山西省原平市高一数学下学期期中试题

山西省原平市2015-2016学年高一数学下学期期中试题
本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟
第I 卷（选择题）
一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
)
()2sin(53sin .1的值为，则已知απ
α+=
54D. 54C. 54B. 53A.±
--
2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b 等于( ) A ．－10 B ．－6 C ．0 D ．6
3．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为2
2，则cos 2α等于( )
A ．－12
B ．－14
C ．12
D ．3
2
4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12
5．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°ta n 28°等于( ) A ．－
22 B ．2
2
C ．－1
D ．1 6.的取值范围是则实数若m m x x ,4cos sin 3-=+( ) A 2≤m ≤4 B -6≤m ≤6 C 2≤m ≤6 D 2＜m ＜6
7．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π
2，π)，则cos2β
的值为( )
A ．1 B.2425 C ．－1 D ．－4
5
)
(,),2
,0)(sin(.8解析式为则其函数
的部分图象如下图所示函数R x x A y ∈<>+=π
ϕωϕω
)4
8sin(4 D. )48sin(4 C.
)48sin(4 B. )48sin(4 A.π
ππππ
πππ+=--=-=+-=x y x y x y x y
9．为得到函数y ＝cos(x ＋
π
3
)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π
6个长度单位
B ．向右平移π
6个长度单位
C ．向左平移5π
6个长度单位
D ．向右平移5π
6个长度单位
10．设函数f (x )＝sin(2x ＋π
3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝
π
3
对称 B ．f (x )的图象关于点(π
4
，0)对称
C ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π
6]上为增函数
D ．把f (x )的图象向左平移π
12
个单位，得到一个偶函数的图象
)
()0()3
4cos(.11的最小值为则原点对称，
个单位，所得图象关于轴平移沿把函数ϕϕϕπ
>+=x x y 2 D. 3 C. 6 B. 25
A.π
πππ
12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2
＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π 第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
.84.13则这个三角形的形状是，且，中，在=∙==∆ABC
_______
__________km 5km 35.14表示，则航行表示船自岸边向正北，用西航行表示一轮船自岸边向正用向量+
.
)4
15(),0(sin ),
02
(cos )(23)(.15=-⎪⎩⎪⎨⎧
<≤<≤-=ππππf x x x x x f R x f 则若的函数，最小正周期为，是定义域为设
16．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →；
④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →
)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,其余每道12分 ,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)（1）化简：
)
5sin()4tan()
2tan()tan()3cos()sin(απαππαπααπαπ+------
（2）已知tan α=3，计算
α
αα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值．
18.(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π
2
)．
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π
2，求φ的值．
19．(12分)已知向量a ＝(sin x ，3
2
)，b ＝(cos x ，－1)．
(1)当a ∥b 时，求2cos 2
x －sin 2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π
2，0]上的最大值．
20．(12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R ．
(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π
3
]，求x ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．
21．(12分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋
3
2
． (1)求f (x )的图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2时，求函数f (x )的值域．
22、（12分）
已知函数()2cos 10cos 222
x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．
（ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．
2015-2016学年下学期期中试题 高一数学参考答案及评分标准
二、填空题。

每小题5分，共20分。

13. 等边三角形 14.北偏西60o
航行10km 15. 2
2 16．①②④
解析 在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →
，①正确；
设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →
，②正确；
易知向量AC →和AB →在AD →上的射影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|
．∴AC →·AD →≠AD →·AB →
，
③不正确； ∵AD →＝－2EF →，
∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →) ⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →) ⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF → ⇔AF →·(AD →＋2EF →
)＝0． ∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →
＝0， ∴AF →·(AD →＋2EF →
)＝0成立． 从而④正确．
三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,其余每道12分 ,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：(1)原式=)
sin (tan tan )tan )(cos (sin ααα
ααα---- -----------------3分
=cos αtan α ----------------4分 =sin α． -------------------------5分
(2)因为tan α=3，所以 原式=
7
5
335234tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-αα ----------------------------10分
18．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， --------------------------3分
即sin θ＝2cos θ．又∵sin 2θ＋cos 2
θ＝1，
∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2
θ＝45．------------------------------5分
又θ∈(0，
π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝5
5
．-------------------------------------6
分
(2)∵5cos(θ－φ)＝ 35cos φ
∴5(cos θcos φ＋sin θsin φ)= 35cos φ，-------------------------------------- 8分
把sin θ＝255，cos θ＝5
5
带入上式得5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，
∴cos φ＝sin φ．--------------------------------------------------------------------10分
又∵cos 2φ+sin 2φ＝1 ∴cos 2
φ＝12
．
又∵0<φ<π2，∴cos φ＝2
2
4π
ϕ=
∴ ---------------------------------------------------------12
分
19．解 (1)∵a ∥b ，∴3
2
cos x ＋sin x ＝0，----------------------------------3分
∴tan x ＝－3
2， ---------------------------------------------------------------4
分
2cos 2
x －sin 2x ＝2cos 2
x －2sin x cos x sin x ＋cos x ＝2－2tan x 1＋tan x ＝20
13
．------------------6分 (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π
4
)．-------------------------------------------9分 ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，
∴－1≤sin(2x ＋π4)≤2
2
，------------------------------------------------------11分
∴－22≤f (x )≤12
， ∴
当
x=0时f (x )max ＝
1
2
．---------------------------------------------------------------------12分 20．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2
x ＋3sin 2x
＝
1
＋
cos
2x
＋
3
sin
2x
＝
2sin(2x
＋π6)
＋
1．----------------------------------------------3分
由2sin(2x ＋π
6
)＋1＝1－3得
sin(2x ＋π6
)
＝－
3
2
．-------------------------------------4分 ∵－π3≤x ≤π3，∴－π
2
≤2x
＋
π
6
≤
5π6，
------------------------------------------------------5分
∴2x ＋π6＝－π
3
，
即x ＝
－
π
4
．----------------------------------------------------------------6分 (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π(k ∈Z )，
即－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π(k ∈Z )
得函数单调增区间为[－π3＋k π，π
6
＋
k π](k ∈
Z )．
----------------------------------12分
21
．
解
(1)f (x )
＝
sin
x cos x －3cos 2
x
＋
3
2
------------------------------------------------2分
＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32
＝
1
2
sin
2x
－
32
cos
2x
＝
sin(2x
－
π
3
)．------------------------------------------------------------4分 令sin(2x －π3)＝0，得2x －π
3
＝k π，
∴x ＝k π2＋π
6
，k
∈
Z ．----------------------------------------------------------------------------5分
故所求对称中心的坐标为(k π2＋π
6
，0)，(k
∈Z )．-------------------------------------------6分
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π
3
≤2x －
π3
≤2π
3．----------------------------------------------------------8分
∴
－
32≤sin(2x －π
3
)≤1
，
------------------------------------------------------------------------11分
即f (x )的值域为[－
3
2
，
1]．--------------------------------------------------------------------12分
22、解：（I ）因为()2cos 10cos 222
x x x
f x =+
5cos 5x x =++
10sin 56x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．------------------------------------------------------------3分 所
以
函
数
()
f x 的最小正周期
2πT =．----------------------------------------------------------------4分
（II ）（i ）将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．---------------------------6分 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a = -------------------------7分 所
以
()1
g x =-．------------------------------------------------------------------------------------8分
（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04
sin 5
x >
．-----------------------------9分
由
452
<
知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4
sin 5
x >． 因为sin y x =的周期为2π，
所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5
x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213
k k π
ππαπαπα+--+=->
>，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5
k x >
． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >--------------------------------12分。