材料力学第六章6

例题6-2： 设 1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示， l1 = l2 = l， 例题 ： 、 、 三杆用绞链连结，如图所示， A1 = A2 = A, E1 = E2 = E，3 杆的长度 l3 ，横截面积 A3 ，弹性模 ， 试求在沿铅垂方向的外力P作用下各杆的轴力 量 E3 。试求在沿铅垂方向的外力 作用下各杆的轴力。 试求在沿铅垂方向的外力 作用下各杆的轴力。
MB = −31.80KN.m
由平衡方程可求得其余 反力 A
20KN
m
MB
30K N C D
RA = 32.05KN RB = 66.35KN R =11.6KN C
在基本静定系上绘 出剪力图和弯矩图
(d)
B
32.05 18.40
(c)
+ 1.603m
+ 11.64 47.95 31.80
+
25.68
B1 C1
1
B C a a
三个未知轴力 2个独立平衡方程 一次超静定问题
A1
2 l
A
Δ e
C"
C1
3
几何相容条件： 几何相容条件： 三杆变形后的端点在同一直线上
∆l1 = ∆l 2
B1 C1
1
B C
A1
2
A
l
C1
∆l 3
Δ e
C"
得补充方程
N3 l N1l =∆e E A E3 A 3
3
变形几何方程： 变形几何方程： 物理关系： 物理关系：
二、装 配 应 力
B 1 α
D 3 α 2
C
l
A′
δ
这种附加的内力就称为装配内力。 这种附加的内力就称为装配内力。 装配内力
A
与之相对应的应力称为装配应力 与之相对应的应力称为装配应力。 装配应力
例题6 两铸件用两根钢杆1 连接，其间距为L=200mm L=200mm。 例题6-3 ：两铸件用两根钢杆1、2连接，其间距为L=200mm。 现要将制造得过长了∆e=0.11mm的铜杆 装入铸件之间， 的铜杆3 现要将制造得过长了∆e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保 持三根杆的轴线平行且等间距a 试计算各杆内的装配应力。 持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。 已知： d=10mm，铜杆横截面积为20 30mm的矩形 20× 的矩形， 已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为20×30mm的矩形， 钢的弹性模量E=210GPa 铜的弹性模量E =100GPa。 E=210GPa， 钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很 其变形可略去不计，故可看作刚体。 厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。
∆l T
三、温度应力
∆l = ∆lT − ∆l N = 0
l 物理关系： 物理关系： ∆l N = N E A
A
B′
T ∆lT = α⋅Δ ⋅ l
得温度内力
∆l N
A B
N = α⋅ EA⋅ ∆T P1
A
P2
B′
温度应力 σ N = α⋅ E ⋅ ∆T =
6-3.扭转超静定问题
已知扭转刚度 GIp ，求杆两端的支反力偶矩
3 20×4 MB ×4 − θ B'= − 24EI 3EI
A
= −(
1280 4MB + ) 24EI 3EI
20 KN
m
MB
30KN
′′ θB =
42 5MB + EI 3EI
A
θ B'
C 带入上式，得 带入上式， D B
θ B"
MB = −31.80KN.m
与假设方向相反。 与假设方向相反。
例题 6.12
图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连 接.在截面C上_____. D
q
B
A
L2
C
L2
A. 有弯矩，无剪力； 有弯矩，无剪力； B. 有剪力，无弯矩； 有剪力，无弯矩； C. 既有弯矩又有剪力； 既有弯矩又有剪力； D. 既无弯矩又无剪力； 既无弯矩又无剪力；
一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的 在水平刚性横梁的B端作用 2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示 在水平刚性横梁的 端作用 有载荷F,垂直杆 的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横 有载荷 垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为 若横 垂直杆 的抗拉压刚度分别为 例题 6.1 的自重不计,求两杆中的内力 梁AB的自重不计 求两杆中的内力 的自重不计 求两杆中的内力. 解： 平衡方程： 平衡方程 方程：
4 3
B
FN
a
FN
C
a
FN
D
FNa3 ωC = 3EIZ
q
A
2a
∆LBC =
3
FN a EA
2qa3 A FN = 2 3a A+ IZ
B
FN
FN a3 FN a q(2a) FN (2a) − = + 8EIZ 3EIZ 3EIZ EA
4
例题 6.8
所示梁的支反力， 求图 a 所示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩 图。已知 EI = 5× 3 K .m N 2 10 变形协调条件 30KN 20 KN m 几何方程： 几何方程： θ B'=θ B" B 4m 3m C D 2m 物理关系： 物理关系：
MA
Me Me
例题 6.5
MB
平衡方程： 平衡方程：
B
A
L L L
MA + MB = 0
几何方程： 几何方程：
物理方程，补充方程： 物理方程，补充方程：
MAL MA − Me L MAL + + GIp GI p GIp
解得： 解得：
(
)
ϕBA = 0
=0
Me MA = −MB = 3
6-4.简单超静定梁
求图示梁的支反力及剪力图和弯矩图
q
A
ωB1 +ωB2 = 0
1 m A = ql 2 8
3 qL4 FBL − =0 8EIZ 3EIZ
3 FB = ql 8
EI Z
L q
B
q
3 FB = ql 8
F B
A
EI Z
L
B
A 5 FA = ql 8
5 ql 8
B
L
q
A
EI Z
B
l
ω B1
1 2 ql 8
N3 =
P 2EA 3 1+ cos α E3A 3
解超静定问题的步骤： 解超静定问题的步骤：
静力学平衡方程 变形几何方程 物理关系 补充方程 求解
根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个 根椐变形相容条件建立变形几何方程。 变形几何方程 数与超静定次数相等。 数与超静定次数相等。 将变形与力之间的关系（物理关系） 将变形与力之间的关系（物理关系）代入变形几何方程得 补充方程。 补充方程。 联立补充方程与静力平衡方程求解。 联立补充方程与静力平衡方程求解。
第六章
简单的超静定问题
q
A
B
1.超静定问题及其解法 由平衡方程即可解出全部未知力, 由平衡方程即可解出全部未知力, 静定问题, 这类问题称为静定问题 这类问题称为静定问题,相应的结构称 静定结构. 为静定结构.
l
仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题, 仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题, 相 超静定问题 应的结构称为超静定结构 超静定结构. 应的结构称为超静定结构. 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束, 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束, 对于保 证结构平衡却是多余的,故称为多余约束 多余约束. 证结构平衡却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数. 超静定次数 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三 平衡 个方面. 个方面.
y
1 α
3 α
2
B
1
D
3 α α 2
C
N1
N3
αα
N2
A x
Δl1
A P' A 平衡方程为 平衡方程为
N1 = N2
A
Δl 3
αα
P
A'
Hale Waihona Puke Baidu
补充方程为
N1 = N3 EA E3 A3 cos α
2
+ + N1cosα N2 cosα N3 − P = 0
解得
N1 = N 2 =
P E3 A3 2 cos α + EA cos2 α
σ1 =
F1 N 超静定问题中， = 74.53M （ ） 超静定问题中，杆件尺寸 Pa 拉 A 的微小误差， 的微小误差，会产生相当 F 可观的装配应力。 σ3 = N3 =19.51M （ ） 可观的装配应力。 Pa 压 A 3
∆e=0.11mm
预应力钢筋砼构件
例6-4 图示等直杆 AB 的两端分别与 刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长） ， 刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面 面积为 A，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为 α 。试求温度 ， ， 时杆内的温度应力 升高 ∆T时杆内的温度应力 时杆内的温度应力。 A B 解： 变形几何方程： 变形几何方程： l
y 1 3 α α 2
B
1
D
3 α α 2
C
N3
N2
N1
αα
A x
Δl1
A
A
Δl 3
αα
P
P' A A' 相容条件：变形后三杆仍绞结在一起﹗ 相容条件：变形后三杆仍绞结在一起﹗ 平衡方程 方程： 解： 平衡方程： 变形几何方程： 变形几何方程： ∆l1 = ∆l3cos α N1 = N2 物理关系： 物理关系： N1l l cosα + + N1cosα N2 cosα N3 − P = 0 = = N3 ∆l1 ∆l3 EA E3 A3
1
A
C
L1
2
∑M
A
=0
B
FN1a + FN2 (2a) − F(2a) = 0
变形协调方程
a
FN1
A C
a
F
FN2
∆L 1
a
a
B ∆L2
2∆L = ∆L2 1
FN1L FN2L 2 = E1A1 E2 A2
4F FN2 = 4 + E1A E2 A2 1
F
2F FN1 = 1+ 4E2 A2 E1A 1
kN
3 ql 8
ωB2
A
EI Z
B
F B
l
9 2 ql 128
kNm
例题 6.7
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
几何方程： 几何方程：
D
ωB = ωC + ∆LBC
C
q
A
2a
a
物理关系： 物理关系：
q(2a) FN (2a) ωB = − 8EIZ 3EIZ
∆l1 + ∆l3 = ∆e N1l N3 l ∆l3 = ∆l1 = E3 A 3 EA
补充方程
N3 l N1l =∆e E A E3 A 3
N1
N3
B'
C'
x
列平衡方程
N1 = N2
N3 − N1 − N2 = 0
N2
A'
联立三式，可得装配内力，进而求出装配应力。 联立三式，可得装配内力，进而求出装配应力。
+
23.28
作业
6－11，15(b)，18
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁 的多余约束力与变形协调条件的讨论中, 哪个是错误的.
F
Me
C
A
C1 FC1
B FB
D
A. 若取支反力FB为多余约束力，则变形协调条件是ωB=0; 若取支反力F 为多余约束力，则变形协调条件是ω B. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力， 为梁在C截面的挠度 等于弹簧的变形。 截面的挠度ω 为梁在 截面的挠度 c等于弹簧的变形。 C. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， 变形协调条件为C 面的铅垂线位移∆C 变形协调条件为 1面的铅垂线位移 1=0; D. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， 变形协调条件为C 面的铅垂线位移∆C 等于弹簧的变形; 变形协调条件为 1面的铅垂线位移 1等于弹簧的变形