Abel 判别法的充要性之探究

因此由 Abel 引理（引理 1）可得
n+ p k =n
∑a
k
( x) =
n+ p k =n
∑u
k
( x) ⋅
1 1 1 ≤ ε( +2 ) ≤ ε ⋅ 3 ⋅ 1 = 3ε bk ( x) bn ( x) bn + p ( x) ( x) 在 [a, b] 上一致收敛.
这说明函数项级数
∑u
n =1
∫
+∞ a
f ( x)dx 收敛的充要条件是可以适当分解 f ( x) = ϕ ( x) ⋅ψ ( x) ,使 ϕ ( x)
3
在 [a,+∞) 单调有界， 证明：必要性. 即 Abel 判别法 充分性.Q 无穷积分
∫
+∞ a
ψ ( x)dx 收敛.
∫
+∞ a
f ( x)dx 收敛
∴ 由 Dirichlet 判别法的必要条件成立（即引理 2）可知，必然存在适当分解
δ k ≤ A （ 这 里 δ k = v1 + L v k ） 则 记
ε = max { ε k } 时，有
∑ε
k =1
n
k
v k ≤ 3 εA
引理 2.无穷积分
∫
+∞ a
f ( x)dx 收敛的充要条件是可以适当分解 f ( x) = ϕ ( x) • ψ ( x) ,使
ϕ ( x) 在 [a,+∞) 上单调，且 x → ∞ 时 ϕ ( x) → 0，对 ∀A ≥ a ,
f ( x) = g ( x) ⋅ h( x) . 使 g ( x) 在 [a,+∞) 单 调 有 界 且 x → ∞ 时 g ( x) → 0 ,
∫
+∞ a
h( x)dx 关于 A ∈ [a,+∞) 存在有界.
1 3 1 3
因此 g ( x) 在 [a,+∞) 单调有界， 且 x → ∞ 时 g ( x) → 0 ， 所以由 Dirichlet 判别法可知
Abestact: This paper uses three different methods to investigate the necessary and sufficient conditions of Abel criterion for infinite series , function series, improper integral and parameter-dependent improper integral. Key Words: Abel criterion; Dirichlet criterion; necessary and sufficient conditions; uniform bounded; uniform convergence.
1 3
ψ ( x ) = g ( x )h( x )
2 3
4
则
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ ϕ ( x)ψ ( x)dx
a
b
= =
∫
∫
b
a
g (x)g (x)h( x)dx
g ( x)h( x)dx 收敛
1 3
2 3
b
a
且 ϕ ( x) 单调有界， 定 理 5. 积 分
∫ ψ ( x)dx 收敛.
由于函数项级数
1 } 一致单调上升且有界. bn ( x)
∑u
n =1
∞
n
( x ) 在 [ a , b] 上 一 致 收 敛 ， 依 柯 西 准 则 ， 对 任 意
x ∈ [a, b] , ∀ ε >0，存在正数 N ，使得 n > N 及任一自然数 p ,都有
n+ p k =n
∑u
k
( x) < ε
证一：必要性. 即 Abel 判别法 充分性. 设 bn ( x) =
n+ x n
， a n ( x) =
u n ( x) , bn ( x)
则 1 < bn ( x) ≤
1+ x 1
= 1 + x ≤ 1 + max{ a , b }
2
∴ {bn ( x)} 一致单调下降且有界， {
1 ≤1 bn ( x)
1 3
∫
+∞
a
g ( x, y )h( x, y )dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛.
1 3
2 3
令 ϕ ( x, y ) = g ( x , y ) 则
ψ ( x, y ) = g ( x , y ) h ( x , y )
2 3
∫
+∞
a
f ( x, y )dx dx =
= =
∫
1 3
∫
+∞
a
g ( x)h( x)dx 收敛，同理 ∫
1 3
+∞
a
g ( x)h( x)dx 也收敛
2 3
令 ϕ ( x) = g 3 ( x) 则
1
ψ ( x ) = g 3 ( x )h( x )
+∞
a
2
∫
+∞
a
f ( x)dx = ∫ ϕ ( x)ψ ( x)dx
= =
∫
∫
+∞
a
1
2
g 3 (x)g 3 (x)h( x)dx
Q ∑ u n 收敛
n =1
∴ 由 Abel 判别法的充分性知，级数 ∑ a n = ∑ u n •
n =1 n =1
∞
∞
1 收敛 bn
定 理 2. 函 数 项 级 数
∑u
n =1 ∞ n =1
∞
n
( x ) 在 [ a , b] 上 一 致 收 敛 的 充 要 条 件 是 可 以 适 当 分 解
u n ( x) = a n ( x)bn ( x) 使 ∑ a n ( x) 在 [a, b] 上一致收敛， bn ( x) 一致单调有界。
a
有界. g ( x, y ) 关于 x 一致单调且 x → ∞ 时关于 y ∈ [c, d ] 一致趋向于零.
1
因此 g 3 ( x, y ) 关于 x 一致单调且 x → ∞ 时关于 y ∈ [c, d ] 一致趋向于零. 所以由 Dirichlet 判别法可知 同理
∫
+∞
a
g ( x, y )h( x, y )dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛，
Q ∑ u n ( x) 在 [a, b] 上一致收敛
n =1
∴ 由 Abel 判别法的充分性知，函数项级数 ∑ a n ( x) = ∑ u n ( x) ⋅
n =1 n =1
∞
∞
1 在 bn ( x)
[a, b] 上一致收敛.
注：以下 3 个定理也同样可用上面两种方法证明，但本文采用另一种方法即利用 Dirichlet 判别法的必要条件来证明。 定理 3.无穷积分
引理 3. 设 x = b 是函数 f ( x) 的奇点，积分
∫ ψ ( x)dx 存在有界.
a b −η aΒιβλιοθήκη A∫b a
f ( x)dx 收敛的充要条件是可以适当分解
f ( x) = ϕ ( x) •ψ ( x) ,使 ϕ ( x) 单调，x → b 时，ϕ ( x) → 0， 对 ∀η < b − a , ∫
Abel 判别法的充要性之探究
王汉奎
（绍兴文理学院 五种情况下的充要性. 关键词：Abel 和 Dirchlet 判别法；充要性；一致收敛；一致有界. 数学系， 浙江 绍兴 312000） 摘要：本文利用三种不同的方法证明 Abel 判别法在数项级数、函数项级数、广义积分、瑕积分和含参量积分
数学分析的教科书中，对 Abel 判别法的必要条件，均未加以论及.文献[1]利用 Dirichlet 判别法的必要条件证明了 Abel 判别法在数项级数、函数项级数情形下的充要性.本文利用 Dirichlet 判别法的必要条件将 Abel 判别法的充要性推广到广义积分、瑕积分和含参量积分等 情形，并利用 Abel 引理和 Abel 判别法的充分性两种方法，证明 Abel 判别法在数项级数、函 数项级数情形下的充要性. 1.几个引理 引理 1.若（i） ε 1 , ε 2 …, εn 是单调数组 （ ii ） 对 任 一 自 然 数 k (1 ≤ k ≤ n) 有
k =n ∞ n =1
n+ p
k
⋅
1 1 1 ≤ ε( +2 ) ≤ ε ⋅ 3 ⋅ 1 = 3ε bk bn bn + p
收敛.
这说明级数
∑a
n
证二：必要性. 即 Abel 判别法 充分性. 必要性. 即 Abel 判别法 充分性. 设 bn =
∞
un 1 n +1 , {bn } 单调下降且有界， { } 单调上升且有界. , an = bn bn n
a
b
∫
+∞
a
f ( x, y )dx 关 于 y ∈ [c, d ] 一 致 收 敛 的 充 要 条 件 是 可 以 适 当 分 解
+∞
a
f ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ψ ( x, y ) ,使 ∫ ψ ( x, y )dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛. ϕ ( x, y ) 关于 y 一致单调有界，
∞
n
证二：必要性. 即 Abel 判别法 充分性. 设 bn ( x) =
n+ x n
， a n ( x) =
u n ( x) bn ( x)
则 1 < bn ( x) ≤
1+ x 1
= 1 + x ≤ 1 + max{ a , b } 且{ bn ( x) }关于 x 一致单调
下降且有界， {
∞
1 } 关于 x 一致单调上升且有界. bn ( x)
5
The research of the necessity and sufficiency of Abel criterion
Wang Han-kui
(Dept .of Math. Shaoxing College of Arts and Science, Shaoxing , Zhejiang , 312000)
1 ∴ {bn } 单调下降且有界， { } 单调上升且有界. bn
1 ≤1 bn
由于级数
∑u
n =1
∞
n
收敛， 依柯西准则， 对任给正数 ε ， 存在正数 N ， 使得 n > N
n+ p k =n
及任一自然数 p ,都有
∑u
k
<ε
因此由 Abel 引理（引理 1）可得
∑a
k =n
n+ p
k
=
∑u
η < b−a,∫
1 3
b −η a
h( x)dx 有界.
1 3
因此 g ( x) 在 [a, b] 单调有界，且 x → b 时 g ( x) → 0 ，所以由 Dirichlet 判别法可知
∫
b a
g 3 ( x)h( x)dx 收敛，同理 ∫ g 3 ( x)h( x)dx 也收敛
a
1
b
2
令 ϕ ( x) = g ( x)
证明：必要性. 即 Abel 判别法 充分性.Q 瑕积分
b a
∫ ψ ( x)dx 收敛.
a
b
∫
f ( x)dx 收敛
∴ 由 Dirichlet 判别法的必要条件成立 ( 即引理 3) 可知，必然存在适当分解
f ( x ) = g ( x ) h( x ) . 使 g ( x ) 单 调 有 界 且 x → b 时 g ( x ) → 0 , 对 ∀
g ( x)h( x)dx 收敛
+∞
a
且 ϕ ( x) 单调有界，
∫
+∞
a
ψ ( x)dx 收敛.
定理 4.设 x = b 是函数 f ( x) 的奇点，积分
∫
b a
f ( x)dx 收敛的充要条件是可以适当分解
f ( x) = ϕ ( x) ⋅ψ ( x) ,使 ϕ ( x) 在[a,+ ∞ )单调有界，
引 理 4. 积 分
ψ ( x)dx 有界.
∫
+∞ a
f ( x, y )dx 关 于 y ∈ [c, d ] 一 致 收 敛 的 充 要 条 件 是 可 以 适 当 分 解
A a
f ( x, y) = ϕ ( x, y) ⋅ψ ( x, y) ,使 ∫ ψ ( x, y )dx 对 ∀A ≥ a 关于 y ∈ [c, d ] 一致有界, ϕ ( x, y ) 关
证明：必要性. 即 Abel 判别法 充分性.Q 含参量积分
∫
+∞
a
ψ ( x, y )dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛
A
∴ 由 Dirichlet 判别法的必要条件成立（即引理 4）可知，必然存在适当分解
f ( x, y ) = g ( x, y )h( x, y ) .使 ∫ h( x, y )dx 对 A ∈ [a,+∞) 关于 y ∈ [c, d ] 一致
+∞
a
ϕ ( x, y )ψ ( x, y )dx
2 3
∫
∫
+∞
a
g (x, y)g (x, y)h( x, y )dx
g ( x, y )h( x, y )dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛
+∞
a
且 ϕ ( x, y ) 关于 y 一致单调有界， 最后衷心感谢汪文珑教授的指导。
∫
+∞
a
ψ ( x, y )dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛.
参考文献： [1] 陈韶华.数项级数中阿贝尔判别法的必要条件的证明[J].贵州大学学报.Vol.18 No.1 67-69 [2] 宗序平. 关于 Dirichlet 和 Abel 判别法的必要性[J]. 江苏学院院报. 1990（2）.72-75 [3] 华东师范大学数学系编[M]. 数学分析. 第二版. 高等教育出版社
于 x 一致单调且 x → ∞ 时关于 y ∈ [c, d ] 一致趋向于零.
2.主要结果 定理 1.
∑ u n 收敛的充要条件是可以适当分解 u n = an bn ,使 ∑ an 收敛， {bn } 单调有界。
n =1 n =1
∞
∞
证一：必要性. 即 Abel 判别法
1
充分性. 设 bn =
un n +1 ， an = ,则 1 < bn ≤ 2 bn n