结构力学 静定桁架的内力计算

解：
图(a)，桁架中的零杆如图(a)右虚 线所示。然后可分别由结点D、C计 算余
D
C
D
C
(a)
图(b)，桁架中的零杆如图(b)右 虚线所示。然后求支座反力，再 依次取结点计算余下各杆轴力。 次序可为：A、D、C或 B、C、D， 或分别A、B再D或再C。
C FP
2FP C FP
2FP
(b)
例6-2-3 分析图(a)所示静定桁架，
(e)
FNGD LLXGG DD FXGD
5 2 FP
结点C：见图(h)
2 FP FP
FNCD
2 FP FP
(h)
FY 0
FNCD FP
结点D：见图(i)
FP 2
FP
3FP
FP 2
FP
3FP
(i)
❖该结点上的各杆轴力已有前各 步计算得出，在此用于校核。
用图( j)表示桁架内力计算的最终结 果。
F NEG A
FP
B F Xa
H
F Ya
(d)
❖ 方法2：
取截面II—II下为隔离体，见图(e)
F NEC E
F NEG
A
F NHB F Xa
F NHK H
B
FP
F Ya
(e)
该隔离体上有5根被截断的杆件，但 有4根是交于一点A的，因此利用以 铰A为矩心的力矩方程，可直接求出 杆a的轴力。
将杆a轴力在B点分解，由 MA 0
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工程管理系
第六章 静定桁架的内力分析
§6.1 概述
1、桁架的各部分名称
上弦杆
斜腹杆
竖腹杆
下弦杆 节间长度
桁高
跨度
理想桁架的假定：
❖ 桁架中所有的结点均为理想铰，即 光滑无摩擦铰接；
❖ 桁架中所有杆的杆轴绝对平直，且 通过其两端铰的中心；
❖ 荷载和支座均在铰结点上，即桁架上 所有外力为结点力。
FBy=2FP
解：
对于简单桁架，可以用结点法求出全 部杆件的轴力。
要点
按拆二元体的顺序，依次取结点 （每次截断两根未计算的杆件）为 隔离体，可不解联立方程。
对本例，用结点法计算如下：
结点A： 见图(c)
FNAG
F Ax= 0
FNAE
F Ay= 2F P
(c)
sin 1
5
cos 2
5
FY 0
C
B
G
H
D
E
3m 2m 2m 3m
(a)
解：
❖计算支座反力 见图(b)
q=10kNm I
A FAx=0
C
B
G
H
FAy=37.5kN D
I
E FBy=12.5kN
(b)
❖ 取截面I—I右侧，计算杆DE的轴力 和铰C处的约束力，见图(e)。
FCy=-12.5kN
C
B
FCx=-41.67kN H
FNED=41.67kN E
FP
d
d
d
d
(a)
解： ❖由上部结构的整体平衡条件，求的 支座反力如图(b)所示。
I
F A x= F P
F Ay= F P/2 I
(b)
F By= F P/2
❖取截面I—I右，可求该截面上的单 杆AK的轴力（当不利用结构的对称 性时，这一步是解题的关键）。计算 如下：
FY 0
FN
KA
2FP 22
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
(c)
(d)
❖内力分析和解题路径：
图(c)：
在正对称荷载下，桁架应具有正对 称的内力分布，即在桁架的对称轴 两侧的对称位置上的杆件，应有大 小相等、性质相同（拉或压相同） 的轴力。
考查结点K，见图(e)
(e)
结点上两斜杆的轴力应满足大小相等、 性质相反（一拉一压）。这是K形结点 (根据结点的形状，又叫K形结点)上两 斜杆在其结点上无结点荷载情况下的典 型内力特点。与前面特点矛盾，故KD、 KF为零杆。
FN FX FY L LX LY
(简称：力与杆长比例式)
规定: 桁架杆轴力以受拉为正。
§6.2 桁架内力计算的结点法
1、结点法：
每次取一个结点为隔离体，利用结 点平衡条件，求解杆轴力的方法。
例6-2-1
用结点法计算图(a)所示静定桁架。
C K
A
E
D
4b
(a)
b FAx=0
FAy=2FP
(b)
MD 0
F XG C b 1(F Pb3F 2P2b) 2F P
FYGCLLYXG GC CFXGCFP
(f )
FNGC LLX GG CC FXGC 5FP
MC 0
F XG b 1 D ( F P b 3 F P b 3 F 2 P 2 b ) F P
FYGD L LY XG GD D FXGD 12FP
(a)
FNAsGi n2FPF2P
0
FNAG
3 5 2
FP
FX 0
(b)
F NA E F NA cG o s0 FNAE3FP
利用比例式(6-1-1)时，结点A的受 力图见图(d)，
F Ax= 0
F YAG F XAG F NAE
F Ay= 2 F P
(d)
将斜杆中的待求轴力FNAG用X、Y方 向的两个分力FXAG、FYAG代替，计算 如下：
❖ 作弯矩图
见图(f )，圆括号内的数值为轴力，单位：
kN；弯矩单位：kN·m。
25
A (41.67) G C
B
10 (-20.83)H(46.59)
13.75 D (41.67) E
(f )
例6-3-1 试对图(a)所示桁架，1)分
析并确定求解整个桁架内力的路径；2)
寻找只计算杆a轴力时的简捷方法，并
求出杆a轴力
D
C
E
3d
G
A
KHB
FP FP
3d
(a)
解：
❖求整个桁架内力的一般步骤是， 先求出支座反力，见图(b)
I
D
C
E
a G
A
KHB
FP FP FP
FP
I II II
(b)
利用截面I—I截开两简单桁架的连接 处，取截面任一侧为隔离体，见图(c)
3
5 2
FP
F NGC F NGD
(f )
当两个待求轴力杆都为斜杆时，若要 不使结点的两个平衡方程耦联只要
将直角坐标的一个坐标轴与其中的 一个杆轴重合，先建立另一个坐标 轴的投影方程即可。
FY 0
F NG sD i2n F Pco s 0
FNGD
5 2
FP
(e)
FX 0
F NG 3 C 2 5F PF NG cD o 2 sF Psin 0
FYa31 d(FP2d)3 2FP
FNa lL YaaFYa25(3 2FP)35FP
截面法的特殊情况
截面法单杆分两种情况，即在截面 上截断的全部杆件中，
1) 除了一根单杆外，其它杆全部交于 一点；
2) 除了一根单杆外，其它杆杆轴均相 互平行。见图6-3-2所示
(a)
(b)
图6-32
例6-3-2
FNa
2 2 FP
(a)
§6.4 组合结构的内力分析
❖既有梁式杆又有桁架杆的结构称作 组合结构。见图6-4-1所示。
图6-4-1
组合结构内力计算的一般途径是： 先计算桁架杆，再计算梁式杆。
例6-4-1
计算图(a)所示组合结构，求出二力 杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。
1.5m
q=10kNm
A
理想桁架中的所有杆均是二力杆
理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主 内力，相应的应力叫主应力。而由于与 理想假定偏差而产生的附加内力叫次内 力，相应的应力叫次应力。
2、桁架的分类 1)根据桁架的几何组成分类：
❖简单桁架： 见图3.5.1 ❖联合桁架： ❖复杂桁架：
(a)联合桁架
(b)复杂桁架
2)根据桁架外形的几何形状分为：
在桁架的内力计算中，利用单杆的概 念，先确定出单杆的内力，不仅简捷 计算过程，有时是解题的关键路径。
结点单杆的情况：
(a)
(b)
图6-2-1
当结点上无荷载作用时，结点上 单杆轴力等于零，称为零杆。
例6-2-2
先判断图(a)、(b)两图所示桁架中的零 杆，然后再说明用结点法计算余下各 杆轴力的次序。
2b
F Ay= 2 F P
(b)
参照图(b)计算如下：
见图(b),未知杆力在隔离体上的一 般表示。
MD 0
F NG 1 h C(F P bF 2 P2 b2 F P2 b )
由几何关系得：h 2 b 代入上式，
5
FNGC 5FP
MG 0
FNE Db 2(2FPF 2P)b3FP
FY 0
(F NG F D NG )sC in F PF 2 P2 F P0
FNGC 5FP
(f )
见图(g) 结点的两个平衡方程有时 可以写成力矩的形式。
F YGC
3FP
3FP 2
(g)
F XGC F XGD
F YGD
将力系中的某力沿其作用线上滑移到任 一点分解，不影响原力系的平衡状态。
据此，将三根斜杆的轴力，均在各杆 相对G点的另一端点处分解。由于此 时两个竖向未知力分量在一条竖直线 上，可由C、D两点分别为矩心的力矩 方程求出两个水平未知力分量。计算 如下：
三角形桁架、平行弦桁架、梯形桁架、 折线形桁架、抛物线形桁架等。
3)根据桁架支座反力的特点分为：
梁式桁架、拱式桁架（有推力横加）。
3、内力计算方法：
❖ 静定桁架的内力计算基本方法分 为：
结点法
截面法
实际应用一般是这两种基本方法的灵活 选择、联合应用。
❖ 在同一坐标中，桁架杆的轴力及投 影与杆长及投影有比例关系如下：见 下图。
5 FNGD 2 FP
见图(c)有时利用未知杆力在隔离体
上的分力表示，可避免求斜杆力臂
的麻烦。
F YGC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F XGC
F Ax= 0
b
F NED
F XGD
2b
F Ay= 2 F P
F YGD
(c)
对于联合桁架，若要求计算出全 部杆的轴力，用截面法求简单桁 架之间的约束力，是必经之路， 也是关键步骤。
FY 0
FYAG2FP
FP 2
0
FYAG
3FP 2
由比例关系，得：
FNAG LLYAAGG FYAG 325FP
(a)
FX 0
(b)
FNA EFXA G0 F NA EFXA G 3F P
结点E：见图(e)
F NEG
3FP
F NED
FY 0
FX 0
(e)
FNEG0
(c)
FNED3FP (d)
结点G：见图(f)
12.5kN
(e)
MC
0
1 FNE D1.5(1.2 55)4.1 6k7N
❖ 求余下二力杆中的轴力 取结点E，计算结果见图(c)
FNEH=-20.83kN FYED=20.83kN
41.67kN E FXED=41.67kN
(c)
其中斜杆EB（AD）的轴力： FNE BL L Y EEBF BYE B 152.8 0 34.5 6k8N
图(d)：
在反对称荷载下，桁架应具有反对称 的内力分布，即在桁架的对称轴两侧 的对称位置上的杆件，应有大小相等、 性质相反的轴力。
考查结点E：见图(f) EJ为零杆，继而JA、 JB为零杆。
(f )
§6.3 桁架内力计算的截面法
➢截面法：用一个假想的截面，将桁架 截成两部分，取其任一部分为隔离体 ，建立该隔离体的平衡方程，求解杆 轴力的方法。
截面法所截开的杆件中，轴力未知的 杆件一般不应超过三根，这样可不解 联立方程
仍以上一节例6-2-1为例，见图6-3-1。
I
FAx=0
FAy=2FP I
(a)
FBy=2FP
用截面I—I截开桁架第二节间的三根 杆，取左侧部分为隔离体。然后，分 别截断
F NGC
F Ax= 0
hb
F NGD F NED
C
5FP
325FP
0
5 2 FP
FP
K
A 3FP E 3FP D
( j)
2、结点法的特殊情况
单杆概念
在桁架计算所取的隔离体（结点法 中的结点，或截面法中的桁架的一 部分）所截断的杆件中，若有一根 杆件的位置或方向独立于其它杆件， 使该杆的轴力可由该隔离体独立确 定，则这个杆件就叫做该隔离体的 单杆。
20 2
F FP NKA 2
❖依次取结点，计算指定杆轴力：
结点A： 图(d)
F NAD F NAJ
F A x= F P
F P/2
F Ay= F P/2
(d)
FY 0
FNAJ
2 FP 22
0
FNAJ
2 2 FP
结点J: 图(e)
2
2 F P (e)
F Na
利用该结点的对称性，且由水平方 向的投影方程得：
D
F NDC
F NGE
G
A
K
F NKH
FP FP
(c)
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面
截断的三根杆的轴力后，即可依次按
结点法求出所有杆的轴力。
❖ 方法1：
见图(d) ，由结点H的结点单杆 EH上的轴力，再由结点E（当 杆EH轴力已知时，杆a既是结 点E上的结点单杆）可求出杆a 的轴力。
F NEC E
试找出用结点法计算时的简单途径。
解：见图(a)所示桁架
FP
(a)
上部结构是对称的，只有一个水平支 座约束不对称，是该桁架的两个特点。 一般可利用对称性简化计算过程。
思路和做法如下:
❖由结构整体在水平方向上的平衡 条件，可确定出水平支座反力，见 图(b)。
FP
FP
(b)
❖根据叠加原理，可将图(b)示出的已 知外力分解成正对称和反对称两组外 力后，分别作用在结构上，见图(c)、 (d)所示。