第十章 期权定价

1 r
由一期模型得到的Cu, Cd,代入上式有:
p Cuu p 1 p Cud p 1 p Cdu 1 p Cdd C=
2 2
1 r
2
C=
p 2Cuu p 1 p Cud p 1 p Cdu 1 p Cdd
Black-Scholes公式 经典的Black-Scholes期权定价公式是 对于欧式股票期权给出的。其公式为
C (S , T ) SN (d1 ) Ke
rT
N (d 2 ),
C (S , T ) 其中T是到期时间，S是当前股价， 是作为当前股价和到期时间的函 数的欧式买 入期权的价格.
第三节 BS期权定价公式
布莱克-斯科尔斯期权定价模型被学术界公 认为是20世纪金融领域最具开拓型的贡献。 1997年，斯科尔斯获得诺贝尔经济学奖。 BS模型最大的优点是相当容易计算，而且 计算出来的定价比较合理可靠。所以被广 泛的应用于各种形式的期权定价。
一、假设前提
期权为欧式期权 资产价格遵循连续随机过程 不支付现金股利 收益率呈对数正态分布
2
Cud max(0, udS X ) 2 Cdd max(0, d S X )
从另一个角度看, 上式表明:期权价值等于在风险中 性概率下二期收益的期望值折现。
练习
一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率 是10%，现在我们要找出一份3个月期协议 价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 （不考虑连续利率 ）
二叉树期权定价模型的优点是比较直观， 而且具有很大的灵活性，不管基础资产的 价格运动服从何种分布，它都能适用。就 期权而言，不管是看涨的还是看跌的，欧 式的还是美式的，支付股利的还是不支付 股利的，该模型都能适用。
从表面上看，二叉树模型似乎有一个不足， 即假设每一期股票价格变动的可能性只有 两种，而在现实中，股票的价格可谓千变 万化。但实际上，完全可以通过增加期数 来扩大股票价格变动的范围，从而使二叉 树定价模型更加准确的反映金融市场的运 行情况。
6、基础资产的股利或利率 基础资产的现金收入越多，则买入期权价 值越低。一种资产的所有回报包括现金收 入（股利或者息票利率）加上价格升值。 假如总回报率一定，则一种资产的现金收 入越多意味着从价格升值中获得的收入越 少。只有当基础资产的价格上升时，买权 买方才能获得收入，因此基础资产的现金 收入越高，则会减少资本利得和降低买权 的价值。
2

1 r
2
实际上,上式是两次应用一期模型定价公式得到的, 括号中是 ( pCu (1 p)Cd )2 的二项展式，只不过 分别用二期之后期 权 可能取得的三个值 Cuu Cud Cdd 代替,它们分别是：
Cu Cu , CuCd , Cd Cu , Cd Cd
Cuu max(0, u S X )
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ， 求C。 注1. 由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22.
S-mC=21-1 1.869565=19.13
uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
买权、卖权、股票价格以及无风险利率是 互为联系的金融变量。 考虑两个组合： A:1份行使价格为SP的欧式买权和价值为 SPe-r(T-t)的现金。 B: 1份行使价格为SP的欧式卖权和一手股 票。
第二节 二叉树期权定价法
假设条件： 股票市场是有效的 存在股票的卖空机制，但不存在套利机会 股票和期权合约的买卖不涉及交易成本， 也不考虑税收 市场参与者可按已知的无风险利率无限制 的借入借出资金
C=
S 1 r u mCu m 1 r
将m的值代入时,有 (m称为套期保值率hedge ratio)
1 r d u (1 r ) Cu u d Cd u d C 1 r
d

e
y2 2
dy
图1
期权价格曲线随到期时间T的变化
Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。 例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉 及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实 际上都是近似等号）
Ke
rT
15e
0.1( 0.25)
令
1 r d p= ud
u 1 r 1-p= ud
1 r
pCu 1 p Cd C
p称为套期保值概率。
事实上,若投资者是风险中性，则有
(1 r )S quS (1 q)dS
由此得
1 r d q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
2 1 S d1 log (r )T 2 T K
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d 2 d1 T
K是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时） 收益率， 称为股价的波动率{volatility ,这是一个 需要测算的参数}

N称为累积正态分布函数，定义为
N (d )
1 2

1、基础资产的价格 买权价值与基础资产价格有正相关关系。 基础资产价格越高，买权的价值就越大。 2、执行价格 买权价值与执行价格有负相关关系。执行 价格越低，则买权的价值就越高。在其他 条件不变的情况下，较低的执行价格意味 着买权更容易位于价内（in - the -money）。
3、到期日的远近 买权的价值在到期日前是时间的正函数。 离到期日越长，买权的价值就越高，原因 是买权的所有者有更多时间使其期权位于 价内。
注2. 此套期保值的证券组合为买一份股票,卖一份 看涨期权. 注3. 投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.
注4. 由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券 的回报率. 如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合 的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机 会就存在.
（二）以股票为标的期权价格
设股票价格S=21，股票价格以q=0.5的概率向上和 向下波动，无风险利率为0.15，1+r=1.15，u=1.4， d=1.1。
设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格 为22,则
q
C
Cu max(0, uS X ) 7.4
1-q
Cd max(0, dS S ) 1.1
四、美式卖权的提前行使
与买权不同，卖权的提前行使可能是更有 利的。 一般说来，随着股票价格的较少，无风险 利率的增加和股票价格的波动率的减少， 提前行使卖权就更有利。这是因为无风险 利率的增加提高了现在不转换为现金的成 本，波动率的减少降低了在以后的时间里 期权能更加获利的可能性。
五、卖权与买权之间的平价关系
4、基础资产的价格波动性 基础资产价格波动性越高，则买入期权的 价值就越高，用为这与期权买方的收入对 称。基础资产价格的离差越大，意味着在 上升情况下期权的收入更大，而在下降情 况也有同样的损失（没有收入），这使得 期权的价值越大。
5、无风险利率 利率越高，买权的价值越大。如果买权的 买方购买了期权而不是基础资产，则节约 的资金可以投资于当前利率更高的工具。
14.6296
d1
2 log(18 /15) 0.1 (0.15) (0.5) 0.25
0.15 0.25
0.21013 2.8017 0.075
d 2 d1 0.15 0.25 2.7267
把这些值代入公式，得到:
C 18N (2.8017) 15e
（二）卖权的上限 美式卖权的最大价格是其行使价格，而欧 式期权的最大价格应该是其行使价格的贴 现值。
二、买权与卖权的下限
（一）买权的下限 对于美式买权，由于随时都可以行使，因 而它的最小价值一定是期权的内在价值。 对于欧式买权，下限需要通过构造一个资 产组合来估计。
（二）卖权的下限 对于美式买权，由于随时都可以行使，因 而它的最小价值一定是期权的内在价值。 对于欧式买权，下限需要通过构造一个资 产组合来估计。
第十章 期权定价
两种期权定价方法
二叉树期权定价模型 布莱克-斯科尔斯期权定价模型 无套利原则
第一节 期权价格的上下限
一、买权与卖权的上限 （一）买权的上限 如果买权的价格大于股票价格，则套利者 可以通过购买股票并卖出买权，获得无风 险利润。可见，在任何情况下，期权的价 值都不会超过股票的价格。
影响期权价值的因素
变量上升
股票价格 到期时间
买权价值
上升 上升
卖权价值
下降 上升
股票波动性
无风险利率 执行价格 股利
上升
上升 下降 下降
上升
下降 上升 上升
第四节 新型期权
随着金融全球化运动的发展以及金融市场 的完全化，金融衍生工具的发展出现了许 多新的特点和新的品种。新型期权或奇异 期权，通过将标准期权的条件进行变更， 使其更适合某些客户或某种情况的特殊要 求。
一、期权定价的一期模型
Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在 无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的
股票价格只取两种可能的值。
先讨论一期模型 ： （一）股票价格的一期变化规律
注: 条件 u > 1 + r > d 必须成立,否则可能出现套利 机会。
期权定价公式三个有趣的性质： 1.期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资 者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能接受 与u， d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身是 引起投资者对q的不同判断的根源。
2. 投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结 果只假设人们偏好更多的财富。
3. 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。
二、期权定价的二期模型 为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型 设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投 资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为S， 与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套 期保值证券组合,从而得到：
pCu 1 p Cd C
三、美式买权的提前行使
对于美式买权，提前行使期权不是最好的 选择。 1、如果投资者计划在期权的有效期内持有 股票，则提前行使期权不是最好的选择。 2、即便在投资者认为股票价格被高估的情 况下，提前行使期权仍然不是最好的选择。
对于买权不应提前行使的原因，有两个理 由。 1、期权能够提供保险。当投资者持有买权 而不是持有股票时，买权保证持有者在股 票价格下降到行使价格之下时不受损失。 2、由于货币的时间价值，越晚支付等于行 使价格的货币越好。
对此期权如何定价是合理的? 为了解决此问题, 构造一个无风险套期保值的证券组合：
购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期 末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合 条件，我们有：
uS mCu dS Cd
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有： （1+r)(S-mC）=uS-mCU
0.1( 0.25)
N (2.7267)
利用累积正态函数在点2.8017和2.7267处的 近似值，买入期权的价格是3.3749，即
C 18(0.997) 14.6296(0.996) 3.3749
更精确的计算可得:
C 3.3714
期权价格的决定因素： 主要有：基础金融资产的价格，期权的行 使价格，无风险利率，到期时间，基础金 融资产的易变性。