运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题

为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的 人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或 达到一定的目的，这个过程就是规划。
例一、有一正方形铁皮，如何截取 x 使容积为最大？
x
v a 2 x2 x
a
dv 0
dx
2(a 2x) x (2) (a 2x)2 0
x a 6
此为无约束极值问题
• 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1,x5=0，则 基变量x2=30, x3=240, x4=50,可行解.
§2 图 解 法
例一、 max Z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12
⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x2 12
⑷
x1 0, x2 0
max Z 2 x1 3 x2
n
目标函数： max (min) Z c j x j j 1
n
约束条件：
aij x j (, ) bi
j 1
(i 1,2, , m)
xj 0
(j 1,2, , n)
如将上例用表格表示如下：
设变量
x j ( j 1,2, , n)
产品j
设备i
1 2 m
利润 c j
12 n
a11 a1n aij am1 amn
2、线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) Z c1x1 c2x2 cn xn ①
a11x1 a12x2 a1n xn (, ) b1
约束条件： ② am1x1 am2x2 amnxn (, ) bm
x1 0, , xn 0
③
也可以记为如下形式：
B决定的解.最多为 个C。mn
⑸ 基本可行解：满足非负约束条件的基本解， 简称基可行解。
⑹ 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
例题 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2+X3=360
P1 P2 P3 P4 P5
94100
4X1+5X2 +x4=200
作图
x2
2 x1 2 x2 12
⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x2 12
⑷
x1 0, x2 0
⑶
⑷
(4 2)
1 234 56
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
∴ 最 优 解：x1 = 4 ， x2 = 2 有唯一最优解，Z = 14
例二、Байду номын сангаас
max Z x1 2 x2
x1 2 x2 6
3
x1
2 x2 x2
12 2
x1 0, x2 0
例三、
max Z x1 x2
x1 x1
2x2 2 x2 1
x1, x2 0
x2
x2
⑴
无穷多最优解
⑵ ⑶
⑴ x1
⑵ 无界解
x1
例四、
x2
min Z 3 x1 2 x
⑵
2xx11
x2 3x2
c1 c2 cn
有效台时
bi
b1 b2 bm
向 量 形 式：C ( c1 c2 cn )
x1
X
xn
pj
a1 j
amj
b1
b
bm
max (min) Z CX
p j x j (, ) b
X 0
矩阵形式：
a11
A
am1
a1n amn
max (min) Z CX
定理2 标准形线性规划的基本可行解X对应可行域 (凸 集)的顶点(极点).
A= 4 5 0 1 0
3X1+10X2+x5 =300
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
这里m=3,n=5。 Cmn=10
• 基（p3,p4,p5） ，令非基变量x1,x2=0，则 基变量x3=360, x4=200, x5=300, 可行解
• 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变 x x x 量 2=90, 4=－250, 5=－600. 非可行解
AX (, ) b
X
0
3、线性规划的标准形式
max Z CX ①
AX b ②
X
0
③
4、线性规划问题的解
（一）求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。
第1章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming and Simplex Method)
§1一般线性规划问题及其数学模型 §2图解法 §3单纯形法原理 §4单纯形法的计算步骤 §5单纯形法的进一步讨论 §6数据包络分析 §7线性规划应用
§1一般线性规划问题及其数学模型
（一）、问题的提出
1 6
⑴
x1 , x2 0
无可行解
x1
图解法的解题思路和几何上直观得到的一些 结论对于求解一般的线性规划有什么启示?
§3 单纯形法原理
(1)
(2) 几个
1
引理 标准形线性规划问题的可行解X=(x1,x2, ···,xn)T为 基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是 线性独立的.
例二、已知资
设备 A
料如表所示，问 产 品
如何安排生产才
Ⅰ
2
能使利润最大？
或如何考虑利润
Ⅱ
2
大，产品好销。 有 效 台 时 12
模型
max Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
s.t.
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
B C D 利润(元) 140 2 204 3 8 16 12
此为带约束的极值问题
（二）、数学模型
1、 问题中总有未知的变量，需要我们去解决。
要求：有目标函数及约束条件，一般有非负条件 存在，由此组成规划数学模型。
如果在规划问题的数学模型中，变量是连续的 （数值取实数）其目标函数是线性函数（一次方）， 约束条件是有关变量的线性等式或不等式，这样，规 划问题的数学模型是线性的。反之，就是非线性的规 划问题。
⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。
⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 （∣B∣≠0），则B是一个基。
a11 a1m 则称 Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。
B
( p1 , p2, , pm )
am1
amm ∴ Xj 为基变量，否则为非基变量。
⑷ 基本解：满足条件②，但不满足条件③由基