岩石的脆性破裂

dU =0 dc
Griffith 分析了在均匀张应力作用下杆的受力情况。 若长度为 y 、弹性模量为E 的单位横截面积杆受到的应 力为σ，则其应变能：
Ue = ∫
y
0
1 yσ 2 σε dy = 2 2E
如果杆内含有长度为2c的裂纹，可以证明（参见尹 祥础，1985）应变能将增加 πc 2σ 2 / E ，因此，
为了将应力强度因子和Griffth的能量平衡理论联系起 来，定义“能量释放率” 或“裂纹扩展力” 如下：
d (−W + U e ) G=− dc
G 与 K 可以通过下式联系(Lawn and Wilshaw, 1975, pp56)
G = K2 / E
G = K 2 (1 − v 2 ) / E
这里，v 是泊松比。
§2.1.2 Griffith 理论 现代强度理论认为：真实材料内部有缺陷，这些缺陷导致材料 内部的应力集中，使得材料的实际强度比理论强度低得多 。
σ∞
σ∞
考虑左图 含孔薄板受 到均匀张应 力的作用， 孔边的应力 分布。
σ∞
σ∞
在均匀张应力作用下，圆孔（左）和椭圆孔（右）周围的应力集中
根据弹性理论，在圆孔的顶部和底部存在量值为 − σ ∞ 的压应 力；在左右两侧存在量值为 3σ ∞ 的张应力。孔边上的应力远大于 远处的应力，发生了应力集中。对于椭圆孔（设其半长轴为 b和 c），在其端部应力为：
III型裂纹。裂纹强度因子取决于裂纹的几何形状和外载大小。对普通 几何形状的应力强度因子可以从 Tada et al. (1973) 查到。 f ij (θ ) 和 f i (θ ) 函数可由Lawn and Wilshaw (1975) 查到，其曲线如下一张PPT所示。
用直角坐标和极坐标表示的三类裂纹尖端附近的应力函数 （据Lawn and Wilshaw, 1975）
根据位移场，可以将裂纹分为如下三种类型：
I 型：张型或开型，裂纹壁垂直于裂纹张开； II 型：平面内剪切型，位移位于裂纹平面内，方向于裂纹边缘 垂直； III 型：反平面剪切，位移限于裂纹平面内，方向平行于裂纹 边缘。
假设所研究的是完全尖锐的平面裂纹，裂纹壁间没有内聚 力，则近场的裂纹尖端应力场和位移场可以近似表达为：
第二章 岩石的脆性破裂
岩石的脆性破裂是岩石形变的主要机制之一。
§2.1 理论概念
§2.1.1 历史回顾 岩石是一种重要的工程材料，它的强度是被最先详尽研究的课 题之一； 19世纪末，在科学的基础上，岩石断裂的宏观现象学得到广泛 研究。开展了各种不同条件的实验研究，围压条件已能达到中等 围压的水平。建立了岩石破裂的库仑准则，创立了莫尔圆分析方 法。
Ue =
σ 2 ( y + 2πc 2 )
2E
含有裂纹的杆的有效弹性模量为 E = yE /( y + 2πc 2 ) ，形成裂 纹所作的功为：
W = σy (σ / E − σ / E ) = 2πσ 2 c 2 / E
表面能的变化为：
U s = 4cγ
因此， U = (−W + U e ) + U s
σ = σ t sin[
原子力非简谐模型示意图
2π (r − a )
λ
]
将晶面分离λ/2 所作的功是比表面能（specific surface energy） γ, 即断开单位面积的原子键所需要的能量，
2γ = ∫
λ / 2+ a
a
σ dr = ∫
λ / 2+ a
a
σ t sin[
2π (r − a )
λσ t = π
λ
] dr
对小位移情形，当 r ≈ a 时，有
d (r − a) dσ = Edε = E a
(E, 杨氏模量)
2π (r − a ) dσ E 2π = = σ t cos[ ] λ d (r − a) a λ
因为，( r − a ) / λ << 1, cos[2π ( r − a ) / λ ] → 1
Obrioemoff 的云母解理实验过程中的能量分配
Obriemoff 的系统可以被看作无限刚性的，裂纹的扩展 是可控的和稳定的；而Griffith系统是零刚度的，裂纹是不稳 定的。实际的系统是有限刚度的，必须通过平衡加载系统所 作的功和裂纹扩展所吸收的能量来计算裂纹的稳定性。 实验中， Obriemoff 发现裂纹并非马上达到平衡位置， 而是在楔入的瞬间向前跃迁扩展，然后才逐渐蠕变扩展到其 最后位置。但当实验在真空下进行时，这种效应消失。此 外，他还发现真空中测出的表面能大约时大气环境下的10 倍。 Obriemoff 最先发现化学环境对脆性固体具有重要的弱 化效应以及由此导致的“亚临界裂纹扩展”现象。
当上式成立时，裂纹的扩展条件便得到满足。因此， “临界应力强度因子” Kc 和 Gc 能通过应力分析而与外载 应力相联系，从而建立普遍破裂准则，他们是描述材料 破裂性质的两各物质参数。 Kc 有的时候被称作“断裂
σ ij = K n (2πr ) −1/ 2 f ij (θ )
U i = ( K n / 2 E )(r / 2π )1/ 2 f i (θ )
θ 这里 r 是到裂纹尖端的距离， 是裂纹面到研究点间的夹角，如上图示。 K n 是应力强度因子，取决于裂纹的类型。 K1 , K 2 , K 3 分别对应于I, II,
Griffith (1920, 1924) 以裂纹扩展时能量平衡的方式在更加 基础的水平上研究了这一问题。 右图为Griffith 的研究系统： 一弹性体，内含有长度为2c裂 纹，外部边界上受到外载荷的作 用。 若裂纹扩展 δ c ，外力将做 功W，弹性体内应变能的变化为 Ue，还有一部分能量Us消耗在新 表面的形成上。因此，静态裂纹 中系统的总能量U为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
现代脆性断裂理论起源于用原子理论来解释材料强度的出现的 困难。一般认为，强度是在给定条件下材料所能承受的最大应 力。断裂（或流动）必须包含原子键的破裂。故固体的理论强度 应是断开跨晶面上原子键所需要的应力。 考虑左图所示的固体内原子 力的 非简谐简化模型：外加张 应力σ使原子间距偏离其平衡位 置 a。 由于我们只需要考虑峰前范 围，可用一正弦波曲线来近似应 力-位移关系：
σ ≈ σ ∞ (1 + 2c / b)
2 端部处的曲率半径为 ρ = b / c
σ ≈ σ ∞ [1 + 2(c / ρ )1/ 2 ]
若 c >> b
σ ≈ 2σ ∞ (c / ρ )1/ 2
由此可以看出，对于狭长的裂纹，即便 σ ∞ << σ t ，该点的应 力也可以很快达到理论强度。而且，应力集中随裂纹的而增 加，裂纹扩展会引起动态失稳。
Obrioemoff 的云母解理实验装置
此时， 外力作功 W = 0 根据简支梁理论，在挠曲的云母片中，应变能为：
U e = Ed 3 h 2 / 8c 3
U s = 2 cγ
}
dU / dc = 0
c = (3Ed 3 h 2 / 16γ )1/ 4
此系统中包含的能量如下图所示。此种情况下裂纹 处于一种稳定平衡状态，即楔子前进多远，裂纹便前进 多远。这表明稳定性是受系统响应控制而不只是受材料 性质控制。
σ f = (2 Eγ / π c)1/ 2 Griffith 公式中各能量项如下图所示，可见
定义了一非稳定的平衡位置。一旦条件满足，裂纹将无 限传播，导致弹性体的宏观失稳。这样，恒定应力的边 界条件暗含着非稳定性。
杆内裂纹扩展的Griffith 模型的能量构成
Obriemoff (1930) 用实验作出了稳定裂纹的结构。如下图所 示：将一楔子打入云母的解理中，测量其解理强度。此实验 的边界条件是位移为恒定值（由于楔子被认为是刚性的，所 以挠曲力 F 没有引起位移）。
Eγ 1 / 2 ) a
σ ≈ 2σ ∞ (c / ρ )1/ 2 ，设宏观的外加载荷应 对裂纹，已知 力为 σ f ，则
σ t = 2σ f (c / a)1/ 2
σt = (
Eγ 1/ 2 ) a
σ f = ( Eγ / 4c)1/ 2
Eγ 1 / 2 比较 σ f = ( ) 与 4c
σ f = (2 Eγ / π c)1/ 2
Orowan (1949) 问题：如果Griffith 条件得到满足，那 么，在裂纹尖端是否达到了理论强度（应力是否真高到足以 打破键力）? 由原子力的非简谐简化模型，得 Eλ σt = 2πa
2γ = ∫ =
λ/2
0
σ t sin[
2π (r − a )
λσ t π
λ
]d (r − a )
σt = (
λ /2
0
σ dr = ∫
λ /2
0
σ t sin[
2π ( r − a )
λσ t π
λ
]d ( r − a )
E σt ≈ 2π
γ≈
Ea 4π 2
根据 γ ≈
Ea 2 ，得到的理论强度值是5-10GPa, 比实测值大好几 4π
个数量级。这一差值被认为是材料中含有缺陷所致。有两类重 要的缺陷：裂纹和位错。前者是面状缺陷，后者是线状缺陷。 在外力作用下两类缺陷都会扩展并引起材料屈服。由于两种机 制都只要求材料在缺陷所致的应力集中处局部达到理论强度， 导致了材料屈服强度比理论强度低得多。 注： 1. 裂纹和位错宏观性状不同：当裂纹主导缺陷时，材 料往往是通过突发性的裂解而破坏，表现处脆性行为。而位错 的传播往往导致塑性流动，能在不破坏晶格完整性的情况下产 生永久形变。 2.裂纹和位错两种过程有互相抑制的倾向，但不互相 排斥。 3. 结晶固体通常划分呈脆性和延性两种行为，尽管其 混合行为即半脆性更普遍。
这两个结果的密切吻合表明它们是裂纹扩展的充要条 件。Griffith 的热力学研究证明了裂纹的扩展条件，而 Orowan的计算证明了打开原子键的裂纹尖端的必要的应力 条件。 根据原子力的非简谐简化模型得到的典型 γ=Ea/30， 通常的观测值是E/500，这被解释为由于存在c≈1μm的裂 纹。在电子微观时代来临之前，这种裂纹被假设为普遍存在 的，称为Griffith裂纹。
U = −πc 2σ 2 / E + 4cγ + σ 2 y / 2 E
dU =0 由， dc
σ f = (2 Eγ / π c)1/ 2
σ f 为某给定方向的裂纹的临界应力。
Griffith 通过测量刻有不同深度刻痕的玻璃棒强度的实验方 σ f = (2 Eγ / π c)1/ 2 法，检验了他的理论。根据实验结果，他得到了形如 的关系式，并由此进一步估计γ 值。同时，他通过增温条件下测 定的玻璃棒的拉伸颈缩过程中所作的功来独立估计 γ 值，然后 将拉伸颈缩的结果外推到室温条件下，所得的结果与强度实验结 果导出的结果相当吻合。
Eλ σt = 2πa
2π (r − a ) Eλ σ= sin[ ] λ 2πa
当r = 3/2a时，原子正好位于两个平衡位置中间，根据对称性， 在该点σ= 0,
sin( π ) = 0
a
λ
a≈λ
σ t ≈ E / 2π
由此得比表面能（specific surface energy）γ:
2γ = ∫ =
§2.1.3 断裂力学简介
线弹性断裂力学以Griffith能量平衡原理为基础。它借用连续 介质力学的方法将裂纹简化成线弹性介质内的数学平面和窄缝， 通过分析裂纹周围的应力场，利用应力场的一些临界参数建立起 材料的断裂判据，从而通过外应力和裂纹尖端应力间的关系，把 宏观强度和材料的固有强度联系起来。由于裂纹被视为连续介质 的一部分，无需了解裂纹尖端变形和断裂过程的细节。
U = (−W + U e ) + U s
杆内裂纹扩展的Griffith模型
因为外载荷和弹性体二者共同把力传至裂纹区域， 所以－W+Uc 是机械能。 假想裂纹的扩展了 δc ，若机械能和表面能相平衡， 则系统达到热力学平衡。由于在裂纹扩展时， 两侧 的内聚力突然松弛，裂纹向外加速扩展，进入一个更低 的能量状态。因此，机械能必随着裂纹的扩展而减小。 但在新表面的过程中，外力要克服内聚力作功，所以表 面能将随裂纹的扩展而增大。这样，机械能有助于裂纹 的扩展，而表面能阻碍裂纹的扩展。 在平衡点上，两种能量达到平衡。平衡条件是：
(平面应力) (平面应变)
对于 III 型裂纹，
G = K 2 (1 + v) / E
(平面应力，平面应变)
U = (−W + U e ) + U s
U s = 2cγ
dU = −G + 2γ dc
对平面应力
Gc = K / E = 2γ
2 c
对平面应力
Gc = K c2 (1 − v 2 ) / E = 2γ