《反函数的概念及求法》学案

ξ2.4.1《反函数的概念及求法》学案

【学习要求】：理解反函数的概念，会求简单函数的反函数，掌握互为反函数的三要素的

之间的关系。

【重点难点】：重点为反函数的求法；难点为反函数概念的理解。 【互动课堂】：

一、反函数的概念：

1．定义：一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用

表示出，得到 。 若对于y 在C 中的任何一个值，通过 ，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ(y )就表示 ，这样的函数x =ϕ(y )

(C y ∈)，叫做函数

))((A x x f y ∈=的反函数，记作 .

习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调)(1y f x -= 中字母x ，y ，把它改写成 。 2． 理解：

（1）反函数是函数吗？为什么？

（2）所有的函数都有反函数吗？什么样的两个函数才是反函数？ （3）)(1x f y -=的反函数是谁？注意符号)(1

x f

-含义及读法？

（4）函数本质上是映射。那么在映射观点下，反函数是什么？ 从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1

x f y -=是集合 到集合 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x f y -=的 ；函数)(x f y =的值域是它的反函数)(1x f y -=的 . （如右表）： （5）反函数定义给出了反函数的求法。

二、求反函数： 1． 例题精讲：

例1.求下列函数的反函数①②略

③)0(1≥+=

x x y ④)1,(1

32≠∈-+=

x R x x x y 且. 解： 解：

总结归纳：求反函数的步骤： （1）

（2） （3）

例2．求函数⎩⎨⎧〈≤-〈≤-=）

（）

（）（011012

2x x x x x f 的反函数。 解：

总结归纳：求分段函数的反函数应： .

例3．已知函数f （x ）=x 2-1 （x ≤-2），求f -1

（4）的值。 解：

思考：若函数y=f （x ）存在反函数，且f （a ）=b ，则f -1

（b ）=？

三．课堂练习： （A ）

1．函数y=-x 2

+1（x ≤0）的反函数是（ )

A ．）（11-≥+-=x x y B. ）（11≤--=x x y

C. ）（）（11-≤+-=x x y

D. ）（11-≥+±=x x y

2.如下图表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）

A B C D

3．函数f （x ）=x 2

（x ≥0）的反函数为 .

4．函数y=3

5

5-≠∈+x R x x x ，（）的反函数是 .

（B ）

1．若函数）（22≥--=x x y ，则它的反函数是（ ）

A ．y=x 2+2 （x ∈R ） B. y=x 2+2 （x>0） C. y=x 2+2 （x≤0） D. y= -x 2+2 （x≤0） 2．设函数f （x ）=

）

，（43

3412-≠∈++x R x x x ，则f -1（2）=（ ） A ．65- B. 115 C. 52 D.5

2

-

3.已知函数y=f （x ）有反函数y=f -1（x ），则=-][1

）（m f f . 4．已知函数5+=x x f ）

（.

（1）求反函数）（x f 1

- ；（2）试研究该函数与反函数的单调性。

【研究性课题】：《哪些函数的反函数还是它本身？》

参考书目：（1）课本P62-63页“互为反函数的函数图象间的关系”;

(2)《反函数教学的研究性设计》—《数学教学》2002年第1期。等

【拓展视野】——『数学阅读材料』