第七章自适应滤波器

包括个自适应横向滤波器的自适应系统，当所处理的输
入信号来自不同信号源时，它实际上等于自适应线性组
合器。
❖
x1 j
x2 j
yj
xj
AF
yj
ej
图7-4 自适应横向滤波器的简化符号
x Nj
dj
图7-5 具有n个自适应横向滤波器的自适应系统
❖ 利用讨论维纳滤波器时域解时的相同方法可以求得在
❖ E[e2j ] E[(d j yj )2] min 时的权系数。将式(7-2)写成矩阵形式
xNj
xNj
❖
=输入 X j 的自相关矩阵
(7-8)
❖ 于是式(7-6)可以写成
❖
E[e2j
]
E[d
2 j
]
2P
W
W
RW
(7-9)
❖ 注意，对于平稳输入，式 (7-9)的 E[e2j ]是权矢量 W 的二 次方函数，因此E[e2j ]~ W 是一个凹的抛物体曲面，它具 有唯一的极小点。可以用梯度方法沿该曲面调节权矢量 的各元素，得到这个均方误差 E[e2j ] 的最小点。
❖ 所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻已获得滤波器参 数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信 号或噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最 优滤波。设计自适应滤波器时可以不必要求预先知道信 号和噪声的自相关函数，而且在滤波过程中信号与噪声 的自相关函数即使随时间作慢变化它也能自动适应，自 动调节到满足最小均方差的要求。这些都是它突出优点， 因此近年来它被广泛的应用于各种信号处理中。
❖ 7.1 LMS自适应滤波器的基本原理
❖ 如图7-1所示，其输入是一随机信号x(n) ：
x(n)
y(n)
❖
h(n)
图7-1 维纳滤波器的输入-输出关系
❖ 其中 s(n) 表示信号的真值，v(n) 表示噪声。其输出 y(n)等 于的估计值，用sˆ(n) 表示。维纳滤波器是具有这样的 h(n) 或 H (z)的滤波器，它能使sˆ(n) 与 s(n) 间的均方误差 E[e2 (n)]
有
❖
y j Xj W W X j
(7-3)
❖ 这里
❖
w1
W
wБайду номын сангаас
w j
x1 j
Xj
x2 j
xNj
(7-4)
❖
ej d j y j d j W X j
(7-5)
❖ 所以
❖
(7-6) E[e2j ]
E[(d
j
yj )2]
E[d
2 j
]
2E[d j Xj ]W
W
E[X j Xj
时 x j x2 j
， x j1
x3 j
x j2，…，xNj
x jN1，即并
不一定要求其各 xij 是由同一信号的不同延迟组成延时线
抽头形式的所谓横向FIR结构，如图7-3(a)所示。
yj
w1 j
w2 j
w3 j
wNj
xj
z 1
z 1
x1 j
x1 j
x2 j
z 1 z 1
w1 w2
wN 1
x Nj z 1 wN y j
(a)
xj
x j1
x j2
自适应算法
ej (b)
图7-3 横向FIR结构的自适应滤波器
x jN 1
❖ 图7-3(b)是它的原理图。自适应滤波器的要害在于按照
❖
e j 及各 xij 值，通过某种算法寻找 E[e2j ] min 时的各wi ，
从而可自动地调节各 wi 值。
❖ 自适应滤波器可以用图7-4的简化符号表示。图7-5表示
看是否一样。如果有误差 ，e则j 用去e j控制
第７章 自适应滤波器
❖ 7.1 ❖ 7.2 ❖ 7.3
LMS自适应滤波器的基本原理 Widrow-Hoff LMS算法 自适应滤波器的应用
❖ 我们已经研究了维纳滤波器与卡尔曼滤波器。维纳滤波 参数是固定的，适用于平稳随机信号最佳滤波。卡尔曼 滤波器参数可以是时变的，适用于非平稳随机信号。然 而，只有对信号和噪声的统计特性先验已知条件下，这 两种滤波器才能获得最优滤波。遗憾的是，在实际应用 中，常常无法得到这些统计特性的先验知识。因此y，k 这 种情况下，用维纳滤波器和卡尔曼滤波器实现不了最优 滤波。然而，自适应滤波能够提供卓越的滤波性能。
为
N
❖
y j wij xij
❖
i1
由式(7-2)可见，自适应滤波
x1 j
(7-2)
w1
❖ 器可看成是自适应线性组合 x2j ❖ 器，如图7-2所示。
x Nj
w2
yj
ej
wN
dj
图7-2 自适应系统中的线性组合器
❖ 一般来讲， x1j , x2 j ,, xNj其可以是任意一组输入信号，并不
一定要求当 x1j
❖ 最小，即
E[e2 (n)] E[(s(n) sˆ(n)) 2 ] min
❖ 从而达到最好地从噪声中提取信号的目的。而自适应滤 波器则能自动调节它的 h(n) 值以满足上述最小均方误差 的准则。
❖ 如果 h(n)长为N，则从图7-1可以得到
N 1
N
❖
y(n) h(m)x(n m) hi xi
]W
❖令
❖
P E[d j X j ] E[d j x1j , d j x2 j ,d j xNj ]
d
j与X
的互相关矢量
j
(7-7)
❖
x1 j x1 j
R
E[X
j Xj
]
E
x2
j x1 j
x1 j x2 j
x2 j x2 j
x1 j xNj
x2
j
xNj
xNj
x1
j
xNj x2 j
❖ 均方误差的梯度（用 表示）可以通过将式(7-9)，对权
矢量的各 wij 进行微分得到
❖
j
E[e
2 j
w1
]
,
E[e
2 j
w2
]
,
E[e
2 j
wN
]
2P
2RW
(7-10)
❖ 置 j 0 就可得到最佳权矢量，用 W* 表示，即
❖
2P 2RW* 0
W
W*
R 1P
(7-11)
❖ 式(7-11)是维纳-霍夫方程的矩阵形式。满足式(7-11)的
m0
i1
❖ 这里i m 1 ，hi h(i 1) ，xi x(n i 1) 。
（7-1)
❖
由此可见，输出 y(n)是N个所有过去各输入的线性加
权之和，其加权系数就是 {hi} 。在自适应滤波器中这个
加权系数常用符号 wi 表示，所希望的输出常用 d 表示，
并为了书写简化，时间 用下n 标 表示j ，于是式(7-1)成
❖ W* 即为最佳权矢量或称维纳权矢量。将式(7-11)代回
式(7-10)，得最小均方误差为
❖
(E[e2j ])min
E[d
2 j
]
W* P
(7-12)
❖ 实际上，上述这套方程与维纳滤波器推出的结果完全相
同。自适应滤波器与维纳滤波器比较，其差别在于它加
了一个识别控制环节，将输出 y j 与所希望的值