工程经济学第3章 资金的时间价值
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利润 生产
t
t t
资金 原值流通 保Βιβλιοθήκη 箱资金 资金 新值 = 原值
资金 + 时间价值 利息
资金 原值
3.1.2 利息与利率
衡量资金时间价值的尺度 绝对尺度 —— 利息和利润
反映资金的盈利能力
相对尺度 —— 利息率和利润率
反映资金随时变化的增值速度
1。单利与复利
1）单利 —— 只对本金计算利息
In P i n
利息
I F P 1076.89 1000 76.89(元）
2） 名义利率与实际利率
工程经济中，通常是按年记息，但实际生活中有 季、月、周、日记息等多种约定。当记息期数与计 算复利次数不同，就出现名义利率和实际利率。
2。实际利率
一年内按几次记息后的全部利息与本金之比称为实际利率。
i (1 i ) n 内把本利和在每年年末以等额资金 P 取回。 n (1 i ) 1
5。复利系数表的用法 根据已知条件，需要求什么？从表中查出所需的复利系数。 [例4] 某项目资金（万元）流动情况如图所示，求终值、现 值、第四期期末的等额资金（i=10%）。
60 30 0 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 年
（4）可理解为：N点处有一笔资金F，折合到0点（已知利率i） 1 的数值大小为 F 。 n (1 i ) P可称为折现值或贴现值，i称为折现率。
3.3.2 等额分付
1.等额分付终值计算（已知A，求F）
F=？ （1）现金流量图
0 1 2 3 。。。 n-1 n
A （2）计算公式
(1 i ) n 1 F A i
400
200 1200
0
1 500
2 400
3
4
5
6
7
8
9
10 800
1000
3.3 等值的概念
资金的等值概念
在同一个项目系统中，处于不同时间点、数额不同的两 笔（或两笔以上）的资金，按照一定的利率和计息方式，折 算到某一相同时点所得到的资金数额若相等，则称这两笔或 多笔资金是等值的。 资金等值三要素：大小、时间、利率 把将来某时点发生的资金金额折算成现在时点上的等 值金额称为折现。 折算到现在时点的资金价值称为现值。 与现值等价的将来某时点上的资金金额称为终值。 现值+复利利息=终值 现值P与终值F的关系
[例3] 某工程项目建设期为2年，生产期为8年，第1、2年初的 固定资产投资分别为1000万元和500万元。第3年初项目投产并 达产运行。项目投产时需流动资金400万元，于第2年年末投入。 投产后每年获销售收入1200万元，年经营成本和销售税金支出 800万元；生产期最后一年年末回收固定资产残值200万元和全 部流动资金。试画出现金流量图。
Pi P (1 i )i
P (1 i ) 2 i
P (1 i ) N 1 i
F1 P P i P (1 i ) F2 P (1 i ) P (1 i )i P (1 i ) 2
F3 P (1 i ) 2 P (1 i ) 2 i p(1 i )3
16% 12 i乙 （1 ) 1 17.23% 12
∴ 向甲银行贷款比较经济。
3.2 现金流量与现金流量的表达
3.2.1 现金流量
指项目寿命期内，各个时间点上实际发生的 现金流出和现金流入。 现金流入与现金流出的差额称为净现金流量 。
3.2.2 现金流量的表达
现金流量表是反映项目计算期内各年现金流入、 现金流出和净现金流量的表格。 现金流量图是描述现金流量作为时间函数的图 形。它能表示资金在不同时间点流入和流出的情况。 现金流量有三个要素：大小、流向、时间点。
终值-复利利息=现值
等值计算中的参数及其含义
i —— 年利率（折现率） n —— 记息周期数（年）（记息次数） P —— 现值（本金） F —— 终值（本利和） A —— 年值（年金）
把一个时点发生的资金额转换成另一个时点的等值 资金额，这个过程称为资金的等值换算。
资金等值计算公式类型
第三章 资金的时间价值
资本与利息
现金流量
资金等值及换算公式
3.1 资本与利息
3.1.1 资本
资本是一种物质财富，具有潜在的增值功能。 必须参与生产或流通过程
必须有(一个或多个)完整的运动周期 再生产 流通 利润 利息
资金的时间价值的概念
资金的时间价值—是指资金在生产和流通过程中， 随着时间的推移而产生的增值现象，所增值的部分 称为资金的时间价值。 资金时间价值是对放弃现期消费的损失所做的 必要补偿。
（1）单利法的终值（本利和）计算
F P (1 i n)
（2）单利法的现值计算 F P (1 i n)
2）复利 —— 把所生利息加入本金再计利息。
年份 年初金额 年末利息 年末本利和
1 2
3
n
P P (1 i )
P (1 i ) 2
P (1 i ) N 1
0
1
2
3
…
n
年
现金流量图
水平轴称为时间轴，表示从0到n的时间序列。每一刻度 表示一个记息期，可为年、季、月等。0代表时间序列的起 始点，从1到n分别代表记息期的终点（期末）。除0外，每 个数字都有两个含义，如2，既代表第二个记息期的终点， 又代表第三个记息期的始点。 以垂直的箭线表示现金流量，箭头向上表示现金流入， 箭头向下，表示现金流出，箭线的长短与流入或流出的量成 正比。 现金流量位置的确定：以记息期末为时点，除0期外， 每期的现金流量都标在该期的期末。
(3 - 14)
根据式（3-12）变形可得。
i （3）偿债基金系数： ，可记为： ( A / F , i, n) n (1 i ) 1
（4）可理解为：为了在N年末能筹集一笔款项F，按利率i计
i 元钱。 算，从现在起连续n年，每年末必须存 F n (1 i ) 1
3。等额分付现值计算（已知A，求P）
（1）现金流量图
0
A
1 2 3 。。。 n
P=？ （2）计算公式
(1 i ) n 1 P A i (1 i ) n
(3 - 15)
(1 i ) n 1 （3）等额年金现值系数： ，可记为： ( P / A, i, n) n i (1 i )
（4）可理解为：某人开始存入一笔资金P后（利率为i）， 每期期末取出相同的钱A，至n期末资金恰好取完。
12% 12 ) 1126.8(元 ) 12
可见，年实际利率要比年名义利率略大些。这是因为计 息次数增加导致的利息的时间价值产生的。 年实际利率 = 年名义利率 + 利息的时间价值产生的利率
名义年利率12%时的不同实际利率 计息周期 年 半年 季 月 周 日 连续 年计息次数m 1 2 4 12 52 365 ∞ 周期利率r/m(%) 12.00 6.00 3.00 1.00 0.2308 0.03288 —— 年实际利率(%) 12.000 12.360 12.551 12.683 12.736 12.748 12.750
[例2]
有两个贷款方案，甲银行贷款年利率17%，按年计息； 乙银行贷款年利率16%，按月计息。现某企业拟向银行 贷款1500万，5年后一次还清。问向哪家银行贷款比较 经济？
解：
5 F甲 1500 （1 17%） 3288 .67万元
16% 125 F乙 1500 （1 ） 3320 .71万元 12
（2）-（1）得：
F ( 1 i ) F A( 1 i ) n A( 1 i )0
(1 i ) n 1 整理得： F A i
2。等额分付偿债基金计算（已知F，求A）
（1）现金流量图
0 1 2 3 。。。
F
n
A=？
（2）计算公式
i AF (1 i ) n 1
（4）可理解为：0点处的一笔资金P，在n点（已知利率i）
n P ( 1 i ) 处的等值资金F的数值大小为 。
2。整付现值计算（已知F，求P）
（1）现金流量图
0 1 2 3 。。。
F
n
P=？ （2）计算公式
1 PF (1 i ) n
(3 - 11)
1 （3）一次支付现值系数： n ，可记为： ( P / F , i , n ) (1 i )
等额年金现值公式推导： 将 带入
1 PF (1 i ) n
(1 i ) n 1 FA i
(3 - 12)
(3 - 11)
n ( 1 i ) 1 1 可得： P A n i (1 i )
(1 i ) n 1 A n i (1 i )
4。等额分付资本回收计算（已知P，求A）
FN P (1 i ) N 1 P (1 i ) N 1 i P (1 i ) N
（1）复利法的终值（本利和）计算
F P (1 i ) N
（2）复利法的现值计算
P F (1 i ) N
[例1] 向银行存入1000元，年利率2.5%，3年后本利和为多 少？利息是多少？
F A(1 i ) n 1 A(1 i ) n 2 A(1 i )1 A(1 i ) 0
上式两端同乘以（1+i):
F (1 i ) A(1 i ) n A(1 i ) n 1 A(1 i ) 2 A(1 i )1
3。求现值和第四期期末值
P F (1 0.1) 11 169.714 0.3505 59.484(万元） P F ( P / F ,0.1,11) 169.714 0.3505 59.484(万元）
（1）现金流量图
0
A=？
1 2 3 。。。 n
P
（2）计算公式
i (1 i ) n AP (1 i ) n 1
(3 - 16)
根据式（3-15）变形可得。
i (1 i ) n （3）资本回收系数： ，可记为： ( A / P, i, n) n (1 i ) 1
（4）可理解为：以年利率i存入款项为P的资金，在今后n年
解：1。用公式法求终值：
(1 0.1) 4 1 (1 0.1) 6 1 8 7 F 40 (1 0.1) 30 (1 0.1) 60 (1 0.1) 0 .1 0 .1 169.714(万元）
2。用查表法求终值：
F 40( F / A,0.1,4)(F / P ,0.1,8) 30( F / P ,0.1,7) 60( F / A,0.1,6)(F / P ,0.1,1) -40 4.641 2.144 30 1.949 60 7.716 1.10 169.714(万元）
例如：月利率3‰，则实际利率 i实际=（1+3‰）12 -1=3.66% [例1] 设 P=1000元，年利率12%，按年计复利和按月计复利， 一年后的本利和分别是多少？
1 按年计复利： F P (1 i ) 1000(1 12%) 1120(元 )
按月计复利： F P (1 i ) m 1000(1
整付型：指现金流量无论流入流出均在某一时点上发生。
等额分付型：指现金流量流入流出可能在多个时点上发生。
3.3.1 整付型资金等额
1。整付终值计算（已知P，求F）
（1）现金流量图
0 1 2 3 。。。
F=？
n
P
（2）计算公式
F P (1 i ) n
(3 - 10)
n （3）一次支付终值系数： (1 i ) ，可记为： ( F / P, i, n)
解：
1。单利法：
本利和 F P (1 i N ) 1000 (1 2.5% 3) 1075(元） 利息 I P i N 1000 2.5% 3 75(元）
2。复利法
本利和 F P (1 i ) N 1000(1 0.025) 3 1076.89(元）
(3 - 12)
(1 i ) n 1 （3）等额年金终值系数： ，可记为： ( F / A, i, n) i
（4）可理解为：某人连续每期期末存入银行等额资金A， 连续存n期，则N期后能从银行取出钱F。
等额年金终值公式推导： 由于已知现值要求终值，根据公式： F P (1 i ) n 得：
t
t t
资金 原值流通 保Βιβλιοθήκη 箱资金 资金 新值 = 原值
资金 + 时间价值 利息
资金 原值
3.1.2 利息与利率
衡量资金时间价值的尺度 绝对尺度 —— 利息和利润
反映资金的盈利能力
相对尺度 —— 利息率和利润率
反映资金随时变化的增值速度
1。单利与复利
1）单利 —— 只对本金计算利息
In P i n
利息
I F P 1076.89 1000 76.89(元）
2） 名义利率与实际利率
工程经济中，通常是按年记息，但实际生活中有 季、月、周、日记息等多种约定。当记息期数与计 算复利次数不同，就出现名义利率和实际利率。
2。实际利率
一年内按几次记息后的全部利息与本金之比称为实际利率。
i (1 i ) n 内把本利和在每年年末以等额资金 P 取回。 n (1 i ) 1
5。复利系数表的用法 根据已知条件，需要求什么？从表中查出所需的复利系数。 [例4] 某项目资金（万元）流动情况如图所示，求终值、现 值、第四期期末的等额资金（i=10%）。
60 30 0 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 年
（4）可理解为：N点处有一笔资金F，折合到0点（已知利率i） 1 的数值大小为 F 。 n (1 i ) P可称为折现值或贴现值，i称为折现率。
3.3.2 等额分付
1.等额分付终值计算（已知A，求F）
F=？ （1）现金流量图
0 1 2 3 。。。 n-1 n
A （2）计算公式
(1 i ) n 1 F A i
400
200 1200
0
1 500
2 400
3
4
5
6
7
8
9
10 800
1000
3.3 等值的概念
资金的等值概念
在同一个项目系统中，处于不同时间点、数额不同的两 笔（或两笔以上）的资金，按照一定的利率和计息方式，折 算到某一相同时点所得到的资金数额若相等，则称这两笔或 多笔资金是等值的。 资金等值三要素：大小、时间、利率 把将来某时点发生的资金金额折算成现在时点上的等 值金额称为折现。 折算到现在时点的资金价值称为现值。 与现值等价的将来某时点上的资金金额称为终值。 现值+复利利息=终值 现值P与终值F的关系
[例3] 某工程项目建设期为2年，生产期为8年，第1、2年初的 固定资产投资分别为1000万元和500万元。第3年初项目投产并 达产运行。项目投产时需流动资金400万元，于第2年年末投入。 投产后每年获销售收入1200万元，年经营成本和销售税金支出 800万元；生产期最后一年年末回收固定资产残值200万元和全 部流动资金。试画出现金流量图。
Pi P (1 i )i
P (1 i ) 2 i
P (1 i ) N 1 i
F1 P P i P (1 i ) F2 P (1 i ) P (1 i )i P (1 i ) 2
F3 P (1 i ) 2 P (1 i ) 2 i p(1 i )3
16% 12 i乙 （1 ) 1 17.23% 12
∴ 向甲银行贷款比较经济。
3.2 现金流量与现金流量的表达
3.2.1 现金流量
指项目寿命期内，各个时间点上实际发生的 现金流出和现金流入。 现金流入与现金流出的差额称为净现金流量 。
3.2.2 现金流量的表达
现金流量表是反映项目计算期内各年现金流入、 现金流出和净现金流量的表格。 现金流量图是描述现金流量作为时间函数的图 形。它能表示资金在不同时间点流入和流出的情况。 现金流量有三个要素：大小、流向、时间点。
终值-复利利息=现值
等值计算中的参数及其含义
i —— 年利率（折现率） n —— 记息周期数（年）（记息次数） P —— 现值（本金） F —— 终值（本利和） A —— 年值（年金）
把一个时点发生的资金额转换成另一个时点的等值 资金额，这个过程称为资金的等值换算。
资金等值计算公式类型
第三章 资金的时间价值
资本与利息
现金流量
资金等值及换算公式
3.1 资本与利息
3.1.1 资本
资本是一种物质财富，具有潜在的增值功能。 必须参与生产或流通过程
必须有(一个或多个)完整的运动周期 再生产 流通 利润 利息
资金的时间价值的概念
资金的时间价值—是指资金在生产和流通过程中， 随着时间的推移而产生的增值现象，所增值的部分 称为资金的时间价值。 资金时间价值是对放弃现期消费的损失所做的 必要补偿。
（1）单利法的终值（本利和）计算
F P (1 i n)
（2）单利法的现值计算 F P (1 i n)
2）复利 —— 把所生利息加入本金再计利息。
年份 年初金额 年末利息 年末本利和
1 2
3
n
P P (1 i )
P (1 i ) 2
P (1 i ) N 1
0
1
2
3
…
n
年
现金流量图
水平轴称为时间轴，表示从0到n的时间序列。每一刻度 表示一个记息期，可为年、季、月等。0代表时间序列的起 始点，从1到n分别代表记息期的终点（期末）。除0外，每 个数字都有两个含义，如2，既代表第二个记息期的终点， 又代表第三个记息期的始点。 以垂直的箭线表示现金流量，箭头向上表示现金流入， 箭头向下，表示现金流出，箭线的长短与流入或流出的量成 正比。 现金流量位置的确定：以记息期末为时点，除0期外， 每期的现金流量都标在该期的期末。
(3 - 14)
根据式（3-12）变形可得。
i （3）偿债基金系数： ，可记为： ( A / F , i, n) n (1 i ) 1
（4）可理解为：为了在N年末能筹集一笔款项F，按利率i计
i 元钱。 算，从现在起连续n年，每年末必须存 F n (1 i ) 1
3。等额分付现值计算（已知A，求P）
（1）现金流量图
0
A
1 2 3 。。。 n
P=？ （2）计算公式
(1 i ) n 1 P A i (1 i ) n
(3 - 15)
(1 i ) n 1 （3）等额年金现值系数： ，可记为： ( P / A, i, n) n i (1 i )
（4）可理解为：某人开始存入一笔资金P后（利率为i）， 每期期末取出相同的钱A，至n期末资金恰好取完。
12% 12 ) 1126.8(元 ) 12
可见，年实际利率要比年名义利率略大些。这是因为计 息次数增加导致的利息的时间价值产生的。 年实际利率 = 年名义利率 + 利息的时间价值产生的利率
名义年利率12%时的不同实际利率 计息周期 年 半年 季 月 周 日 连续 年计息次数m 1 2 4 12 52 365 ∞ 周期利率r/m(%) 12.00 6.00 3.00 1.00 0.2308 0.03288 —— 年实际利率(%) 12.000 12.360 12.551 12.683 12.736 12.748 12.750
[例2]
有两个贷款方案，甲银行贷款年利率17%，按年计息； 乙银行贷款年利率16%，按月计息。现某企业拟向银行 贷款1500万，5年后一次还清。问向哪家银行贷款比较 经济？
解：
5 F甲 1500 （1 17%） 3288 .67万元
16% 125 F乙 1500 （1 ） 3320 .71万元 12
（2）-（1）得：
F ( 1 i ) F A( 1 i ) n A( 1 i )0
(1 i ) n 1 整理得： F A i
2。等额分付偿债基金计算（已知F，求A）
（1）现金流量图
0 1 2 3 。。。
F
n
A=？
（2）计算公式
i AF (1 i ) n 1
（4）可理解为：0点处的一笔资金P，在n点（已知利率i）
n P ( 1 i ) 处的等值资金F的数值大小为 。
2。整付现值计算（已知F，求P）
（1）现金流量图
0 1 2 3 。。。
F
n
P=？ （2）计算公式
1 PF (1 i ) n
(3 - 11)
1 （3）一次支付现值系数： n ，可记为： ( P / F , i , n ) (1 i )
等额年金现值公式推导： 将 带入
1 PF (1 i ) n
(1 i ) n 1 FA i
(3 - 12)
(3 - 11)
n ( 1 i ) 1 1 可得： P A n i (1 i )
(1 i ) n 1 A n i (1 i )
4。等额分付资本回收计算（已知P，求A）
FN P (1 i ) N 1 P (1 i ) N 1 i P (1 i ) N
（1）复利法的终值（本利和）计算
F P (1 i ) N
（2）复利法的现值计算
P F (1 i ) N
[例1] 向银行存入1000元，年利率2.5%，3年后本利和为多 少？利息是多少？
F A(1 i ) n 1 A(1 i ) n 2 A(1 i )1 A(1 i ) 0
上式两端同乘以（1+i):
F (1 i ) A(1 i ) n A(1 i ) n 1 A(1 i ) 2 A(1 i )1
3。求现值和第四期期末值
P F (1 0.1) 11 169.714 0.3505 59.484(万元） P F ( P / F ,0.1,11) 169.714 0.3505 59.484(万元）
（1）现金流量图
0
A=？
1 2 3 。。。 n
P
（2）计算公式
i (1 i ) n AP (1 i ) n 1
(3 - 16)
根据式（3-15）变形可得。
i (1 i ) n （3）资本回收系数： ，可记为： ( A / P, i, n) n (1 i ) 1
（4）可理解为：以年利率i存入款项为P的资金，在今后n年
解：1。用公式法求终值：
(1 0.1) 4 1 (1 0.1) 6 1 8 7 F 40 (1 0.1) 30 (1 0.1) 60 (1 0.1) 0 .1 0 .1 169.714(万元）
2。用查表法求终值：
F 40( F / A,0.1,4)(F / P ,0.1,8) 30( F / P ,0.1,7) 60( F / A,0.1,6)(F / P ,0.1,1) -40 4.641 2.144 30 1.949 60 7.716 1.10 169.714(万元）
例如：月利率3‰，则实际利率 i实际=（1+3‰）12 -1=3.66% [例1] 设 P=1000元，年利率12%，按年计复利和按月计复利， 一年后的本利和分别是多少？
1 按年计复利： F P (1 i ) 1000(1 12%) 1120(元 )
按月计复利： F P (1 i ) m 1000(1
整付型：指现金流量无论流入流出均在某一时点上发生。
等额分付型：指现金流量流入流出可能在多个时点上发生。
3.3.1 整付型资金等额
1。整付终值计算（已知P，求F）
（1）现金流量图
0 1 2 3 。。。
F=？
n
P
（2）计算公式
F P (1 i ) n
(3 - 10)
n （3）一次支付终值系数： (1 i ) ，可记为： ( F / P, i, n)
解：
1。单利法：
本利和 F P (1 i N ) 1000 (1 2.5% 3) 1075(元） 利息 I P i N 1000 2.5% 3 75(元）
2。复利法
本利和 F P (1 i ) N 1000(1 0.025) 3 1076.89(元）
(3 - 12)
(1 i ) n 1 （3）等额年金终值系数： ，可记为： ( F / A, i, n) i
（4）可理解为：某人连续每期期末存入银行等额资金A， 连续存n期，则N期后能从银行取出钱F。
等额年金终值公式推导： 由于已知现值要求终值，根据公式： F P (1 i ) n 得：