写出正态积分的科学家。

在他的著作Miscellanea Analytica （1730）中，隶莫弗在证明中心极限定理