理论力学动力学

自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
dv m dt F
v2
m Fn
0 Fb
质点运动微分方程还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10-3 质点动力学两类问题
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
z
Lz M z (mivi ) mivi ri
miri2 miri2
ri
vi
mi
令：
mi
ri
2
Jz
Jz——刚体对 z 轴的转动惯量
y
[MO (mv)]z M z (mv)
Lo mvr
2. 质点系的动量矩
z
vi
LO MO (mivi )
m2
mi
ri mvi
ri
m1
Lz M z (mivi )
O
y
[LO ]z Lz
x
L mvr 质点系中所有质点对于点O的
动量矩的矢量和，称为质点系 o
对点O的动量矩。
3. 定轴转动刚体对转轴的动量矩
)dt
Fi(e)dt
Fi(i)dt
d (mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
其中： Fi(i)dt 0
dp
Fiedt
d
I (e) i
dp dt
Fi e
p
p0
dp
0t
Fi (e) dt
或：
p p0
I (e) i
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
1动量
质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的乘积
p mv
质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质 点速度的方向一致。其单位为 kg·m/s 或 N·s
质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和，称为 质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。
n
p mivi i 1
根据质点系质心的位矢公式
rC
miri mi
miri m
mvC mivi
p mivi mvC
O vC
O
C
z
mn
m2
m1
C
mi
rC ri
o y
x
vC
C
2冲量 力在作用时间上的累积效应——力的冲量
a. 常力 b. 变力
I Ft
dI Fdt
I 0t Fdt
冲量为矢量，其单位与动量单位相同为 N·s
§11-2 动量定理
A
O
B
解:取滑块B为研究对象.
由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力 如图。
mg F
B
N
x = 2rcos
= t
ax = - 2r2cos max = - Fcos F = - 2 mr2
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度
为u , = 0。分析小球的运动。
解：1、取研究对象画受力图、 确定坐标系 2、建立微分方程 3、求解并分析小球运动
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
dp d(mv) Fdt
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mv mv0 0t Fdt I
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质 点上的力在同一时间内的冲量。
2. 质点系的动量定理
d
(mivi
)
(Fi(e)
F (i) i
例1 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动， 速度为 ，重物v0 中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性 绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
例题1. 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动, OA = AB = r.滑块B的运动方程为x = 2rcos .如滑块B的质量为m, 摩擦及连杆AB的质量不计.求当 = t = 0 时连杆 AB所受的力.
gl
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d2 r m dt2 F
d2 x
m
dt2
X
m
d2 y dt2
Y
m
d2 y d t2
Z
x x(t)
( 式中
y
y(t)
z z(t)
X=max Y=may
3.自然形式
m
d2 s dt2
F
v2 m
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
F n
s
u mg
ma F mg
: ml mg sin : ml2 F mg cos
运动微分方程
分析小球的运动 （微幅摆动）
l g sin 0
sin
g 0
l
2 g
l
2 0
④列出自然形式的质点运动微方程
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G v2 T Gcos
例题2 已知：P， 。求 fmin。
a
解: （1） 取物块为研究对象，
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a ), g
FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
★ 第一定律（惯性定律） ★ 第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
ma F
★ 第三定律（作用与反作用定律）
§10-2 质点运动微分方程的形式
将动力学基本方程(ma F )表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e x
)
py
p0 y
I
(e) y
积 分 形
pz
源自文库
p0 z
I
(e) z
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
1. 质点的动量矩
z
Mo(mv)
B
mv
O
r
h
A(x,y,z)
x
MO (mv) r mv
MO(mv) =mvh=2△OAB
MO(mv)
定位矢量