材料力学——8-1组合变形
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第八章 组合变形
1、组合变形问题的处理方法
２、三种常见的组合变形 ——两向弯曲、
弯扭组合、 拉（压）弯组合
§8－１ 概述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当 几种变形所对应的应力属同一量基时，不能忽略之，这类构件的变形称为 组合变形。
P
R
Ｍ
P
P
q
h
水坝
一、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①、外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿主惯性轴分解 ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。 ③、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
( Py L3 )2 ( Pz L3 )2
3EI z
3EI y
例 8-2-2、矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为 q=800N/m的均布力作用，
[]=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，试选择截面尺寸并校核刚度。
解：①、外力分析——分解q
qy q sin 800 0.447 358N / m
pz py
ctg
从强度考虑 Wy h ctg 2
Wz b
从刚度考虑
Iy Iz
f hb 22358q4clE4tgI
2
取平均值
h 2 2 1.8 b2
403 804 12106 Wz 1.8Wz
Wz
hb 2 6
1.8b3 6
71106 m3
b 62mm h 111.6mm
取 : b 70 ; h 120mm
Iy
Iz
中性轴
tg y0 Iz ctg
z0 I y
Z Pz
D1
可见：只有当I y = I z时，中性轴与外力才垂直。
④、最大正应力 在中性轴两侧，距中性轴最远
D2
的点为拉压最大正应力点。
PΒιβλιοθήκη Baidu
Py
Lmax D1
ymax D2
y
⑤、变形计算
f
f
2 y
f
2 z
tg f y
fz
fz
f fy
中性面
中性轴
（三）、静力学关系：
Nx
AdA
A
Ey
dA
E ydA ESz 0
A
Sz 0 z (中性)轴过形心
M y
(dA)z
A
Eyz
E 对称
A
dA
I yz
0
面
解：1、将外载沿横截面的形心主轴分解
m
xm
L
② 应 力
My引起的应力： M y z M z cos
Iy
Iy
§8－2 两向弯曲
一、两向弯曲：在两个正交的纵向面内，分别发生平面弯曲。弯曲后，轴线与 （横向力）不共面 二、两向弯曲的研究方法 ：
1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
Pz Py
Z Pz
P
Py
y
向两个形心主轴分解，为什么？
当 = 时，即为平面弯曲。
例 8-2-1、结构如图，P 过形心且与z轴成角，求此梁的最大应力与挠度。
解：危险点分析如图
中性轴
z Pz
D1
D2
Py
最大正应力
Lmax
D1
Mz Wz
My Wy
D2
y
fz
变形计算 f
f
2 y
f
2 z
( Py L3 )2 ( Pz L3 )2
3 EI z
3EI y
曲正应力[ ]=160 MPa。
例题 8-2-3
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
Fy
F
cos 40o
qa 2
cos 40o
0.383qa
Fz
F sin 40o
qa sin 40o 2
0.321qa
例题 8-2-3
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
M z引起的应力：
Mz Iz
y
My
Iz
sin
Py P sin
Pz P cos
2、研究两个平面弯曲
① M z Py ( L x)
内 P(L x)sin
力
M sin
M y M cos
合应力： M( z cos y sin )
Iy
Iz
③、中性轴方程
M( z0 cos y0 sin ) 0
例题 8-2-3
z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
y
y
( max )A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q 31.5
(12 10 6
)
0.266q (12 ) 237 10 6
(21.5103 ) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02103 ) q
由于( max )A ( max )D，可见A截面为危险截面。由 图e可见A截面上的外棱角D1和D2处分别为c,max和 t,max 。
f
f
2 y
f
2 z
( 5qy L4 )2 ( 5qz L3 )2 14.8mm L 15mm
384EI z
384EI y
200
满足刚度要求
此试算法实用于矩形截面
例题 8-2-3
图a所示悬臂梁，由20a号工字钢制成，梁上的均 布荷载集度为q (N/m)，集中荷载为 F 。qa试(N求) 梁 的许用荷载集度[q]。已知：a =1 m; 20a号2工字钢： Wz=237×10-6 m3，Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯
tg f y I y tg 当I y = I z时，即发生平面弯曲。
fz Iz
f fy
例 8-2-1、结构如图，P 过形心且与z轴成角， 求此梁的最大应力与挠度。
b
b
h
L
h
L
Py
z
x y
P Pz
z
x y
最大正应力
Lmax
D1
Mz Wz
My Wy
D2
变形计算
f
f2 ymax
f2 zmax
例题 8-2-3
3. 分析梁的危险截面，并求max
A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不 是最大，但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危 险截面，MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面， 需比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
qz q cos 800 0.894 715N / m
M z max
q y L2 8
358 32 8
403Nm
q
M y max
qz L2 8
715 32 8
804Nm
A
B
max
Mz Wz
My Wy
L
从 强 度 考 虑M z Wz
My ,材料可以充分利用， Wy
Wy Wz
h b
My Mz
1、组合变形问题的处理方法
２、三种常见的组合变形 ——两向弯曲、
弯扭组合、 拉（压）弯组合
§8－１ 概述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当 几种变形所对应的应力属同一量基时，不能忽略之，这类构件的变形称为 组合变形。
P
R
Ｍ
P
P
q
h
水坝
一、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①、外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿主惯性轴分解 ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。 ③、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
( Py L3 )2 ( Pz L3 )2
3EI z
3EI y
例 8-2-2、矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为 q=800N/m的均布力作用，
[]=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，试选择截面尺寸并校核刚度。
解：①、外力分析——分解q
qy q sin 800 0.447 358N / m
pz py
ctg
从强度考虑 Wy h ctg 2
Wz b
从刚度考虑
Iy Iz
f hb 22358q4clE4tgI
2
取平均值
h 2 2 1.8 b2
403 804 12106 Wz 1.8Wz
Wz
hb 2 6
1.8b3 6
71106 m3
b 62mm h 111.6mm
取 : b 70 ; h 120mm
Iy
Iz
中性轴
tg y0 Iz ctg
z0 I y
Z Pz
D1
可见：只有当I y = I z时，中性轴与外力才垂直。
④、最大正应力 在中性轴两侧，距中性轴最远
D2
的点为拉压最大正应力点。
PΒιβλιοθήκη Baidu
Py
Lmax D1
ymax D2
y
⑤、变形计算
f
f
2 y
f
2 z
tg f y
fz
fz
f fy
中性面
中性轴
（三）、静力学关系：
Nx
AdA
A
Ey
dA
E ydA ESz 0
A
Sz 0 z (中性)轴过形心
M y
(dA)z
A
Eyz
E 对称
A
dA
I yz
0
面
解：1、将外载沿横截面的形心主轴分解
m
xm
L
② 应 力
My引起的应力： M y z M z cos
Iy
Iy
§8－2 两向弯曲
一、两向弯曲：在两个正交的纵向面内，分别发生平面弯曲。弯曲后，轴线与 （横向力）不共面 二、两向弯曲的研究方法 ：
1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
Pz Py
Z Pz
P
Py
y
向两个形心主轴分解，为什么？
当 = 时，即为平面弯曲。
例 8-2-1、结构如图，P 过形心且与z轴成角，求此梁的最大应力与挠度。
解：危险点分析如图
中性轴
z Pz
D1
D2
Py
最大正应力
Lmax
D1
Mz Wz
My Wy
D2
y
fz
变形计算 f
f
2 y
f
2 z
( Py L3 )2 ( Pz L3 )2
3 EI z
3EI y
曲正应力[ ]=160 MPa。
例题 8-2-3
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
Fy
F
cos 40o
qa 2
cos 40o
0.383qa
Fz
F sin 40o
qa sin 40o 2
0.321qa
例题 8-2-3
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
M z引起的应力：
Mz Iz
y
My
Iz
sin
Py P sin
Pz P cos
2、研究两个平面弯曲
① M z Py ( L x)
内 P(L x)sin
力
M sin
M y M cos
合应力： M( z cos y sin )
Iy
Iz
③、中性轴方程
M( z0 cos y0 sin ) 0
例题 8-2-3
z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
y
y
( max )A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q 31.5
(12 10 6
)
0.266q (12 ) 237 10 6
(21.5103 ) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02103 ) q
由于( max )A ( max )D，可见A截面为危险截面。由 图e可见A截面上的外棱角D1和D2处分别为c,max和 t,max 。
f
f
2 y
f
2 z
( 5qy L4 )2 ( 5qz L3 )2 14.8mm L 15mm
384EI z
384EI y
200
满足刚度要求
此试算法实用于矩形截面
例题 8-2-3
图a所示悬臂梁，由20a号工字钢制成，梁上的均 布荷载集度为q (N/m)，集中荷载为 F 。qa试(N求) 梁 的许用荷载集度[q]。已知：a =1 m; 20a号2工字钢： Wz=237×10-6 m3，Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯
tg f y I y tg 当I y = I z时，即发生平面弯曲。
fz Iz
f fy
例 8-2-1、结构如图，P 过形心且与z轴成角， 求此梁的最大应力与挠度。
b
b
h
L
h
L
Py
z
x y
P Pz
z
x y
最大正应力
Lmax
D1
Mz Wz
My Wy
D2
变形计算
f
f2 ymax
f2 zmax
例题 8-2-3
3. 分析梁的危险截面，并求max
A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不 是最大，但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危 险截面，MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面， 需比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
qz q cos 800 0.894 715N / m
M z max
q y L2 8
358 32 8
403Nm
q
M y max
qz L2 8
715 32 8
804Nm
A
B
max
Mz Wz
My Wy
L
从 强 度 考 虑M z Wz
My ,材料可以充分利用， Wy
Wy Wz
h b
My Mz