三次函数的单调性与极值问题

三次函数的单调性与极值问题
以函数为载体,以导数为工具,以考查函数性质和导数极值理论 单调性质 几何意义及应用是近年高考导数与函数交汇试题的特点和趋向.其中三次函数问题在高考试卷(特别是文科)里经常出现,其原因是三次函数的导数是二次函数,而二次函数是高中的重要内容.可综合考查导数,函数,方程,不等式等知识.下面对三次函数的单调性,极值问题进行分析,希望对同学们提升解题分析有所帮助和启示.
一、三次函数的单调性问题
设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>，则'2
()32f x ax bx c =++
其判别式∆=22
4124(3)b ac b ac -=-
（1）若∆＞0，即2
3b ac -＞0解方程'()0f x =得两根1x ，2x （假设1x ＜2x ）
当x<1x 或x>2x 时'
()f x ＞0因此()f x 在(-∞，1x )和（2x ，+∞）上为增函数；当1x ＜x ＜2x 时，'()f x ＜0，因此()f x 在（1x ，2x ）上为减函数。

（2）若∆≤0时，即2
3b ac -≤0，则'()f x ≥0在R 上恒成立，因此()f x 在R 上为增函数，由
上述推导，较易得到：三次函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++<
①若2
3b ac -＞0则()f x 在(－∞，1x )和（2x ，+∞）上为减函数，在（1x ，2x ）上为增函数。

②若2
3b ac -≤0时，则()f x 在（-∞，+∞）上为减函数 二．三次函数的图象
由三次函数的单调性，可知三次函数的图象分布情况大致如下：
三．三次函数的极值问题
由上述推导过程知三次函数的极值情况：三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ （1） 若∆=2
2
4124(3)b ac b ac -=-≤0，则f(x)在R 上无极值 （2） 若∆＞0，则f(x)在R 上有两个极值。

当a ＞0时，()f x 在x=1x 处取得极大值，在x=2x 处取得极小值 当a ＜0时，()f x 在x=1x 处取得极小值，在x=2x 处取得极大值
综合上述三次函数问题的探讨，参考其思想方法对三次函数的解决大有帮助。

【例1】（全国卷I ）设a 为实数，函数()()
3221f x x ax a x =-+-在(),0-∞和()1,+∞ 都是增函数，求a 的取值范围。

解：f'(x)=3x 2－2ax+(a 2－1),其判别式△=4a 2－12a 2+12=12－8a 2. (ⅰ)若△=12－8a 2=0,即a=±
62,当x ∈(－∞,a 3),或x ∈(a 3,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在R 为增函数.所以a=±6
2
. (ⅱ)若△=12－8a 2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数,所以a 2>32,即a ∈(－∞,－62)∪(6
2
,+∞)
(ⅲ)若△12－8a 2
>0,即－62<a<6
2,令f'(x)=0,解得x 1=a －3－2a 23 ,x 2=a+3－2a 23
.
当x ∈(－∞,x 1),或x ∈(x 2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x ∈(x 1,x 2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x 1≥0且x 2≤1.由x 1≥0得a ≥3－2a 2 ,解得1≤a<6
2
由x 2≤1得3－2a 2 ≤3－a,解得－62<a<62,从而a ∈[1,62
) 综上,a 的取值范围为(－∞,－
62]∪[62,+∞)∪[1,62),即a ∈(－∞,－6
2
]∪[1,∞). 【例2】（山东卷）设函数f(x)= 3
2
23(1)1, 1.x a x a --+≥其中(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ) 讨论f(x)的极值.
解：由已知得 []'
()6(1)f x x x a =--，令'()0f x =，解得 120,1x x a ==-.
（Ⅰ）当1a =时，'
2
()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增
当1a >时，()'()61f x x x a =--⎡⎤⎣⎦，'
(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：
从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当a=1时，函数f(x)没有极值.
当a>1时，函数f(x)在x=0处取得极大值，在1x a =-处取得极小值3
1(1)a --
【例3】（安徽卷）设函数()3
2
()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）∵()3
2
f x x bx cx =++，∴()2
32f x x bx c '=++。

从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+-- 是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，(,-∞和)
+∞
是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递减区间；所以()g x 在x =
取得极大值，极大值为()g x 在x =
-。

小结导数内容的引入，使三次函数与“二次函数，二次方程，二次不等式有机地结合在一起。

对三次函数的单调性，极值作探究，对提高解题能力大有帮助。