基于随机用户均衡的城市交通流分配优化模型

( )
[3]
d( ) y ( ) x( )
c)收敛性判断。如果满足收敛条件，停止；否则转入步骤 d)； 收敛判断条件为：
z x y x
T
(7)
(8)
d)寻找步长。对以下问题，找出一个满足条件的非负数 μ
0 1 ( ) ( ) ( ) min Z x μ d
所以可得：
a g a ( xa ))) ， a L
(31)
ha ( xa , sa ) g a ( xa ) sa max g a ( xa ), a
， a L
(32)
将(32)代入(28)，可得均衡网络流下的增强拉格朗日函数为：
数的方法，提高运算效率，得到近似的分配结果。Akamatsu 对传统的基于 Logit 的 SUE 模 型的熵项进行了分解，使得熵项只含有路段信息，得到基于路段变量的 SUE 模型[2]：
min Z (x)
( i , j )A

d
xij
0
tij ( w)dw
{H
oO
1
L
(xo ) H N (x0 )}
x
Lγ (x, μ, s) Z ( x) μh( x, s)

2
| h( x, s) |2
(28)
对松弛变量 s 求解如下：
min Lγ (x, μ, s) Z ( x) μh( x, s)
s0 x

2
| h( x, s) |2
(29)
也就是求
min μh(x, s)
(1) (2) (3) (4) (Leabharlann Baidu) (6)
s.t.
x x q
o ik o kj i j
od
ok qod dk 0 , o O, d D, k N
o xij xij , (i, j ) A o
o xij 0 , o O, (i, j ) A
o xij xij , (i, j ) A o
o xij 0 , o O, (i, j ) A
xa aCa , a L
o o H L (xo ) ij xij ln xij o o H N (xo ) j (i xij ) ln(i xij )
[7][8]
。
2.3.1 均衡网络流中的增强拉格朗日乘子法
将含有路段容忍容量约束的均衡问题，可以简单表示如下：
min Z (x)
x
(26) (27)
s.t. h(x, s) g(x) s x aC s
其中， 表示由公式(12)~(15)确定的可行域，s 是松弛变量，通过其将(15)的不等式约 束转化为等式约束，可以发现，当松弛变量 s 大于零时，表示路段流量小于容量，约束条件 (15)为非活性的；当松弛变量等于零时，路段流量等于路段容量，此时，约束条件(15)为活 性的。 于是，含有松弛变量的增强拉格朗日函数可以表示为：
ok 、 dk 为开关函数， k o(d ), ok ( dk ) 1 ，否则为 0。 H L 、 H N 分别为熵项的第一、第二
项，以 xij 为变量；tij ( xij ) 为阻抗函数，一般以 BPR 形式表示。对于模型的等价性和唯一性， Akamatsu 做了相应的证明，证明其等价于基于 Logit 的 SUE 模型，详见文献（2） 。
a a
(25)
可以发现，当且仅当所有路段的容量上限的约束相互独立时，才会等价于基于 Logit 的
od (x) 、 t a ( xa ) 分别为扩展路径时间和扩展路段时间，可以发现约束条 路径选择概率，定义 C k
件(15)的最优拉格朗日乘子 da 为多出的行驶时间，即为延误。
2.3 增强拉格朗日乘子法
(20) (21)
da 0 , a L
根据式(19),可以得到下式：
x
m
o xij
o mj
a ( xa ) j o i o ]} o O, (i, j ) L exp{ [t ,
(22)
o o a ( xa ) 如下： 其中， i ， j ， i, j N 为拉格朗日乘子，定义 t
解决带容量约束的模型问题，有内惩罚、外惩罚和增强拉格朗日乘子法，内惩罚是通过 对可行域内部的可行点进行惩罚，当越接近边界时，其惩罚力度越大，从而保证其解在可行 域内； 外惩罚的迭代点在可行域的外部移动， 惩罚的力度也随着迭代次数的变多而越来越大， 以使得迭代点向可行域越来越靠近。 增强拉格朗日法是 1969 年由 Hestenes 和 Powell 提出的， 其主要思想就是在目标函数的拉格朗日函数基础上加入二次方的惩罚项， 以消除惩罚函数法 的病态收敛
( )
。 (9)
e)移动。求得新的流量 x( 1) ：
x( 1) x( ) μ( )d( )
令 1 ，转入步骤 b） 。
(10)
由于模型等价于基于 Logit 的 SUE 问题，所以算法中的运量加载，可以采用 Dial 加载
[4] 或者 Bell 第二算法进行加载 。根据基于路段变量的 SUE 模型，设计的算法，相对于传统
s0

2
| h(x, s) |2
(30)
当最优时，在 x 已知的条件下，式(30)的一阶导数为零， 也就是：
1 {a [ g a ( xa ) sa ] | g a ( xa ) sa |2 } 2 a [ g a ( xa ) sa ] 0 sa
sa max(0, (
o
1.2 算法流程
对于基于路段变量的 SUE 模型的求解，在传统的相继平均算法（MSA）的基础上，利 用模型的可评价性，以部分线性化算法，对 MSA 算法的最优步长以及收敛条件进行优化， 以提高运算效率 。部分线性化算法流程如下： a) 初始化。以自由流时间为阻抗，执行一次流量加载，得到 x (1) ，令迭代次数 1 ； b) 计算下降方向。根据上次得到的流量，更新路段阻抗 tij t ( xij ) ，在新的阻抗基础 上，再次进行运量加载，得到新的辅助流量 y ( ) 。其下降方向可以采用：
基于随机用户均衡的城市交通流分配优化模型
纪 魁 王树盛
【摘要】城市“大数据时代”提供了海量的数据信息，为了准确、高效地对城市交通流进行分配以
提供合理的参考，文章从提高算法效率和改善分配结果两个方面优化传统的基于 Logit 的随机用户均衡 （SUE）模型。通过对传统的含路径信息的熵项进行分解，使得熵项只含路段信息，从而得到基于路段变量 的 SUE 模型，使得评价函数时可以避开路径信息的列举，优化了移动步长和收敛准则，为设计高效算法提 供了一定的空间；通过在基于路段变量的 SUE 模型中加入容忍容量约束，以消除分配在路段上的流量高于 道路设计容量的不合理现象，文章以部分线性化算法结和增强拉格朗日乘子法思想，设计了由内外循环构 成的算法。最后，文章以一个简单的算例，进行流量分配，分配的结果满足预期的期望，证明了设计的算 法的正确性。
1 Lγ (x, μ) Z (x) [ a ( g a ( xa ) sa ) | g a ( xa ) sa |2 ] 2 a x Z (x) a max g ( xa ), a a Z ( x) 1 2 max 0,
o
(18)
其中，为 n , d a 为约束条件(12)、(15)的拉格朗日乘子； n 为整数，用以计数；分析其 Kuhn-Tucker 条件：
o xij
L L o 0, o 0, xij 0 , o O, (i, j ) L o xij xij
(19)
da ( xa aCa ) 0 , a L
a a 2 1 a max g ( xa ), 2 2
[6]
min Z (x)
( i , j )A

d
xij
0
tij ( w)dw
1
oO
{H
L
(xo ) H N (x0 )}
(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)
s.t.
x x q
o ik o kj i j
od
ok qod dk 0 , o O, d D, k N
1．优化一：提高算法效率
1.1 基于路段变量的 SUE 模型
定义一个路网 G ( N , A) ，其中，N、A 分别为节点和路段集合，O、D 分别为起点和终 点集合， xij 表示路段 (i, j ) A 的流量， qod 表示起点和终点 o、d 之间的交通需求。 传统的基于 Logit 的 SUE 模型，含有一个有路径信息的熵项，降低了在算法设计中， 对于函数评价以求得最优步长的可行性，算法设计中，通常是自定义步长，通过限制迭代次
【关键词】大数据时代；随机用户均衡；交通分配；增强拉格朗日乘子法
引言
城市“大数据时代”的到来，意味着有海量的数据供规划决策者参考使用。依据数据库 中的居民出行信息，准确的分配 OD 矩阵，再现道路上的交通运行情况，对于道路网络的现 状分析、 规划修改有着重要的意义。 相对于确定型用户均衡 （UE） 模型， 随机用户均衡 （SUE） 模型降低了用户对于路段阻抗的敏感性，分配的结果更加接近现实世界的车流分布情况[1]。 但是由于传统的 SUE 模型在进行函数评价时，需要对路径信息进行列举，这就制约了高效 算法的设计，同时，传统的 SUE 模型分配的结果可能会出现高于道路设计容量的情况，这 与现实世界中道路网络上的交通运行状况也是不相吻合的。本文以 SUE 模型为研究对象， 从提高算法效率和改善分配结果两个优化方面进行研究。
od (x)] exp[ C k od (x)] exp[ C r
r
式中， d ， o 为与终点和起点相关的拉格朗日乘子，具体推导过程见参考文献（2） ，
o o
od (x) 如下： 此处不再赘述。定义 C k
od (x) t ( x ) od [t ( x ) d ] od C a a a ,k a a a a ,k k
其中， a 为路段 a 的拥挤容忍度系数，一般取 0.85~0.9； Ca 为道路容量；其他变量含
义同上。 由于加入的是一个线性约束，所以不会改变模型的唯一性。实际上，公式（15）对应的 拉格朗日乘子就是排队延误 。
[4]
2.2 约束与延误
构造目标函数的拉格朗日函数：
o L(x, , d ) Z (x) n g n (xo ) d a ( xa aCa ) nZ aL
的求解算法，计算效率可以得到非常明显的提升 。
[5]
2．优化二：改善分配结果
2.1 带容忍容量约束的模型
在现实世界中， 不会出现道路上的车流达到甚至高于道路设计容量的情况， 当出现此类 情况时，道路是被“过度使用” ，相应的其他道路本该分配到的流量会减少，这种情况，对 于规划者做出科学合理的分析是不利的 。所以需要在模型中加入容量约束，以优化分配结 果，考虑到拥堵至一定情形时，用户不会继续驶入，所以加入容忍系数的概念，提出以下带 容忍容量约束条件的模型：
a ( xa ) ta ( xa ) da t
结合 Markov 链的性质，可以得到最终的结果：
od pk ( x) ( ij o xij
(23)
x
m
o mj
)
od ij ,k
od (x)]exp[ ( o o )] exp[ C k d o
(24)
o o H L (xo ) ij xij ln xij o o H N (xo ) j (i xij ) ln(i xij )
式中， xij 表示来自起点 o 的路段流量； 为常数，反映用户对于路网的熟悉程度，当
o
用户对路网非常熟悉时， ，转化为 UE 问题，UE 问题实际是 SUE 问题的一个特例；