凸函数的性质

凸函数的性质：
（1）设
)(),(21x x f f 是凸集n
R
⊂Ω上的凸函数，则
)
()(21x x f f +也是Ω上的
凸函数； （2）设
)
(x f 是凸集n
R
⊂Ω
上的凸函数，则对任意常数0
>c
，函数)
(x cf
也
是凸函数； （3）设
)
(x f 是凸集
n
R
⊂Ω上的凸函数，则对任意实数
c
，水平集
{}c f ≤Ω∈)(,x x x 是凸集。

（4）设Ω是内部非空的凸集，)
(x f
是定义在Ω上的凸函数，则
)
(x f 在Ω的
内部连续。

凸函数的判定条件
当函数一阶或二阶可微时，除了可以根据定义来判断其是否是凸函数外，更常用的方法是如下的判别条件：
定理1-2 定义在凸集n
R
⊂Ω上的可微函数
)
(x f 为凸函数的充要条件是：对
于任意Ω
∈
y x ,都有
)
()()()(x y x x y -∇+≥T
f f f （1-23）
定理1-2的几何意义：设
)
(x f 是一元凸函数，21,x x 是两个不同点，则
)
)(()()(12112x x x f x f x f -'+≥
即凸函数的图像上任一点切线上的纵坐标总不大于曲线在该点的纵坐标，见图1-4，反之亦然。

图1-4 凸函数的几何意义
只要将定理1-2中（1-23）式的“≥”改为“>”，就可得到严格凸函数的充要条件。

定理1-3（凸函数的二阶充要条件） 设n
R
⊂Ω
为含有内点的凸集，)
(x f
在
Ω
上二次可微，则
)
(x f 为Ω上凸函数的充要条件是：)
(x f 的Hesse 矩阵)
(2
x f ∇在整个Ω上半正定。

特别地，当1=n
时，)
(x f 的Hesse 矩阵)
()(2
x f x f ''=∇，则该定理为：若
)
(x f 具有二阶连续导数，则)
(x f 为凸函数的充要条件是：0
)(≥''x f
，其中)
,(b a x ∈。

定理1-4（严格凸函数的二阶充分条件） 设n
R
⊂Ω
为非空开凸集，)
(x f
在
Ω
上二次可微，若
)
(x f 的Hesse 矩阵)
(2
x f ∇在Ω上处处正定，则)
(x f 为Ω上的
严格凸函数。

说明：
)
(x f 为Ω上处处正定，仅是
)
(x f 为严格凸函数的充分条件，而不是
必要条件。

例如：
4
)(x
x f =为严格凸函数，但)
(x f 的Hesse 矩阵
2
2
12)()(x
x f x f =''=∇
，其Hesse 矩阵在0=x 处为零，即)(x f 的Hesse 矩阵不是
处处正定的。