反比例函数的性质的应用

第 二十六 章 反比例函数

26.1 反比例函数

26.1.2 反比例函数的图象和性质

第2课时 反比例函数性质的应用

情景导入 置疑导入

归纳导入

类比导入

悬念激趣

(1)什么是反比例函数？

(2)反比例函数的图象是什么？有什么性质？ (3)如图26－1－25，哪一个是反比例函数的图象？

图26－1－25

(4)在反比例函数的图象上任取一点，过这一点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积是__|k |__．

[说明与建议] 说明：通过对反比例函数的图象与性质的回顾，加强对反比例函数图象及性质的熟悉程度，为本课更深入探讨反比例函数的性质及综合应用奠定基础．

建议：让学生回顾旧知识以后再做第(3)(4)题，并且针对第(4)题可以先给出一个具体的反比例函数，让学生自主探究、发现问题．

——第9页习题26.1第5题

正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝k

x 的图象有一个交点的纵坐标是2.

(1)当x ＝－3时，求反比例函数y ＝k

x

的值；

(2)当－3＜x ＜－1时，求反比例函数y ＝k

x 的取值范围．

【模型建立】

反比例函数和一次函数的综合题常涉及图象交点、特殊线段、三角形面积等条件， 这些几何图形的边长常常与某些点的坐标有关．这类题体现了在学科内知识交汇处命题的特色．

【变式变形】

1．如图26－1－26，已知一次函数y ＝ax ＋b 和反比例函数y ＝k

x 的图象相交于A ，B 两点，

则不等式ax ＋b >k

x

的解集为(B )

图26－1－26

A ．x <－3

B ．－31

C ．x <－3或x >1

D ．－3

2. 遂宁中考已知：如图26－1－27，反比例函数y ＝k

x 的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象

相交于点A (1，4)，点B (－4，n )．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAB 的面积；

(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围． [答案：(1)一次函数的解析式为y ＝x ＋3 ，反比例函数的解析式为y ＝4

x

(2)S △OAB ＝7.5 (3)－4＜x ＜0或x ＞1]

图26－1－27 图26－1－28

3．大庆中考如图26－1－28，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴交于点A (－2，0)，与y 轴交于点C ，与反比例函数y ＝k

x

在第一象限内的图象交于点B (m ，

n )，连接OB ，若S △AOB ＝6，S △BOC ＝2.

(1)求一次函数的解析式；(2)求反比例函数的解析式． [答案：(1)y ＝2x ＋4 (2)y ＝6

x

]

[命题角度1] 比较反比例函数值的大小

比较大小的方法有两种，一是直接将点的横坐标代入解析式，计算出y 的值，然后比较大小；二是根据反比例函数的性质比较．一定要注意不同象限的情况．

例 安顺中考如果点A (－2，y 1)，B (－1，y 2)，C (2，y 3)都在反比例函数y ＝k

x (k >0)的图象

上，那么，y 1，y 2，y 3的大小关系是(B )

A ．y 1

B ．y 2

C ．y 1

D ．y 3

由双曲线y ＝k

x 上的任意一点向两坐标轴引垂线，所组成的矩形面积为定值|k |，这一点与

垂足及原点所确定的三角形的面积均为定值1

2

|k |.

例 娄底中考如图26－1－29，M 为反比例函数y ＝k

x 的图象上的一点，MA 垂直于y 轴，

垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为__4___．

图26－1－29

[命题角度3] 一次函数与反比例函数的综合应用

反比例函数是中考命题的主要考点， 近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程( 组) 等综合编拟的解答题．其中， 将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向．注意用待定系数法求函数解析式、交点坐标与坐标轴所围成的图形的面积等知识的运用．具体见本课时素材二[教材母题挖掘]．

P 3 练习

1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：

(1)一个游泳池的容积为2000 m 3，游泳池注满水所用时间t (单位：h)随注水速度v(单位：m 3/h)的变化而变化；

(2)某长方体的体积为1000 cm 3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm 2)的变化而变化；

(3)一个物体重100 N ，物体对地面的压强p (单位：Pa)随物体与地面的接触面积S (单位：m 2)的变化而变化．

解：(1)t ＝2000v ；(2)h ＝1000S ；(3)p ＝100

S .

2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？

y ＝4x ，y x ＝3，y ＝－2x ，y ＝6x ＋1，y ＝x 2－1，y ＝1

x 2，xy ＝123.

解： 等式y ＝－2

x ，xy ＝123中的y 是x 的反比例函数．

3．已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝4. (1)写出y 关于x 的函数解析式； (2)当x ＝1.5时，求y 的值； (3)当y ＝6时，求x 的值． 解：(1)y ＝36

x 2；(2)16；(3)±6.

P 6 练习

1．(1)下列图像中是反比例函数图像的是( )