华师大版八年级上数学定理与证明

证明：∵ ∠１=∠２ (已知)，
∠3=∠2 (对顶角相等)， ∴ ∠1=∠３ (等量代换).
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
l3
)3 2( B
l2
)1
l1
A
【注意】如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、 定理、性质等直接进行证明了.如果要证明一个文字语言叙述的 证明题,而没有给出图形、 已知、求证, 我们要证明这个命题, 必须: 1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母. 2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求 证.
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
又∵∠C=90°（已知），
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我
们把它也作为定理.
方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基 本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代 换也可以作为推理的依据.
基本事实、定理、命题的关系：
真命题 命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
【思考】
（1）一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3， 2×3+1=7， 2×3×5+1=31， 2×3×5×7+1=211，
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论： 从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定 也是质数.他的结论正确吗？
在七年级的时候我们学习了平行线的有关性质及其 判别方法,哪位同学能说出它的性质和判别方法?
现在我们就用演绎推理的方法来证明下面的判别方法: 【例2】 内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1、l2交于点Ａ, 点Ｂ，且∠１=∠２.
求证：l1∥l2.
l3wenku.baidu.com
１(
)3 B
l2
)２ A
l1
你能根据图写出此定 理的已知和求证吗？
1.证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC．
E
求证：OE⊥OF．
分析：要证明OE⊥OF，只要证明 ∠EOF＝ 90°，即∠1＋∠2＝ 90°即 A
可． 证明：∵OE平分∠AOB，
∴∠1＝
1 2
∠AOB.
∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝1 ∠BOC.
×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满 足这一规律？
这是一个正确的结论.
【探讨】上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不
正确.
【定义】根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过 演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程 叫做证明.
A
【例1】 证明命题：直角三角形的两个锐角互余.
2 定理与证明
基本事实
例如： 1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行； 3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
定理
例如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位 角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的,它也可 以作为判定平行线的依据.
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1， 你发现了什么？
（2）如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b时，a2＞ b2.这个命题是真命题吗？
不正确，因为3>-5,但是32<(-5)2 . （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边
形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）
2
∴∠1 ＋ ∠2 ＝ 1 （ ∠AOB ＋
＝1
2
∠AOC
＝1
2
2
×180°＝90°.
∴OE⊥OF（垂直定义）．
O
∠BOC
B F C
）
2.用演绎推理证明下面的定理：
（1）同旁内角互补两直线平行； （2）三角形的外角和等于360°.
课堂总结
基本事实
定理与证明 定理的概念 概念
证明：
步骤：(1)根据题意作出图形； (2)写出已知和求证； (3)写出证明的过程