2020贵州省铜仁市中考数学试卷及答案解析
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2020年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)本题每小题均有A、B、C、D 四个备选答案,其中只有一个是正确的,请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上1.(4分)3
-的绝对值是()
A.3
-B.3C.1
3
D.
1
3
-
2.(4分)我国高铁通车总里程居世界第一,预计到2020年底,高铁总里程大约39000千米,39000用科学记数法表示为()
A.3
3910
⨯B.4
3.910
⨯C.4
3.910-
⨯D.3
3910-
⨯
3.(4分)如图,直线//
AB CD,370
∠=︒,则1(
∠=)
A.70︒B.100︒C.110︒D.120︒
4.(4分)一组数据4,10,12,14,则这组数据的平均数是()
A.9B.10C.11D.12
5.(4分)已知FHB EAD
∆∆
∽,它们的周长分别为30和15,且6
FH=,则EA的长为( )
A.3B.2C.4D.5
6.(4分)实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是()
A.a b
>B.a b
-<C.a b
>-D.a b
->
7.(4分)已知等边三角形一边上的高为23()
A.2B.3C.4D.43
8.(4分)如图,在矩形ABCD中,3
AB=,4
BC=,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D,设点P运动的路程为x,ADP
∆的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是()
A.B.
C.D.
9.(4分)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x 的一元二次方程2620
x x k
-++=的两个根,则k的值等于()
A.7B.7或6C.6或7-D.6
10.(4分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,1
BE=,45
DAM
∠=︒,点F在射线AM上,且2
AF=,过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相
交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论:①ECF
∆的面积为17
2
;②AEG
∆的周长为8;
③222
EG DG BE
=+;其中正确的是()
A.①②③B.①③C.①②D.②③
二、填空题:(本题共8个小题,每小题4分,共32分)
11.(4分)因式分解:2a ab a +-= . 12.(4分)方程2100x +=的解是 .
13.(4分)已知点(2,2)-在反比例函数k y x
=的图象上,则这个反比例函数的表达式是 . 14.(4分)函数24y x =-中,自变量x 的取值范围是 .
15.(4分)从2-,1-,2三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第三象限的概率等于 .
16.(4分)设AB ,CD ,EF 是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB 与CD 的距离是12cm ,EF 与CD 的距离是5cm ,则AB 与EF 的距离等于 cm .
17.(4分)如图,在矩形ABCD 中,4AD =,将A ∠向内翻折,点A 落在BC 上,记为1A ,折痕为DE .若将B ∠沿1EA 向内翻折,点B 恰好落在DE 上,记为1B ,则AB = .
18.(4分)观察下列等式:
232222+=-;
23422222++=-;
2345222222+++=-;
234562222222++++=-;
⋯
已知按一定规律排列的一组数:202,212,222,232,242,⋯,382,392,402,若202m =,则202122232438394022222222+++++⋯+++= (结果用含m 的代数式表示).
三、解答题:(本题共4个小题,第19题每小题10分,第20,21,22题每小题10分,共40分,要有解题的主要过程)
19.(10分)(1)计算:2020012(1)4(53)2
÷--. (2)先化简,再求值:2231()()33
a a a a a --+÷--,自选一个a 值代入求值.
20.(10分)如图,B E
∠=∠,BF EC
AC DF.求证:ABC DEF
∆≅∆.
=,//
21.(10分)某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组,要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组,为了了解学生对四个课外小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据给出的信息解答下列问题:
(1)求该校参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);(2)m=,n=;
(3)若该校共有2000名学生,试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人?
22.(10分)如图,一艘船由西向东航行,在A处测得北偏东60︒方向上有一座灯塔C,再向东继续航行60km到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30︒方向上,已知在灯塔C的周围47km内有暗礁,问这艘船继续向东航行是否安全?
四、(本大题满分12分)
23.(12分)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%,用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数
多10个.
(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元?
(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个,且排球个数不低于篮球个数的3倍,篮球的售价定为每一个100元,排球的售价定为每一个90元.若该批篮球、排球都能卖完,问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少?
五、(本大题满分12分)
24.(12分)如图,AB 是O 的直径,C 为O 上一点,连接AC ,CE AB ⊥于点E ,D 是直径AB 延长线上一点,且BCE BCD ∠=∠.
(1)求证:CD 是O 的切线;
(2)若8AD =,12
BE CE =,求CD 的长.
六、(本大题满分14分)
25.(14分)如图,已知抛物线26y ax bx =++经过两点(1,0)A -,(3,0)B ,C 是抛物线与y 轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点(,)P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设PBC ∆的面积为S ,求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值;
(3)点M 在抛物线上运动,点N 在y 轴上运动,是否存在点M 、点N 使得90CMN ∠=︒,且CMN ∆与OBC ∆相似,如果存在,请求出点M 和点N 的坐标.
2020年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)本题每小题均有A、B、C、D 四个备选答案,其中只有一个是正确的,请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上1.(4分)3
-的绝对值是()
A.3
-B.3C.1
3
D.
1
3
-
【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案.
【解答】解:3
-的绝对值是:3.
故选:B.
【点评】此题主要考查了绝对值,正确把握绝对值的定义是解题关键.
2.(4分)我国高铁通车总里程居世界第一,预计到2020年底,高铁总里程大约39000千米,39000用科学记数法表示为()
A.3
3910
⨯B.4
3.910
⨯C.4
3.910-
⨯D.3
3910-
⨯
【分析】科学记数法的表示形式为10n
a⨯的形式,其中1||10
a<,n为整数.确定n的值是易错点,由于39000有5位,所以可以确定514
n=-=.
【解答】解:4
39000 3.910
=⨯.
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定n值是关键.
3.(4分)如图,直线//
AB CD,370
∠=︒,则1(
∠=)
A.70︒B.100︒C.110︒D.120︒
【分析】直接利用平行线的性质得出12
∠=∠,进而得出答案.
【解答】解:直线//
AB CD,
12
∴∠=∠,
370
∠=︒,
1218070110
∴∠=∠=︒-︒=︒.
故选:C .
【点评】此题主要考查了平行线的性质,正确得出相等的角是解题关键.
4.(4分)一组数据4,10,12,14,则这组数据的平均数是( )
A .9
B .10
C .11
D .12
【分析】对于n 个数1x ,2x ,⋯,n x ,则121()n x x x x n
=++⋯+就叫做这n 个数的算术平均数,据此列式计算可得.
【解答】解:这组数据的平均数为1(4101214)104
⨯+++=, 故选:B .
【点评】本题主要考查算术平均数,解题的关键是掌握算术平均数的定义:对于n 个数1x ,
2x ,⋯,n x ,则121()n x x x x n
=++⋯+就叫做这n 个数的算术平均数. 5.(4分)已知FHB EAD ∆∆∽,它们的周长分别为30和15,且6FH =,则EA 的长为( )
A .3
B .2
C .4
D .5
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答.
【解答】解:FHB ∆和EAD ∆的周长分别为30和15,
FHB ∴∆和EAD ∆的周长比为2:1,
FHB EAD ∆∆∽,
∴2FH EA =,即62EA
=, 解得,3EA =,
故选:A .
【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.
6.(4分)实数a ,b 在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是( )
A .a b >
B .a b -<
C .a b >-
D .a b ->
【分析】根据数轴即可判断a 和b 的符号以及绝对值的大小,根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解.
【解答】解:根据数轴可得:0a <,0b >,且||||a b >,
则a b <,a b ->,a b <-,a b ->.
故选:D .
【点评】本题考查了利用数轴表示数,根据数轴确定a 和b 的符号以及绝对值的大小是关键.
7.(4分)已知等边三角形一边上的高为23,则它的边长为( ) A .2 B .3 C .4 D .43
【分析】根据等边三角形的性质:三线合一,利用勾股定理可求解即可.
【解答】解:根据等边三角形:三线合一,
设它的边长为x ,可得:222()(23)2
x x =+, 解得:4x =,4x =-(舍去),
故选:C .
【点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理,较为简单,解题的关键是掌握勾股定理.
8.(4分)如图,在矩形ABCD 中,3AB =,4BC =,动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ,设点P 运动的路程为x ,ADP ∆的面积为y ,那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是( )
A .
B .
C .
D .
【分析】分别求出04x 、47x <<时函数表达式,即可求解.
【解答】解:由题意当04x 时, 1134622
y AD AB =⨯⨯=⨯⨯=, 当47x <<时,
11(7)414222
y PD AD x x =⨯⨯=⨯-⨯=-. 故选:D .
【点评】本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
9.(4分)已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m 、n 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根,则k 的值等于( )
A .7
B .7或6
C .6或7-
D .6
【分析】当4m =或4n =时,即4x =,代入方程即可得到结论,当m n =时,即△2(6)4(2)0k =--⨯+=,解方程即可得到结论.
【解答】解:当4m =或4n =时,即4x =,
∴方程为246420k -⨯++=,
解得:6k =,
当m n =时,即△2(6)4(2)0k =--⨯+=,
解得:7k =,
综上所述,k 的值等于6或7,
故选:B .
【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程的解,等边三角形的性质,正确的理解题意是解题的关键.
10.(4分)如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 在边AB 上,1BE =,45DAM ∠=︒,点
F 在射线AM 上,
且2AF ,过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ,CF 与AD 相
交于点G ,连接EC 、EG 、EF .下列结论:①ECF ∆的面积为17
2
;②AEG ∆的周长为8;③222EG DG BE =+;其中正确的是( )
A .①②③
B .①③
C .①②
D .②③
【分析】先判断出90H ∠=︒,进而求出1AH HF BE ===.进而判断出()EHF CBE SAS ∆≅∆,得出EF EC =,HEF BCE ∠=∠,判断出CEF ∆是等腰直角三角形,再用勾股定理求出217EC =,即可得出①正确;
先判断出四边形APFH 是矩形,进而判断出矩形AHFP 是正方形,得出1AP PH AH ===,同理:四边形ABQP 是矩形,得出4PQ =,1BQ =,5FQ =,3CQ =,再判断出FPG FQC ∆∆∽,得出
FP PG FQ CQ =
,求出35PG =,再根据勾股定理求得17
5
EG =,即AEG ∆的周长为8,判断出②正确; 先求出125DG =,进而求出2216925DG BE +=,在求出2289169
2525
EG ≠,判断出③错误,即可得出结论.
【解答】解:如图,在正方形ABCD 中,//AD BC ,4AB BC AD ===,90B BAD ∠=∠=︒, 90HAD ∴∠=︒, //HF AD , 90H ∴∠=︒,
9045HAF DAM ∠=︒-∠=︒,
AFH HAF ∴∠=∠.
2AF =
1AH HF BE ∴===.
4EH AE AH AB BE AH BC ∴=+=-+==,
()EHF CBE SAS ∴∆≅∆, EF EC ∴=,HEF BCE ∠=∠, 90BCE BEC ∠+∠=︒, 90HEF BEC ∴+∠=︒, 90FEC ∴∠=︒,
CEF ∴∆是等腰直角三角形,
在Rt CBE ∆中,1BE =,4BC =, 22217EC BE BC ∴=+=, 21117
222
ECF S EF EC EC ∆∴=
==,故①正确; 过点F 作FQ BC ⊥于Q ,交AD 于P , 90APF H HAD ∴∠=︒=∠=∠,
∴四边形APFH 是矩形,
AH HF =,
∴矩形AHFP 是正方形,
1AP PH AH ∴===,
同理:四边形ABQP 是矩形,
4PQ AB ∴==,1BQ AP =,5FQ FP PQ =+=,3CQ BC BQ =-=, //AD BC ,
FPG FQC ∴∆∆∽,
∴FP PG FQ CQ =
, ∴
153
PG
=
, 3
5
PG ∴=
, 85
AG AP PG ∴=+=
,
在Rt EAG ∆中,根据勾股定理得,175
EG ==, AEG ∴∆的周长为817
3855
AG EG AE ++=
++=,故②正确; 4AD =,
125
DG AD AG ∴=-=
,
22144169
12525
DG BE ∴+=
+=
, 2217289169
()52525
EG ==≠
, 222EG DG BE ∴≠+,故③错误,
∴正确的有①②,
故选:C .
【点评】此题主要考查了正方形的性质和判断,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,求出AG 是解本题的关键. 二、填空题:(本题共8个小题,每小题4分,共32分) 11.(4分)因式分解:2a ab a +-= (1)a a b +- . 【分析】原式提取公因式即可. 【解答】解:原式(1)a a b =+-. 故答案为:(1)a a b +-.
【点评】此题考查了因式分解-提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键. 12.(4分)方程2100x +=的解是 5x =- . 【分析】方程移项,把x 系数化为1,即可求出解. 【解答】解:方程2100x +=, 移项得:210x =-, 解得:5x =-. 故答案为:5x =-.
【点评】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键. 13.(4分)已知点(2,2)-在反比例函数k
y x
=
的图象上,则这个反比例函数的表达式是
4
y x
=- .
【分析】把点(2,2)-代入反比例函数(0)k
y k x
=≠中求出k 的值,从而得到反比例函数解析
式.
【解答】解:反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象上一点的坐标为(2,2)-,
224k ∴=-⨯=-,
∴反比例函数解析式为4y x
=-
, 故答案为:4
y x
=-.
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
14.(4分)函数24y x =-中,自变量x 的取值范围是 2x .
【分析】因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以240x -,可求x 的范围.
【解答】解:240x - 解得2x .
【点评】此题主要考查:当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
15.(4分)从2-,1-,2三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第三象限的概率等于
1
3
. 【分析】画树状图得出所有等可能结果,从中找到该点在第三象限的结果数,再利用概率公式求解可得.
【解答】解:画树状图如下
共有6种等可能情况,该点在第三象限的情况数有(2,1)--和(1,2)--这2种结果,
∴该点在第三象限的概率等于
2163
=, 故答案为:1
3
.
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.
16.(4分)设AB ,CD ,EF 是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB 与CD 的距离是12cm ,EF 与CD 的距离是5cm ,则AB 与EF 的距离等于 7或17 cm .
【分析】分两种情况讨论,EF 在AB ,CD 之间或EF 在AB ,CD 同侧,进而得出结论. 【解答】解:分两种情况:
①当EF 在AB ,CD 之间时,如图:
AB 与CD 的距离是12cm ,EF 与CD 的距离是5cm ,
EF ∴与AB 的距离为1257()cm -=.
②当EF 在AB ,CD 同侧时,如图:
AB 与CD 的距离是12cm ,EF 与CD 的距离是5cm , EF ∴与AB 的距离为12517()cm +=.
综上所述,EF 与AB 的距离为7cm 或17cm . 故答案为:7或17.
【点评】本题考查了平行线之间的距离.解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义,从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离. 17.(4分)如图,在矩形ABCD 中,4AD =,将A ∠向内翻折,点A 落在BC 上,记为1A ,折痕为DE .若将B ∠沿1EA 向内翻折,点B 恰好落在DE 上,记为1B ,则AB = 23 .
【分析】依据△11A DB ≅△1()A DC AAS ,即可得出111AC A B =,再根据折叠的性质,即可得到1
1
22
AC BC ==,最后依据勾股定理进行计算,即可得到CD 的长,即AB 的长. 【解答】解:由折叠可得,14A D AD ==,190A EA D ∠=∠=︒,111BA E B A E ∠=∠,111BA B A =,1190B A B E ∠=∠=︒,
11111190EA B DA B BA E CA D ∴∠+∠=︒=∠+∠,
111DA B CA D ∴∠=∠,
又11C A B D ∠=∠,11A D A D =,
∴△11A DB ≅△1()A DC AAS ,
1
11AC A B ∴=, 11
1
22
BA AC BC ∴===, Rt ∴△1ACD 中,224223CD =- 23AB ∴=,
故答案为:23
【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等. 18.(4分)观察下列等式:
232222+=-; 23422222++=-; 2345222222+++=-; 234562222222++++=-;
⋯
已知按一定规律排列的一组数:202,212,222,232,242,⋯,382,392,402,若202m =,则202122232438394022222222+++++⋯+++= (21)m m - (结果用含m 的代数式表示). 【
分
析
】
由
题
意
可
得
2021222324383940202192020212020222222222(12222)2(122)2(221)
+++++⋯+++=+++⋯++=+-=⨯-,再将202m =代入即可求解. 【解答】解:202m =,
202122232438394022222222∴+++++⋯+++
20219202(12222)=+++⋯++ 20212(122)=+- (21)m m =-.
故答案为:(21)m m -.
【点评】本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出规律:231222222n n ++++⋯+=-. 三、解答题:(本题共4个小题,第19题每小题10分,第20,21,22题每小题10分,共40分,要有解题的主要过程)
19.(10分)(1)计算:2020012(1)2
÷--.
(2)先化简,再求值:2231
()()33
a a a a a --+÷--,自选一个a 值代入求值.
【分析】(1)原式利用除法法则,乘方的意义,算术平方根定义,以及零指数幂法则计算即可求出值;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a 的值代入计算即可求出值. 【解答】解:(1)原式22121=⨯---
4121=---
0=;
(2)原式2(3)33
3(1)(1)
a a a a a a a -+--=-+-
3(1)3
3(1)(1)
a a a a a ---=
-+-
3
1
a
=-
+
,
当0
a=时,原式3
=-.
【点评】此题考查了分式的化简求值,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.20.(10分)如图,B E
∠=∠,BF EC
=,//
AC DF.求证:ABC DEF
∆≅∆.
【分析】首先利用平行线的性质得出ACB DFE
∠=∠,进而利用全等三角形的判定定理ASA,进而得出答案.
【解答】证明://
AC DF,
ACB DFE
∴∠=∠,
BF CE
=,
BC EF
∴=,
在ABC
∆和DEF
∆中,
B E
BC EF
ACB DFE
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
,
()
ABC DEF ASA
∴∆≅∆.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
21.(10分)某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组,要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组,为了了解学生对四个课外小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据给出的信息解答下列问题:
(1)求该校参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);(2)m=36,n=;
(3)若该校共有2000名学生,试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人?
【分析】(1)根据选择书法的学生人数和所占的百分比,可以求得该校参加这次问卷调查的学生人数,然后根据扇形统计图中选择篮球的占28%,即可求得选择篮球的学生人数,从而可以将条形统计图补充完整;
(2)根据条形统计图中的数据和(1)中的结果,可以得到m、n的值;
(3)根据统计图中的数据,可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人.【解答】解:(1)该校参加这次问卷调查的学生有:2020%100
÷=(人),
选择篮球的学生有:10028%28
⨯=(人),
补全的条形统计图如右图所示;
(2)
36
%100%36%
100
m=⨯=,16
%100%16%
100
n=⨯=,
故答案为:36,16;
(3)200016%320
⨯=(人),
答:该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人.
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
22.(10分)如图,一艘船由西向东航行,在A处测得北偏东60︒方向上有一座灯塔C,再向东继续航行60km到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30︒方向上,已知在灯塔C的周围47km内有暗礁,问这艘船继续向东航行是否安全?
【分析】过C 作CD AB ⊥于点D ,根据方向角的定义及余角的性质求出30BCA ∠=︒,60ACD ∠=︒,证30ACB BCA ∠=︒=∠,根据等角对等边得出12BC AB ==,然后解Rt BCD ∆,求出CD 即可.
【解答】解:过点C 作CD AB ⊥,垂足为D .如图所示: 根据题意可知903030BAC ∠=︒-︒=︒,903060DBC ∠=︒-︒=︒, DBC ACB BAC ∠=∠+∠, 30BAC ACB ∴∠=︒=∠, 60BC AB km ∴==,
在Rt BCD ∆中,90CDB ∠=︒,60BDC ∠=︒,sin AD
BCD AC
∠=, sin 6060
CD ∴︒=
, 3
60sin 6060303()47CD km km ∴=⨯︒=⨯
=>, ∴这艘船继续向东航行安全.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定;熟练掌握等腰三角形的判定和三角函数定义是解题的关键. 四、(本大题满分12分)
23.(12分)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%,用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数
多10个.
(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元?
(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个,且排球个数不低于篮球个数的3倍,篮球的售价定为每一个100元,排球的售价定为每一个90元.若该批篮球、排球都能卖完,问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少?
【分析】(1)设每一个篮球的进价是x 元,则每一个排球的进价是90%x 元,根据用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个列出方程,解之即可得出结论;
(2)设文体商店计划购进篮球m 个,总利润y 元,根据题意用m 表示y ,结合m 的取值范围和m 为整数,即可得出获得最大利润的方案.
【解答】解:(1)设每一个篮球的进价是x 元,则每一个排球的进价是90%x 元,依题意有 360036001090%x x
+=, 解得40x =,
经检验,40x =是原方程的解,
90%90%4036x =⨯=.
故每一个篮球的进价是40元,每一个排球的进价是36元;
(2)设文体商店计划购进篮球m 个,总利润y 元,则
(10040)(9036)(100)65400y m m m =-+--=+,
依题意有01001003m m m <<⎧⎨-⎩
, 解得025m <且m 为整数, m 为整数,
y ∴随m 的增大而增大,
25m ∴=时,y 最大,这时62554005550y =⨯+=,
1002575-=(个).
故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润,最大利润是5550元.
【点评】本题考查了一次函数的应用,分式方程的应用,一元一次不等式的应用,找准等量关系,正确列出方程是解题的关键.
五、(本大题满分12分)
24.(12分)如图,AB 是O 的直径,C 为O 上一点,连接AC ,CE AB ⊥于点E ,D 是
直径AB 延长线上一点,且BCE BCD ∠=∠.
(1)求证:CD 是O 的切线;
(2)若8AD =,12
BE CE =,求CD 的长.
【分析】(1)连接OC ,根据圆周角定理得到90ACB ∠=︒,根据余角的性质得到A ECB ∠=∠,求得A BCD ∠=∠,根据等腰三角形的性质得到A ACO ∠=∠,等量代换得到ACO BCD ∠=∠,求得90DCO ∠=︒,于是得到结论;
(2)设BC k =,2AC k =,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】(1)证明:连接OC ,
AB 是O 的直径, 90ACB ∴∠=︒,
CE AB ⊥,
90CEB ∴∠=︒,
90ECB ABC ABC CAB ∴∠+∠=∠+∠=︒,
A EC
B ∴∠=∠,
BCE BCD ∠=∠, A BCD ∴∠=∠,
OC OA =,
A ACO ∴∠=∠,
ACO BCD ∴∠=∠,
90ACO BCO BCO BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒,
90DCO ∴∠=︒,
CD ∴是O 的切线;
(2)解:A BCE ∠=∠,
1tan tan 2
BC BE A BCE AC CE ∴==∠==,
设BC k =,2AC k =,
D D ∠=∠,A BCD ∠=∠,
ACD CBD ∴∆∆∽, ∴12
BC CD AC AD ==, 8AD =,
4CD ∴=.
【点评】本题考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角函数的定义,正确的识别图形是解题的关键.
六、(本大题满分14分)
25.(14分)如图,已知抛物线26y ax bx =++经过两点(1,0)A -,(3,0)B ,C 是抛物线与y 轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点(,)P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设PBC ∆的面积为S ,求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值;
(3)点M 在抛物线上运动,点N 在y 轴上运动,是否存在点M 、点N 使得90CMN ∠=︒,且CMN ∆与OBC ∆相似,如果存在,请求出点M 和点N 的坐标.
【分析】(1)根据点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)过点P 作//PF y 轴,交BC 于点F ,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C 的坐标,根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式,设点P 的坐标为2(,246)m m m -++,则点F 的坐标为(,26)m m -+,进而可得出PF 的长度,利用三角形的面积公式可得出239PBC S m m ∆=-+,配方后利用二次函数的性质即可求出PBC ∆面积的最大值;
(3)分两种不同情况,当点M 位于点C 上方或下方时,画出图形,由相似三角形的性质得出方程,求出点M ,点N 的坐标即可.
【解答】解:(1)将(1,0)A -、(3,0)B 代入26y ax bx =++,
得:609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得:24a b =-⎧⎨=⎩
, ∴抛物线的解析式为2246y x x =-++.
(2)过点P 作//PF y 轴,交BC 于点F ,如图1所示.
当0x =时,22466y x x =-++=,
∴点C 的坐标为(0,6).
设直线BC 的解析式为y kx c =+,
将(3,0)B 、(0,6)C 代入y kx c =+,得:
306k c c +=⎧⎨=⎩
,解得:26k c =-⎧⎨=⎩,
∴直线BC 的解析式为26y x =-+.
设点P 的坐标为2(,246)m m m -++,则点F 的坐标为(,26)m m -+,
22246(26)26PF m m m m m ∴=-++--+=-+,
221327393()224PBC S PF OB m m m ∆∴=
=-+=--+, ∴当32m =时,PBC ∆面积取最大值,最大值为274
. 点(,)P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,
03m ∴<<.
(3)存在点M 、点N 使得90CMN ∠=︒,且CMN ∆与OBC ∆相似.
如图2,90CMN ∠=︒,当点M 位于点C 上方,过点M 作MD y ⊥轴于点D ,
90CDM CMN ∠=∠=︒,DCM NCM ∠=∠,
MCD NCM ∴∆∆∽,
若CMN ∆与OBC ∆相似,则MCD ∆与NCM ∆相似,
设2(,246)M a a a -++,(0,6)C ,
224DC a a ∴=-+,DM a =,
当
3162DM OB CD OC ===时,COB CDM CMN ∆∆∆∽∽, ∴21242
a a a =-+, 解得,1a =,
(1,8)M ∴, 此时1122ND DM ==, 17(0,)2
N ∴, 当12
CD OB DM OC ==时,COB MDC NMC ∆∆∆∽∽, ∴22412
a a a -+=, 解得74
a =, 7(4M ∴,55)8
, 此时83(0,)8
N . 如图3,当点M 位于点C 的下方,
过点M 作ME y ⊥轴于点E ,
设2(,246)M a a a -++,(0,6)C ,
224EC a a ∴=-,EM a =,
同理可得:22412a a a -=或2242a a a
-=,CMN ∆与OBC ∆相似, 解得94
a =或3a =, 9(4M ∴,39)8
或(3,0)M ,
此时N 点坐标为3(0,)8或3(0,)2
-. 综合以上得,(1,8)M ,17(0,)2N 或7(4M ,55)8,83(0,)8N 或9(4M ,39)8,3(0,)8N 或(3,0)M ,3(0,)2
N -,使得90CMN ∠=︒,且CMN ∆与OBC ∆相似. 【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,三角形的面积,二次函数的性质,坐标与图形的性质,相似三角形的判定与性质等知识,熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键.。