北邮-通信原理--第十章-扩频通信
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8
产生m序列的通用电路
反馈输出： an c1an1 c2an2 c3an3... cn a0 特征多项式：f x c0 c1x c2 x2 c3 x3 ... cn xn
9
m序列产生的条件
产生 m 序列的充要条件是： 特征多项式是本原多项式。
序列中连0或连1，连0或连1的个数称为游程的 长度。如序列010110001111中长度为1的游程 共有3个，长度为2，3，4的游程各有1个。
010110001111
六个游程
3
随机序列的特性
移位
bk ak
双极性随机序列 随机序列的相移： bk ak m -1 +1 +1 0
源自文库
ck bk ak 是随机序列
§ 10.2 伪随机码
伪随机码的定义
伪随机码又称伪随机序列，它是具有类似随机序 列基本特征的确定序列。通常广泛应用的是二进制 序列。
近似满足随机序列的特征: I、 符号等概：二进制序列，两个符号出现的概率为0.5 II、游程特性：连续符号称为游程。连续符号的个数称为 n 1/ 2 游程长度。长度为n的游程占游程总数的 III、移位：给定随机序列，移位任意个元素所得的序列与 原来序列，对应元素一半相同，一半不同。
18
2n 1
m序列码波形及其相关特性
单极性不归零脉冲序列波形
ai t 持续时间 T NTc
g t
Tc
ai t aik g t k 1 Tc
k 1
N
1, g t 0,
0 t Tc 其他t
码片波形 码片宽度
Bi t
n n
b t nT
i
为 bi (t ) 的周期延拓。
1 Bi t Bi t dt T 0
T
bi (t ) 的归一化周期性自相关函数: ri
bi (t ) 和b j (t )的归一化周期性互相关函数: T 1 rij Bi t B j t dt T 0 T bi (t ) 的周期性自相关函数： Ri Bi t Bi t dt
a0 1, a1 0, a2 0
状态的循环：
7
m序列的周期
由状态数决定 上例中7位m序列产生器由三级移存器组成， 每一级移存器由两个可能状态(0,1),三级移存器 所有可能状态为8种，除全0状态不能进入移存器， 否则会产生全0序列，由此可见，三级移存器组 成的反馈电路所产生的序列周期不会超 过 23 1 7。 一般来说，由n级移存器组成的线性反馈电 路所产生的序列周期不超过 2 n 1 。
j nN(n 0, 1, 2, ) j nN
j nN
a1a2a3
aN
ak (1, 1)
N个1
还是m序列，
bk bk j
j nN 111 1
-1多一个
16
互相关函数的性质
互相关函数的性质 ： rbc j 1 N
同周期N的两个m序列， 其两两m序列对的 互相关差别很大
[]表示取整
17
优选对
m序列的计数
幂次为n的本原多项式的数目为 N s 其 n 中 ( x) 为欧拉函数，它等于小于x并与x互质的数 的个数（包含1在内）。 多址系统中当地址数很大时，m序列作地址码不够 用了，因此人们又寻找除了数量多同时又具有类似于 m序列性质的伪随机码，例如：Gold码、长m序列的短 截码，等。
ck bk ak 是随机序列
单极性：
相关
自相关
1 m 0 1 L Rm lim ai mai Eai mai L L i 1 0 m 0
互相关
ak ak
随机序列
1 L Raa m lim ai m ai 0 L L i 1 4
特征： I、 符号等概：二进制序列，两个符号出现的概率为0.5 II、游程特性：连续符号称为游程。连续符号的个数称为 游程长度。长度为n的游程占游程总数的 1/ 2n III、移位：给定随机序列，移位任意个元素所得的序列与 原来序列，对应元素一半相同，一半不同。 IV、非周期，或者说周期无限长
2
游程
aN
ak (0,1)
1的个数比零的个数多一个
bk 1 2ak
bN bk (1, 1)
-1的个数比＋1的个数多一个
b1b2b3 双极性m序列：
14
自相关函数 & 互相关函数
归一化 周期 自相关函数
1 rb j N
b b
k 1
N
k k j
b的下标为模N运算： bk N bk
0
bi (t )和 b j (t ) 的周期性互相关函数: T Rij Bi t B j t dt
0
21
双极性波形的周期性自相关函数
1 ri r kT N k
N 1 | | 1 , r N Tc 0,
ri ( )
1
1/ N
| | Tc else
2Tc
NTc
22
双极性m序列波形的功率谱密度
N 1 1 2 Pm f Sinc Tc f f nf 0 2 f 2 N n 0 N
f 0 1/ T
特点： I、离散谱，间隔为：f0 1/ NTc II、带宽近似为：1/ Tc III、直流分量与N的平方成反比 VI、谱线包络规律： sin c2 Tc f
12
m序列的性质
移位相加特性
一个m序列 M p与其移位序列 M r模2加得到的序列 M s仍是M p的移位序列（移位数与M r 的不同），即：
m序列
M p移位序列
M p Mr Ms
双极性：
M p 另一个移位序列
M p Mr Ms
13
双极性m序列
m序列：a1a2a3 1 0 －1 ＋1
nT n 1T
dt
检测 最大值
33
粗同步：匹配滤波捕获法
T
c t
h t
y t
a t
Tc
h t a T t
y t c t h t h c t d
0 T
c t
1、长度为N的一个优选对可以构成N个Gold码， 加上原来的两个码一共N+2个码，它们之中任何两 个码的周期互相关函数也是三值函数。 n＝4和4的倍数的m序列没有优选对，因此也 不存在对应的Gold码。
25
Gold码的性质
2、优选对的数目与m序列的长度有关。
优选对的数目与m序列的长度n的关系
26
Gold码的性质
利用数论和数值计算方法可以找出m序列 的优选对。 左图是N=31的优选对,其 中双边线左边是优选对，右 边是准优选对。
R max 是最大旁瓣.
27
Gold码的性质
3、Gold码的周期性自相关函数也是三值函数； 同一优选对产生的Gold码的周期互相关函数为三值函数；
同长度的不同优选对产生的Gold码的周期互相关函数不是三 值函数。
f ( x) 为即约的，即不可分解。 f ( x) 可整除 ( x m 1), m 2n 1 。 f ( x) 除不尽 ( x q 1), q m 。
10
本原多项式表
二进制和八进制数表示。
11
m序列的性质
均衡性 在一个周期中“1”的个数比“0”的个数多1。m序 2 n 1 个状态，少一个全0状态，因此， 列一个周期经历 在一个周期中“1”的个数比“0”的个数多1。 游程特性 一个周期中长度为1的游程数占一半，长度 1 为k的游程数占游程总数的 ,1 k (n 1) k 2
5
§ 10.2.2
最长线性反馈移存器序列(m序列)
m 序列：最长 线性反馈 移位寄存器序列
最长线性反馈移存器是最常见的一种伪随机序列， 简称m序列，它是具有线性反馈的移位寄存器产生的 周期最长的序列。
6
§ 10.2.2
最长线性反馈移存器序列(m序列)
例：一线性反馈移存器序列发生器框图：
假设移存器的初始状态：
23
§ 10.2.3 Gold码
Gold码是由m序列派生出的一种伪随机码，其性 质类似m序列，但是其数目比同长度的m序列多。
Gold码的构成 Gold码＝ m1 m（循环移位）。 2
优选对：同长度的两个不同m序列的周期性互相关 函数为三值函数，则称着两个序列为一个优选对。
24
Gold码的性质
各种码长的正交Gold码的相关函数特性均符合上述 规律。
30
10.3 伪码的同步
伪码：
T
a t
Tc
c t
周期延拓： c t
k
a t nT
c t
粗同步：
Tc
细同步：
c t
0
b c
k 1
N
k k j
互相关特性好 周期增加，互 相关的最大值 会减小。
互相关特性差
最好的m序列对，其互相关函数值只取三个：理想三值
t n 2 L 1 Rc n L t n L
t n 1 2
n 2 2
第十章 扩频通信
伪随机码（及其性质）
本 章 内 容
m序列 Gold序列 Rademacher函数/序列 Walsh函数/序列 DSSS、CDMA、Rake接收、扰码、误码测量，等
正交码（及其性质）
应用
1
§ 10.2 伪随机码
独立随机序列（Bernoulli）序列
不同位置的元素相互独立 出现概率相等
19
m序列码波形及其相关特性
双极性m序列码波形： 1 0 －1 ＋1
bk 1 2ak
bi t bik g t k 1 Tc
k 1
N
1, 其中:g t 0,
0 t Tc 其他t
g t
Tc
20
自相关函数 & 互相关函数
若在同一优选对产生的Gold码末尾加一个0，则构成的 偶位Gold码相互正交，即互相关函数 Rij (0) 0。
（注意， Rij ( ) 0, 0, ） 对于正交Gold码，有
Rij Ri 0
max
N 2~3
29
正交Gold码的性质
正交Gold码与Gold码各种相关函数的旁瓣特性接近 一致，均为 N数量级。 正交Gold码各种相关函数的最大旁瓣值在 (2 ~ 3) N 范围。 正交Gold码各种互相关函数的均方根值与m序列和 Gold码的相同，均等于 N 。
归一化 周期 互相关函数
1 rbc j N
b c
k 1
N
k k j
b,c的下标为模N运算：bk N bk
ck N ck
15
自相关函数的性质
m序列的周期性自相关函数为二值函数，即：
1 rb j N
N
b b
k 1
k k j
1, -1 , N
31
粗同步：并行相关法
c t
c t
c t Tc
T
0 T
dt dt
选择 最大值
0
ri ( )
1
1/ N
2Tc
T
NTc
0
dt
c t N 1 Tc
32
粗同步 串行相关法
c t
c t
4、Gold码的相关函数的旁瓣特性可以用数值计算方法 统计分析得到，如下：
ri 0 ri 0 N N , | ri |max, 0 1 ~ 3 | rij |max 1 ~ 3
28
§ 10.2.4 正交Gold码(偶位)
Gold码的长度等于对应m序列的长度，是奇数， 因此互相关不为0，属于准正交码。
y t
1
a T c t d Raa t T
0
T
1/ N
产生m序列的通用电路
反馈输出： an c1an1 c2an2 c3an3... cn a0 特征多项式：f x c0 c1x c2 x2 c3 x3 ... cn xn
9
m序列产生的条件
产生 m 序列的充要条件是： 特征多项式是本原多项式。
序列中连0或连1，连0或连1的个数称为游程的 长度。如序列010110001111中长度为1的游程 共有3个，长度为2，3，4的游程各有1个。
010110001111
六个游程
3
随机序列的特性
移位
bk ak
双极性随机序列 随机序列的相移： bk ak m -1 +1 +1 0
源自文库
ck bk ak 是随机序列
§ 10.2 伪随机码
伪随机码的定义
伪随机码又称伪随机序列，它是具有类似随机序 列基本特征的确定序列。通常广泛应用的是二进制 序列。
近似满足随机序列的特征: I、 符号等概：二进制序列，两个符号出现的概率为0.5 II、游程特性：连续符号称为游程。连续符号的个数称为 n 1/ 2 游程长度。长度为n的游程占游程总数的 III、移位：给定随机序列，移位任意个元素所得的序列与 原来序列，对应元素一半相同，一半不同。
18
2n 1
m序列码波形及其相关特性
单极性不归零脉冲序列波形
ai t 持续时间 T NTc
g t
Tc
ai t aik g t k 1 Tc
k 1
N
1, g t 0,
0 t Tc 其他t
码片波形 码片宽度
Bi t
n n
b t nT
i
为 bi (t ) 的周期延拓。
1 Bi t Bi t dt T 0
T
bi (t ) 的归一化周期性自相关函数: ri
bi (t ) 和b j (t )的归一化周期性互相关函数: T 1 rij Bi t B j t dt T 0 T bi (t ) 的周期性自相关函数： Ri Bi t Bi t dt
a0 1, a1 0, a2 0
状态的循环：
7
m序列的周期
由状态数决定 上例中7位m序列产生器由三级移存器组成， 每一级移存器由两个可能状态(0,1),三级移存器 所有可能状态为8种，除全0状态不能进入移存器， 否则会产生全0序列，由此可见，三级移存器组 成的反馈电路所产生的序列周期不会超 过 23 1 7。 一般来说，由n级移存器组成的线性反馈电 路所产生的序列周期不超过 2 n 1 。
j nN(n 0, 1, 2, ) j nN
j nN
a1a2a3
aN
ak (1, 1)
N个1
还是m序列，
bk bk j
j nN 111 1
-1多一个
16
互相关函数的性质
互相关函数的性质 ： rbc j 1 N
同周期N的两个m序列， 其两两m序列对的 互相关差别很大
[]表示取整
17
优选对
m序列的计数
幂次为n的本原多项式的数目为 N s 其 n 中 ( x) 为欧拉函数，它等于小于x并与x互质的数 的个数（包含1在内）。 多址系统中当地址数很大时，m序列作地址码不够 用了，因此人们又寻找除了数量多同时又具有类似于 m序列性质的伪随机码，例如：Gold码、长m序列的短 截码，等。
ck bk ak 是随机序列
单极性：
相关
自相关
1 m 0 1 L Rm lim ai mai Eai mai L L i 1 0 m 0
互相关
ak ak
随机序列
1 L Raa m lim ai m ai 0 L L i 1 4
特征： I、 符号等概：二进制序列，两个符号出现的概率为0.5 II、游程特性：连续符号称为游程。连续符号的个数称为 游程长度。长度为n的游程占游程总数的 1/ 2n III、移位：给定随机序列，移位任意个元素所得的序列与 原来序列，对应元素一半相同，一半不同。 IV、非周期，或者说周期无限长
2
游程
aN
ak (0,1)
1的个数比零的个数多一个
bk 1 2ak
bN bk (1, 1)
-1的个数比＋1的个数多一个
b1b2b3 双极性m序列：
14
自相关函数 & 互相关函数
归一化 周期 自相关函数
1 rb j N
b b
k 1
N
k k j
b的下标为模N运算： bk N bk
0
bi (t )和 b j (t ) 的周期性互相关函数: T Rij Bi t B j t dt
0
21
双极性波形的周期性自相关函数
1 ri r kT N k
N 1 | | 1 , r N Tc 0,
ri ( )
1
1/ N
| | Tc else
2Tc
NTc
22
双极性m序列波形的功率谱密度
N 1 1 2 Pm f Sinc Tc f f nf 0 2 f 2 N n 0 N
f 0 1/ T
特点： I、离散谱，间隔为：f0 1/ NTc II、带宽近似为：1/ Tc III、直流分量与N的平方成反比 VI、谱线包络规律： sin c2 Tc f
12
m序列的性质
移位相加特性
一个m序列 M p与其移位序列 M r模2加得到的序列 M s仍是M p的移位序列（移位数与M r 的不同），即：
m序列
M p移位序列
M p Mr Ms
双极性：
M p 另一个移位序列
M p Mr Ms
13
双极性m序列
m序列：a1a2a3 1 0 －1 ＋1
nT n 1T
dt
检测 最大值
33
粗同步：匹配滤波捕获法
T
c t
h t
y t
a t
Tc
h t a T t
y t c t h t h c t d
0 T
c t
1、长度为N的一个优选对可以构成N个Gold码， 加上原来的两个码一共N+2个码，它们之中任何两 个码的周期互相关函数也是三值函数。 n＝4和4的倍数的m序列没有优选对，因此也 不存在对应的Gold码。
25
Gold码的性质
2、优选对的数目与m序列的长度有关。
优选对的数目与m序列的长度n的关系
26
Gold码的性质
利用数论和数值计算方法可以找出m序列 的优选对。 左图是N=31的优选对,其 中双边线左边是优选对，右 边是准优选对。
R max 是最大旁瓣.
27
Gold码的性质
3、Gold码的周期性自相关函数也是三值函数； 同一优选对产生的Gold码的周期互相关函数为三值函数；
同长度的不同优选对产生的Gold码的周期互相关函数不是三 值函数。
f ( x) 为即约的，即不可分解。 f ( x) 可整除 ( x m 1), m 2n 1 。 f ( x) 除不尽 ( x q 1), q m 。
10
本原多项式表
二进制和八进制数表示。
11
m序列的性质
均衡性 在一个周期中“1”的个数比“0”的个数多1。m序 2 n 1 个状态，少一个全0状态，因此， 列一个周期经历 在一个周期中“1”的个数比“0”的个数多1。 游程特性 一个周期中长度为1的游程数占一半，长度 1 为k的游程数占游程总数的 ,1 k (n 1) k 2
5
§ 10.2.2
最长线性反馈移存器序列(m序列)
m 序列：最长 线性反馈 移位寄存器序列
最长线性反馈移存器是最常见的一种伪随机序列， 简称m序列，它是具有线性反馈的移位寄存器产生的 周期最长的序列。
6
§ 10.2.2
最长线性反馈移存器序列(m序列)
例：一线性反馈移存器序列发生器框图：
假设移存器的初始状态：
23
§ 10.2.3 Gold码
Gold码是由m序列派生出的一种伪随机码，其性 质类似m序列，但是其数目比同长度的m序列多。
Gold码的构成 Gold码＝ m1 m（循环移位）。 2
优选对：同长度的两个不同m序列的周期性互相关 函数为三值函数，则称着两个序列为一个优选对。
24
Gold码的性质
各种码长的正交Gold码的相关函数特性均符合上述 规律。
30
10.3 伪码的同步
伪码：
T
a t
Tc
c t
周期延拓： c t
k
a t nT
c t
粗同步：
Tc
细同步：
c t
0
b c
k 1
N
k k j
互相关特性好 周期增加，互 相关的最大值 会减小。
互相关特性差
最好的m序列对，其互相关函数值只取三个：理想三值
t n 2 L 1 Rc n L t n L
t n 1 2
n 2 2
第十章 扩频通信
伪随机码（及其性质）
本 章 内 容
m序列 Gold序列 Rademacher函数/序列 Walsh函数/序列 DSSS、CDMA、Rake接收、扰码、误码测量，等
正交码（及其性质）
应用
1
§ 10.2 伪随机码
独立随机序列（Bernoulli）序列
不同位置的元素相互独立 出现概率相等
19
m序列码波形及其相关特性
双极性m序列码波形： 1 0 －1 ＋1
bk 1 2ak
bi t bik g t k 1 Tc
k 1
N
1, 其中:g t 0,
0 t Tc 其他t
g t
Tc
20
自相关函数 & 互相关函数
若在同一优选对产生的Gold码末尾加一个0，则构成的 偶位Gold码相互正交，即互相关函数 Rij (0) 0。
（注意， Rij ( ) 0, 0, ） 对于正交Gold码，有
Rij Ri 0
max
N 2~3
29
正交Gold码的性质
正交Gold码与Gold码各种相关函数的旁瓣特性接近 一致，均为 N数量级。 正交Gold码各种相关函数的最大旁瓣值在 (2 ~ 3) N 范围。 正交Gold码各种互相关函数的均方根值与m序列和 Gold码的相同，均等于 N 。
归一化 周期 互相关函数
1 rbc j N
b c
k 1
N
k k j
b,c的下标为模N运算：bk N bk
ck N ck
15
自相关函数的性质
m序列的周期性自相关函数为二值函数，即：
1 rb j N
N
b b
k 1
k k j
1, -1 , N
31
粗同步：并行相关法
c t
c t
c t Tc
T
0 T
dt dt
选择 最大值
0
ri ( )
1
1/ N
2Tc
T
NTc
0
dt
c t N 1 Tc
32
粗同步 串行相关法
c t
c t
4、Gold码的相关函数的旁瓣特性可以用数值计算方法 统计分析得到，如下：
ri 0 ri 0 N N , | ri |max, 0 1 ~ 3 | rij |max 1 ~ 3
28
§ 10.2.4 正交Gold码(偶位)
Gold码的长度等于对应m序列的长度，是奇数， 因此互相关不为0，属于准正交码。
y t
1
a T c t d Raa t T
0
T
1/ N