第一章 有限元法基本原理

1.9
l
B 为几何矩阵。
杆单元的物理方程为：
或：
x E x
D
D 为弹性矩阵 。
将式（1.8）代入上式，得：
DB e S e
1.10
S DB
1.11
S 为应力矩阵 。
对于杆单元：
S DB E 11 1 E 1 1
有限元法的基本解题思路：
将连续求解区域离散一组有限个且按一定方 式相互联结在一起的单元的组合体，利用在每一个 单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待 求的未知场函数。单元内的近似函数由插值函数表 达，未知场函数及其导数在各个结点上的数值就成 为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题 变成离散的有限自由度问题，插值求整个解。
兹法； ❖ 共同点：在整个求解域上假设近似函数。
有限元的发展简史
有限元方法的提出
现代有限元
1943年， Courant 应用定义在三角形 区域上的分片连续 函数和最小位能原 理相结合，求解 St.Venant 特殊 问题。
1956年， Turner, Clough,刚架 位移法推广应 用于弹性力学 问题，分析飞 机结构。
与（1.16）式对比，得：
Ke BT DBdV
称为单元的刚度矩阵，简称单刚。
§1.6 整体刚度矩阵的集成
整体结构→离散→有限个单元→单元分析 →单元特性集合
台阶轴：
a
P1
b
P1u1
①
1
P3
u2 ②
P3u3
23
c
P1u1
1
①
P2u2
P2u2 2 ②
P3u3
23
❖ 节点2：外力为0，节点力 P21 P22 0 ；
❖ 节点3：外力 P3 ，节点力 P32 。
列出各节点的力的平衡方程式：
在节点1处：P1

P11

K111u11

K112u
1
2

K111u1

K112u 2
在节点2处：0 P21 P22
ui a1 u j a1 a2l
矩阵形式为：
e

ui
u
j


1 1
0
l

aa12


ca
式中：
e 为单元的节点位移
ui
u。j

则：
e ca
1.3
c 为变换矩阵 。
a c1 e
有限元法假定的近似函数不是在全求解域而 是在单元上规定的，而且事先不要求满足任 何边界条件，可以处理很复杂的连续介质问 题。
四十多年来，弹性力学平面问题扩展到空间 问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳 定问题，动力问题和波动问题。分析对象从 弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复 合材料，从固体力学扩展到流体力学，传热 学等连续介质力学领域。
单元：节点力为 ，内力为 ，节点虚位移 ，
单元虚位移 ，F单e 元虚应变 。
f *e
*e
*e
单元的外力虚功：
V * e T F e
单元的虚应变能：
U *e T dV
V
虚功原理 ：
V U
B e 将 DB e
1.16
—为单元 e 的节点力向量 ；
e e

ui u j

—为单元
的节点位移向量。
K
e

Kii K ji
K ij K jj


EA 1 l 1
1
1

1.17
—为单元 e 的刚度矩阵。
刚度系数：单位节点位移分量所引起的节点力分量。

K
2
32
u22


K 332 u32
台阶轴在外力 P1 和 P3 的作用下发生变形时，在节点处
的变形必须是连续的，即：u
1
2

u
2
2
。
三个节点的位移：
u1
u11 ， u2

u
1
2

u
2
2
，
u3

u
2
3

台阶轴处于平衡状态，各个节点的力是平衡的。
❖ 节点1：外力 P1 ，节点力 P11 ；
位移函数→几何方程（→应变）→物理方程（→应力） 杆单元的几何方程为：
x

du dx
x
d Ne
dx

d dx
1
x l

d dx

x l
e

11
l
1 e
简化为： B e
1.8
B 11 1
代入上式，得：
*e T Fe * e T BT DBdV e
* e T Fe BT DBdV e 0
由虚位移的任意性：
Fe BT DBdVe 0
* j
，v
* j
，w*j
；
由虚位移产生的虚应变：

x*，
*y，
z*，
x*y，
* yz
，
* zx
。
发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功是：
Uiui*
Vivi*
Wi wi*

U
j
u
* j
V j v*j
W j w*j

*
T
F
应力在虚应变上的虚功是：


K 211u11

K
212u
1
2

K
222u
2
2


K 223u32
K 211u11
K
1
22

K
2
22

u
2
2


K 223u32
K 211u1
K
1
22

K
2
22

u2
K 223u3
在节点3处：P3
V
1.12
称为弹性体的虚功方程。
§1.5 单元刚度矩阵
假设杆单元L： ui Ui
l
其中：A, E , l 为参数。
u j U j
杆单元应力-应变关系为：
则：
U j E E u j ui
A
l
EA
U j l u j ui
由力的平衡条件： U i U j 0
参考书目：
❖ 《有限元法及其在锻压工程中的应用》吕丽萍主编， 西北工业大学出版社
❖ 《弹性和塑性力学中的有限单元法》丁皓江等主编， 机械工业出版社
❖ 《有限元分析的基本方法及工程应用》周昌玉、贺 小华 编著，化学工业出版社
§1.2 位移函数与形状函数
1、坐标系
以杆单元为例：
ui U i
Y
vi Vi
农业机械有限元软件方法
吉林大学生物与农业工程学院 韩志武
第一章 有限元法基本原理
§1.1有限元法方法及其历史
§1.1 有限元法简介及其历史
❖ 精确解：少数方程性质简单，形状规则； ❖ 复杂问题解：简化假设+数值解法 ❖ 有限差分法：网格，用差分方程近似微分方程→流体应用； ❖ 其他方法：配点法、最小二乘法、Galerkin法、力矩法、里
则：
Ui

EA l
uj
ui
1.13
1.14
（1.13）和（1.14）用矩阵表示：
U i U j


EA 1 l 1
1 ui 1 u j


Kii

K
ji
Kij ui
K
jj

u
j

1.15
即： Fe K e e
将式（1.4）代入式（1.2）得：
ux QC1 e
由式（1.6）
f ux N e
则：
N QC1
1.7
位移函数或形状函数的选择是有限元分 析的关键，位移函数选择的优劣，会直接影 响到解的收敛性及解的精确度。
§1.3 单元应力和应变
X
j
❖ 内位移：杆单元在节点力的作用下所产生的 位移称为内位移。
❖ 位移函数：描绘内位移的函数。
材料力学：仅受轴向力作用的杆，其中各点的位移是 沿杆的轴线按线性规律变化，即：
ux a1 a2 x
1.1
为杆单元位移函数。
其中：a1，a2——待定常数，由 i ，j节点的位移确定。
用矩阵表示为 ：
x
* x


y
* y


z
* z


xy
* xy


yz
* yz


zx
* zx

*
T

整个物体的虚应变能是：
*T dxdydz
虚功原理：如果在虚位移发生之前，物体处于 平衡状态，那么在虚位移发生时，外力所做 的虚功等于物体的虚应变能。即：
* T F *T dxdydz
a 台阶轴 b 离散化模型 c 单元模型
则单元（1）的刚度方程，考虑（1.15）式：
PP1211


KK121111
K112
K
1
22

uu1211

P11

K111u11

K112u
1
2
P21
1960年， Clough处理 平面弹性问题， 第一次提出“ 有限单元法”。
1963—1964, Besseling, Melosh,Jones 证明有限元法是 基于变分原理 的里兹法， 确认了有限元 法是处理连续 介质问题的 一种普遍方法。
变分法建立 有限元方程 与经典里兹 法的主要 区别
有限元法 的应用
ux
ui

uj
ui l
x

1
x l
u
i

x l
u
j
设：N i
1
x l
，
Nj

x l
代入上式，得：
ux Niui N ju j
1.6a
矩阵形式：
ux Ni
Nj
ui
u
j

1.6b
即：
f N e
1.4
式中：
c1

1 1
01
百度文库
l


1

1
l
0
1 l
则：
aa12


1

1
l
0
1 l
ui u j


u
j
ui l
ui

1.5
a1 ui
a2

uj
ui j
代入 1.1 式：
1.6c
为形状函数矩阵。
N
由式 可知：当
1.6当a
，
时，
， ui 1 时u，j 0
ui 0 u j 1
；
ux
。

Ni
ux N j
形状函数的力学含义：当单元的一个节点位移为单 位值，其他节点的位移为零时，单元内位移的分布规律。
数学意义：如果说结构被有限个自然节点离散化为有 限个单元的集合，实现了结构模型的离散化，那么 形状函数则完成了数学模型。
f ux 1
xaa12


Qa
1.2
式中：1和 x 为基底函数，Q 为基底函数矩阵。a1，a2 为
单元的广义位移，a为广义位移列阵。
由单元的边界条件，确定广义位移：
x 0，u0 ui ; x l , u l uj 。
代入 1.1 式：
外力用 F 表示；内力用 表示。
F Ui Vi Wi U j V j Wj T
x
y
z
xy
yz
T zx
设物体在外力F 和内力 以及边界固定点A、
B、C处支反力作用下处于平衡状态。
假设物体发生了虚位移：
u
i*，v
i*，wi*，u

K 211u11

K
212u
1
2
单元（2）的刚度方程：
PP3222




K K
2
22
2
32
K K
2
23
2
33

uu3222

P22 K 222u22 K 223u32
P32
i
v j V j
u j U j
j
X
wi Wi
w j W j
Z
i j ui
vi
wi
u
和
j
vj
w j是
两点沿方向的位移分量。
i j U i Vi Wi 和U j V j W 是j
两点沿方向的节点力分量。
※统一规定：和坐标轴正向一致的为正。
l
ui (U i )
i
u j (U j )
l
l
D 为弹性矩阵，对于杆单元 D E ，是
1X1 阶矩阵。
（1.8）、（1.10）是两个常数公式。
§1.4 虚功原理
设有一受外力作用的物体，如下图所示：
Y
A
Vi
i Wi
Ui
Vj
Wj j U j
B
O
Z
C
X
i 节点外力：U i ，Vi 和 Wi ；
j 节点外力：U j ，V j 和 W j 。