6.3等比数列的概念及基本运算

科 目

数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 6.3等比数列的概念及基本运算

考纲定位 掌握等比数列的定义、性质、通项公式及前n 项和公式；掌握等比数列的判断方法及

等比数列通项公式的求法；掌握等比数列求和的方法.

【考点整合】

1、等比数列定义： ；

2、等比数列基本公式：

（1）等比数列的递推公式： ；

（2）等比数列的通项公式： ； （累乘法）

（3）等比中项：若,,a G b 成等比数列，则 ；

（4）等比数列的性质：若数列{}n a 为等比数列，且m n p q +=+，则有 ；

（5）等比数列的求和公式： ； （错位相减法）

【典型例题】

一、等比数列的基本运算

例1、在等比数列{}n a 中，

(1)已知13,2a q ==，求,n n a S .(2)已知251,8a a ==，求,,n n q a S .

(3)已知22134,5a a a =+=，求,,n n q a S .

小结： .

变式训练：

1、（2012 课标）在等比数列{}n a 中，56478,2a a a a =-+=，则110a a +=（ ）

A.7

B.5

C.-5

D.-7

2、（2012 安徽）公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

3、（2010 浙江）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52

S S =（ ） A.11 B.5 C.-8 D.-11

4、（2010 辽宁）等比数列{}n a 的各项都是正数，且3247,1S a a ==，则5S =（ ）

A.152

B.314

C.334

D.172

5、（2010 福建）在等比数列{}n a 中，若公比4q =，前3项之和等于21，则该数列的通项公式 n a = .

6、（2009 浙江）设等比数列{}n a 中，若公比12q =

，前n 项和为n S ，则44S a = . 7、（2011北京）在等比数列{}n a 中,141,42

a a ==-,则q = ；12||||...||n a a a +++= .

二、等比数列的判定与证明

例2、已知数列{}n a 满足*111,32,(2,)n n a a a n n N -==+≥∈

（1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.

推广：已知数列{}n a 首项为1a ，且满足*1,(2,)n n a Aa B n n N -=+≥∈，求n a .

小结：证明数列{}n a 是等比数列的方法： .

变式训练：

1、（2012 湖南）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++，231()n B n a a a +=+++，342()n C n a a a +=+++，1,2,.n =

（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*n N ∈，三个数

(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.

【上本作业】

（2013 湖北）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。已知()cos23cos 1A B C -+=。

（I ）求角A 的大小；（II ）若ABC ∆的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值。

【课后反思】

6.3等比数列的概念及基本运算 参考答案

例1、略

变式训练：1、D ；2、B ；3、D ；4、B ；5、14

n -；6、15；7、-2；1122n --.

例2、略

变式训练：1、解（Ⅱ）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有 1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是

12)2311212(......(),()......n n n n

q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ 231)342231231

(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即()()B n A n ＝()()

C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. 充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，

则()(),()()B n qA n C n qB n ==，

于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121.n n a qa a a ++-=- 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=.

因为0n a >，所以2211

n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.

【上本作业】

解：（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=

22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2

A =，角60A =︒ （II ）1sin 532S bc A ==4c ⇒=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A

== 25sin sin 47bc B C R ∴==