高等数学函数的微分教学ppt

第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念
第二节 导数的计算
第三节 函数的微分
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第三节
函数的微分
本节主要内容: 一.微分的概念 二.微分的几何意义
三.微分的基本公式及运算法则
四.微分的近似计算
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一.微分的概念
引例：一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0 x 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 2 2 ( x ) x x 因为 Ax 所以金属片面积 x 0
的改变量为 A(x0 x)2(x0)2 2 x 0 x ( x ) 2
(1) ( 2)
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例4 求y = sin23x的微分. 解:
dy d sin 2 3 x
2sin 3 xd sin 3 x 2sin 3 x cos 3 xd 3 x
6sin 3 x cos 3 xdx
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
函数y=f(x)在x0可微的充要条件是
x x0
y=f(x)在x0可导．当y=f(x)在x0可微时，有
dy
f ( x0 )x
通常把自变量的增量 x 称为自变量的微分, 记
做 dx, 则函数 y = f (x) 的微分可记做
dy = f (x0)dx,
从而有
dy f ( x )dx
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例2 求y = x2arctanx的微分. 解:
dy d x 2 arctan x arctan xd x
2
x d arctan x
2
x2 2 x arctan xdx dx 2 1 x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
就是曲线 y = f (x) 在点
y
T
P 处切线的纵坐标的增
量，而 y 就是曲线 y =
y f ( x)
）
M
o( x )
f (x) 的纵坐标的增量 .
o
y T dy P x N

x0
x0 x
x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
三.微分的基本公式及运算法则
导数公式: 微分公式:
x0
2 A x0
x0 x
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) : x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
A ≈2x0x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定义2. 3. 1
若函数y=f(x)的增量y 可表示为 (x0),
y=f(x0+x)-f(x0)=Ax+ (x)
第一节 导数的概念
例8 求 sin 30 30' 的近似值． 解: 取辅助函数 找邻近于x=3030 的一点x0 令 f (x)=sinx 取x0=30,则x= 30=

360,
代入公式 f (x)=cosx,则f (x0)=cos 3 6 2 f(x)f(x0)f (x0) x
第一节 导数的概念
例6 求 y e 解:
x2
1 cos 的微分. x
1 1 x2 x2 dy cos d(e ) e d(cos ) x x 1 x2 1 1 2 x2 cos e d( x ) e ( sin )d( ) x x x 1 1 1 x2 e ( 2 x cos 2 sin )dx . x x x
dy y( t )dt y( t ) , dx x( t )dt x( t )
t [ , ]
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
四.微分的近似计算
当函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)0 且|x|很小 时 我们有
y dy f (x0) x
用来求函数增 量的近似值
f(x0x)f(x0) dyf (x0)x f(x0x)f(x0)f (x0)x
用来求函数 值的近似值 求函数在 x=0附近的 近似值 18
若令xx0Dx 即Dxxx0 那么又有
f(x)f(x0)f (x0) x
特别当x00时 有 f (x) f (0)f (0)x
微分公式:
1 d (log a x) dx x ln a d (ln x) 1 dx x d (arcsin x) 1 dx 1 x2 d (arccosx) 1 dx 1 x2 d (arctan x) 1 2 dx 1 x d (arc cot x) 1 2 dx 1 x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例7 （参数方程求导法则） 设参数方程
dy 中x(t),y(t)对t可导，且x (t) 0,求 ． dx
解:
x x( t ) t [ , ] y y( t ),
dx x( t )dt , dy y( t )dt , x(t ) 0,
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
常用近似公式
n
( x 很小时 )
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度); n x ( 3) tan x x ( x为弧度); (4) e 1 x; (5) ln(1 x ) x .
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第二章 导数与微分
(2)若u是中间变量，可以令 u (x) ，即y f [(x)]
dyy x dx f (u) (x)dx
dy f ( u)du. 结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx
一阶微分形式的不变性
( x )dx du,
(1 x ) 1 x
1 1 x , 64 3
3
1 1 65 4(1 ) 4.0208 3 64
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
内容小结
一.微分的概念
二.微分的几何意义 三.微分的基本公式及运算法则
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例5 求 y 4 x 1 x 3 5 的微分.
解:
dy d 4 x 1 x 5


1 x 3 d 5
d 1 x
dx
15


3
2 1 x3
0
3 x2 4 3 2 1 x
第二章 导数与微分
其中A与x无关,则称y=f(x)在x0可微,且称 Ax为f(x)在 x0的微分，记作
dy
x x0 或 df x x0.
即
dy
x x0
Ax
yf(x)在点x0可微 yA xo( x)，即 dy=A x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定理2. 3. 1
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
微分的四则运算
求导法则
微分法则
(uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuv
v uv u u ( ) ( v 0 ) v v2
d(uv)dudv d(Cu)Cdu d(uv)vduudv u vdu udv d( ) dx(v 0) 2 v v
(xm)m xm1
(sin x)cos x
d(xm)m xm1dx
d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx
(cos x)sin x
(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x
例3 求函数 y =ln x/x的微分. 解:
1nx dy d x

xd 1nx ln xdx x2
1 ln x dx
x2
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
复合函数的微分法则
设函数 y = f (u) 有导数f (u).
(1)若u是自变量，dy = f (u)du ；
sin 30 30 sin( ) sin cos 6 360 6 6 360 1 3 0.5076 2 2 360
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例9 求 3 65 的近似值．
解:
1 3 3 65 64 1 4 1 , 64
d(sec x)sec x tan xdx
d(csc x)csc x cot xdx
(a x)ax ln a
(e x)ex
d(a x)ax ln adx
d(e x)exdx
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
导数公式:
(log a x) 1 x ln a (ln x) 1 x (arcsin x) 1 1 x2 1 (arccosx) 1 x2 1 (arctan x) 1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
2
x 0.01 :
y 3 1 0.01 3 12 0.0603,
dy
x 1
6 0.01 0.06.
6
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
二.微分的几何意义
如图所示，PN = dx， NM = y，NT = PNtan=
f (x)dx，所以 dy = NT，即函数 y = f (x) 的微分 dy
dy f ( x ) dx
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例1 求函数 y = 3x2在x=1 处x分别为0.1和 0.01的 增量与微分. 解: x 0.1 :
y 3 1 0.1 3 1 0.63,
2 2
dy
x 1
6 0.1 0.6;