实验步骤：中国人口预测的模型选择

Case1 中国人口预测的模型选择

2016.9.21 X4243

实验目的：

通过本次实验，理解可线性化的非线性回归的基本原理；明确指数模型、对数模型、幂指数模型、双曲线模型、抛物线模型、正态分布模型等常用的非线性数学模型；掌握这些模型的数学表达式和变换为线性关系的数学转换方法，利用最小二乘技术进行回归运算；比较各非线性数学模型间的差异，利用相关系数检验、F检验和DW检验评估整个模型，为观测数据选配最可取的非线性分析或预测模型。

实验数据：

中国人口时间序列（1949－2000）.xls

实验软件：

Excel和统计软件SPSS；

在电子表格Excel 里就可以开展工作，复杂的数学计算可以借助于数学软件Mathcad，大型的统计分析可以借助于统计软件SPSS

实验原理：

线性模型在现实中比较少出现的，大量的规律都表现为非线性模型。线性模

型不仅处理线性问题，主要是处理线性化的非线性模型；线性线性是简单的比例关系，要求各个自变量彼此独立，才能利用最小二乘技术求线性模型的参数；而非线性则是对简单比例关系的偏离，各变量相互作用。

指数模型、对数模型、幂指数模型、双曲线模型、抛物线模型、正态分布模型等常用的非线性数学模型，可以借助对数变换或者变量替换表示为线性函数形式；本实验主要利用线性函数、指数函数、双曲线函数和Logistic 增长函数的线性化模型预测中国人口。

开展一般的回归分析，首先要作散点图（scatter plot ），然后选择表达式，最后采用适当的拟合方法。预测结果不能出现违背基本逻辑的结论，同时预测结果要有现实意义。

实验内容：

注：有一些模型，如指数模型、Logistic 模型等，采用时序为自变量比较容易表示；为了处理方便，首先定义一个代表时序的变量

01949

k t t t =-=-

式中t 表示年份，t0=1949表示初始年份，显然，k=0，1，2，…，51表示时序。

DW 检验即Durbin-Watson 检验，又叫残差序列相关检验。

12

2

1()n

i i i n

i

i DW εεε

-==-=∑∑ （i ε表示残差）

利用三点法计算Logistic 增长函数的人口饱和值m P ，取三个等间隔的时序点（a t ,()a P t ）、（b t ,()b P t ）、（c t ,()c P t ），则m P 可以表示为：

22()(()())2()()()()()()b a c a b c m b b c P t P t P t P t P t P t P P t P t P t +-=- （2a b c t t t =+）

第一步，考察中国人口变化的散点分布是否具有线性特征（线性回归）。 1. 打开中国人口时间序列（1949－2000）.xls ，选中表中的数据，单击插

入 散点图。

2.右键单击数据→添加趋势线。

3.设置坐标轴的起始值，右键单击坐标轴→设置坐标轴格式。

中国人口的准线性变化趋势

4.添加分析工具库，文件→Excel选项，选择Excel选项框中的加载项→

分析工具→转到（加载宏）→分析工具库→确定。

5.回归分析，数据 数据分析，在数据分析框中选择回归，单击确认打开回归窗口。

6. 在回归窗口，单击红色箭头选择X 、Y 值输入区域，选择残差、置信度等，单击确

定进入回归分析。

7. 利用回归分析的结果计算DW 检验值：

12

2

1()n

i i i n

i i DW εεε-==-=∑∑ （i ε表示残差）

第二步，采用各种可能的非线性模型进行回归分析，看看是否可以拟合某种简单的非线性函数。

1.中国人口变化的指数函数拟合。

指数模型、Logistic 模型等，采用时序为自变量比较容易表示，为了处理方便，首先定义一个代表时序的变量

k = t - t0 = t - 1949

1.中国人口变化的指数函数拟合结果

2.中国人口变化的双曲函数拟合（先进行线性化，再拟合）。

中国人口变化的双曲函数拟合结果

3. 利用回归分析的结果计算DW 检验值： 第三步，中国人口变化Logistic 增长函数拟合。

1. 利用三点法计算Logistic 增长函数的人口饱和值m P ，取三个等间隔的

时序点（a t ,()a P t ）、（b t ,()b P t ）、（c t ,()c P t ），则m P 可以表示为：

22()(()())2()()()()()()

b a

c a b c m b b c P t P t P t P t P t P t P P t P t P t +-=- （2a b c t t t =+）

2. Logistic 增长函数线性化拟合。

3. 利用回归分析的结果计算DW 检验值：

第四步，三个预测模型的比较。

三个预测模型的比较图

指数模型人口预测值计算公式：51571.89+1507.53*(A2-1949)

双曲线模型人口预测值计算公式：3066101.819-(5875946062.724/A2) Logistic 模型人口预测值计算公式：183075/(1+2.476*EXP(-0.034*(A2-1949)))