解析几何中的最值问题的求解

解析几何中的最值问题的求解

摘要：解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景,以函数和不等式等知识作为工具,具有较强的综合性,这类问题的解决没有固定的模式,其解法一般灵活多样,且对于解题者有着相当高的能力要求.因此,这类最值问题成为了数学高考中的热点和难点.

关键词：解析几何圆锥曲线函数不等式

1 利用二次函数

二函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数、三角函数等,但要特别注意函数自变量的取值范围。

例如：已知P点在圆上移动,Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。

本题中P、Q两个都是动点,不易看出P、Q在什么位置时|PQ|最大?所以先让Q点固定,当PQ通过圆心O时|PQ|此时最大,因此要求|PQ|的最大值,转化为先要求出的最大值.本题还可以应用椭圆的参数方程求解,设Q点坐标为,则可表示为θ的函数,即==，而,所以当且仅当时,的最大值27,即的最大值为，解法更简洁.

2 利用圆锥曲线的定义

利用圆锥曲线的定义求最值是比较常见的方法，深刻理解两个定义结合三角形相关结论进行线段间的转化是解题的关键。

例如：已知椭圆, A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求：(1)求|的最小值和最大值.(2)求的最小值.

本题中(1)设C为椭圆的左焦点, 由椭圆的第一定义,知|PA|=2a-|PC|

∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形的性质：两边之差的绝对值小于第三边,当P运动到与B、C成一条直线时,取得最大和最小值.即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P′位置时,|PB| -|PC|=|BC|,|PA|+|PB|有最大值,最大值为10+|BC|=；当P到P”位置时,|PB| -|PC|=-|BC|,|PA|+|PB|有最小值,最小值为10-|BC|=.另外(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的(如图

1)。

(2)由题意知A为椭圆的右焦点.作PQ⊥右准线于点Q,利用椭圆的第二定义知∴.问题转化为在椭圆上找一点P,使其到点B和右准线的距离之和最小,显然点P应是过B向右准线作垂线BE与椭圆的交点,最小值为=。

3 利用均值不等式

用均值不等式求最值要积累“配凑”的技巧与方法,同时注意三个条件“一正二定三相等”缺一不可.

例如：过P（-2,-3）的直线L与x轴、y轴的负半轴交于A、B 点,求使△AOB面积最小时的L方程.

我们可以从如下两个角度思考：一是设L方程y+3=k（x+2）（k ＜0）,所以

4 利用判别式

5 利用线性规划

线性归划求最值在每年的高考题几乎都要涉及到，关键是画好可行区域,并且理解目标函数的几何意义，从而分析目标函数在什么位置存在最值.

我们可以先画好可行区域，当函数的图像仅有一个点在可行域内时，直线恰好经过函数的图像与直线的交点，由方程组得，所以，所以最大值为1．

解析几何中的最值是高考中的重点，以上总结，仅为笔者教学之心得，同学们可以认真总结其方法，然后加以练习掌握，以达到融会贯通的地步。