边界积分方程再认识及其软件研发——纪念杜庆华院士诞辰100周年

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研辉
期,

了。
日没
顿 代,而.在
正确的年代, 过极好的机缘。
年后我返
回高校学习、研

经开始衰
'于
,研

'但,
,这
后 点“余辉”罢。闿
日本回国专门从事
件研发时,边


上被
一获得研究

,文
发表。
终相信,
种学
。有
种工
,而 学



。工
现、效率
高,因为其计

但是,一旦
几何
,网
得极为 。这 几十年来,尽
雄厚的国际大公司的大量人力和财力投入,但
如黑洞就是广义相对论方程的一个奇异解。爱丁顿 不相信黑洞存在,以致于钱德拉塞卡博士后出站时 在英国找不到工作,然而30年后钱德拉塞卡获得了 诺贝尔奖。所以,正因为奇异基本解的存在,边界元 法才可以称得上是科学的方法。
求解边值问题有三大类数值方法:有限差分法、 有限元法和边界元法,三者进行对比见表1 o
CAE/CAD ■
研究至今没 正实现的原因。
另外,

种 (弱形
收稿日期:2019-04-14 作者简介:张见明(1965—),男,湖北孝感人,教授,博导,博士,研究方向为有限元法、边界元法和基于边界积分方程的5aCAE软件开发,
(E-mail) zhangjm@ hnu. cdu. cn
cae@ shmtu. edu. cn & smucae@ 163. com
表1求解边值问题的三大类数值方法对比
方法
特点和适用问题
有限差分法
♦直接用二次差分近似二阶微分,没有使用散度定理 ♦计算效率高,精度低 ♦网格规则,不适应复杂边界,与CAD接口困难 ♦不适应求解无限域问题(声场、电磁波等) ♦不适应求解奇异性问题(裂纹及扩展)
有限元法
♦在等效弱形式上一次使用散度定理,试函数上只有一阶微分算子 ♦计算效率高(系数矩阵稀疏、对称),位移精度高,但应力精度差 ♦网格可以不规则,但要求形状好且连续,网格自动划分至少要求CAD模型“干净* ♦与CAD接口相对容易,但一旦采用抽象单元(如杆、梁和壳等),与CAD完全无缝连接就几乎不可能 ♦通过引入人工假设可以求解无限域问题和奇异性问题,但计算精度偏低,很难做到自动化
边界元法
♦ 等效
次使用散度定理,试
没有微分算子 用
♦计算效率相对较低(系数矩阵稠密、非对称),但快速多极算法可以克服这一缺陷
♦位移和应力精度都很高
♦网格任意,可不规则、不连续,可与CAD天然无缝连接,且不要求CAD模型“干净*
♦可自然地求解无限域问题和奇异-性问题
由上面的对比可以看到,边界元法是一个近似
值此杜庆华院士诞辰一百周年之际,我的导师
姚振
文。
研杜先
年,



,以此来纪念杜先生。
我与边界元法的缘分可追溯到20世纪80年代
,
学 学习。由于杜
,
学许

,包
文、乐
'
,
,

,印


物。记得 我

优 吸引,产 几点幼稚
想法,
小 文,通过
毕业设计指
李中华 给
看,
还为
是研
。由于种种原因, 毕业后我没有
继续读研 ,而选择去企业工作,这样,我
时起步,两者“并驾齐驱”。有限元软件越做越大越
强,而边界元软件在初期虽有几款,但不久都日渐式
微、昙花一现。个中原因,我试想有以下几种:
(1) 早期计算机硬件不够发达,计算机资源十
分有限,算法的效率和内存需求成为最突出的问题。
(2)
研 者没
Btp :/Ccww. cainacae. cn
的本质优点,错误地以为其最大优点是降维(只划
源自文库
——
其软件研发
100肩
张见明 (湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙410082)
序言:值杜庆华院士诞辰一百周年之际,感念与杜先生交往的(滴及杜先生对边界元法研究的贡 献,对比有限差分法、有限元法和边界元法各自适用问题的特(,呼吁学者们勇敢面对边界元法及 其自主CAD/CAE软件研发劳动强度大、研究经费难的现状,直面边界元法被日渐边缘化的困境, 遇山钻洞、遇堑搭桥,继承和发扬杜先生开创的边界元法,并以此纪念杜先生!
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2
计算机辅助工程
2019 年
式),有限元法得到的解不能满足原微分方程。所 以,其精度,特别是结构危险部位的应力精度,通常 不能令人非常满意。边界积分方程可与原微分方程 完全等价,而且对试函数的连续性要求比有限元法 还要低。边界积分方程的基本解其实就是物理定律 在位势理论中的表达式o工程师也许不欣赏基本解 的奇异性,但奇异性是所有物理定律的共同特性,比
分表面网格)。对于非均质非线性问题,花费大量
精力用于避免体积分,甚至在避免奇异积分方面也
浪费了不少精力。虽然这些研究得到了一些数学形
式上漂亮的结果,但最终都是徒劳。
(3)
件现用
格,对结构的边界变量描述不完备,也不能逾越有限
元法在CAE/CAD —体化过程中面临的鸿沟。
断了。
20
90年代末,我投身 振

下研
。亲眼看
慕 学者时,杜
经八 岁了。虽然有点老态龙钟,但学者
风范犹存。
次,杜 去上海
学访问,
指派我陪同,终于有机 杜 第一次亲
密 ,发现杜
蔼可亲的慈祥 。
后来,我去日本做博士后研究,杜 为
推荐
信,还特意向 绍
日 合作者田


日 活的注意事项。至今想来,仍存



间,
第 2"
2J
2019 6 月
计算机

Computer Aided Engineering
CAD/CAE/CAM自主创新论坛
Independent CAD/CAE/ CAM Innovation Forum
Vol. 28 No. 2 Jun. 2019
: DOI 10. 13340/j. car. 2019. 02. 001
can be patient for il is eternal”。我相信,“边界积分
方程可以等待,因为它是科学的。”当今世界,技术
虽然日新月异,但基础理论几乎不变。所以,基于科
学方法开发的软件,必定会经久不衰。
边界积分方程理论(即高等数学里的第二格林
公式)的提出,最早可追溯到19世纪,比有限元理
论早100多年。边界元法的研究几乎与有限元法同
“圆满”的方法。然而,如此“优雅完美”的理论方法
却没有产生一定规模的工程应用,迅速地面临被边
缘化的尴尬境地。每当翻看杜先生编写的《边界积
分方程方法一边界元法》,我就想到前贤们做了
那么多精深细致的工作,难道这些工作就要被淹没、
被淘汰、被遗忘?!每念及此,心沉鼻酸。“孤标傲
世偕谁隐,一样开花为底迟?” Heaviside曾说“ Logic
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