等比数列及其前n项和(讲义及答案)

1

n n m

n k k +m k +2m

， n a 等比数列及其前 n 项和（讲义）

知识点睛

一、等比数列 1. 等比数列的概念

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q (q ≠ 0) 表示．

（1） 等比中项

n -1

（2） 等比数列的通项公式： a n = a q ．

2. 等比数列的性质

（1） 通项公式的推广： a = a q n -m (m ，n ∈ N * ) ． （2） 若{a }是等比数列，且k +

l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k ⋅a l = a m ⋅a n ．

（3） 若{a }是等比数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *

) 组成公比为q m 的等比数列．

（4） 若{a }是等比数列，则{λa }，{| a |}

，{ 1

}，{a 2 } 也是 n

等比数列．

n n n

n （5） 若{a } ， {b } 是等比数列，则{a ⋅b } {

a

} 也是等比

n

n

n

n

n

数列．

（6） 当数列{a n }是各项均为正数的等比数列时，

数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列．

b

⎩ ⎩

⎩ ⎩ ⎩ 二、

等比数列的前 n 项和公式

1. 对于等比数列

当q ≠ 1时， a 1 ， a 2 ， a 3 ，…， a n ，…

a (1- q n

)

a - a q

它的前 n 项和的公式为S n

当q = 1 时，

= 1 或S 1- q n = 1 n ． 1- q

它的前 n 项和的公式为S n = na 1 ． 推导过程：错位相减法

2. 等比数列各项和的性质

（1） 若S m ， S 2m ， S 3m 分别是等比数列{a n }的前 m 项，前 2m

项，前 3m 项的和，则 S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等比数列， 其公比为q m ．

（2） 等比数列的单调性

①当⎧a 1 > 0 或⎧a 1 < 0 时，{a }是递增数列；

⎨q > 1 ⎨0 < q < 1 n

②当⎧a 1 > 0 或

⎧a 1 < 0

时，{a }是递减数列； ⎨0 < q < 1 ⎨q > 1 n

③当⎧a 1 ≠ 0 时，{a }是常数列；

⎨q = 1 n ④当q < 0 时，{a n }是摆动数列．

精讲精练

1. 设{a n}为等比数列，且2a4=a6-a5，则公比是（）

A．0 B．1 或-2 C．-1 或2 D．-1 或-2

2. 等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5>a2，则a n=（）

A．(-2)n-1B．-(-2)n-1C．(-2)n D．-(-2)n

3.设a ，a ，a ，a 成等比数列，其公比为2，则2a

1

+a

2 的值

1 2 3 42a +a 为（）

A.1

4

B.

1

2

C.

1

8

3 4

D．1

4. 在等比数列{a n}中，a n>0，且a2=1-a1，a4=9-a3，则a4+a5

的值为（）

A．16 B．27 C．36 D．81

5. 已知{a n}为等比数列，a

（）4

+a

7

= 2 ，a

5

a

6

=-8 ，则 a

1

+a

10

=

A．7 B．5 C．-5 D．-7 6. 已知{a n}是等比数列，且a n>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，

那么a

3 +a

5

的值为（）

A．5 B．-5 C．±5 D．25

7.已知数列{a }满足3a+a = 0 ，a =-4

，则{a }的前10 项

n

和等于（）

n+1 n 2 3 n

A．-6(1- 3-10 ) C．3(1- 3-10 ) B．

1

(1- 3-10 )

9

D．3(1+ 3-10 )

8.S= 1+ (1+1

) + (1+

1

+

1

) +…+ (1+

1

+

1

+…+

1

) =（）

n 2 2 4 2 4 2n-1

A．n

B．n+

2n

1

2n-1

C．2n - 2 +

1

2n-1

D．

n -1

2n-1

9.各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n ，若S n = 2 ，

S 3n =14 ，则S

4n

=（）

A．80 B．30 C．26 D．16